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一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析

1．內(nèi)容：

歸納推理的含義，會利用歸納進行一些簡單的推理.

2．內(nèi)容解析：

（1）本節(jié)課是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》（選修2—2）中第二章《推理與證明》第一節(jié)的第一課時。推理與證明是一種數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理與證明思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個知識體系，但是作為一章內(nèi)容出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中尚屬首次�！锻评砼c證明》是新課標(biāo)教材的亮點之一，本章內(nèi)容將推理與證明的一般方法進行了必要的總結(jié)和歸納，同時也對后繼知識的學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。

推理一般包括合情推理和演繹推理,合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程.。培養(yǎng)和提高學(xué)生演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐的證明，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。

本章的內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇，把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學(xué)生更加明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識地使用他們，以培養(yǎng)言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣。學(xué)習(xí)這一章，要突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值和實際應(yīng)用價值。

本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的歸納推理便是合情推理的一種。歸納推理是由部分到整體、個別到一般的推理，前提是其結(jié)論的必要條件。首先，歸納推理的前提必須是真實的，否則，歸納就失去了意義。其次，歸納推理的結(jié)論超過了前提所判定的范圍，因此在歸納推理中，前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，重在合乎情理。

(2)本節(jié)的內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇，在教學(xué)過程中教師的立意是把歸納推理作為一個重要的數(shù)學(xué)思維的過程，讓學(xué)生了解歸納推理的含義，著重學(xué)會用歸納的方法進行數(shù)學(xué)推理和猜想。

事實上，研究歸納推理的真實目的，就是把幾個事實中蘊含的共性，通過變形、語言轉(zhuǎn)換、多角度觀察等手段，觀察歸納出“共性”，進而提出猜想，并達(dá)到利用歸納推理來達(dá)到發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論的目的。因此，學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程的認(rèn)識，也能夠讓學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

歸納推理，為人類能夠發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論，做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段，這是人們應(yīng)該具備的一種基本素養(yǎng)．

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析

1．目標(biāo)：

（1）了解歸納推理的概念和歸納推理的作用，掌握歸納推理的一般步驟，能利用歸納進行一些簡單的推理.

（2）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，包括欣賞一些偉大猜想產(chǎn)生的過程，體會并認(rèn)識如何利用歸納推理去猜測和發(fā)現(xiàn)一些新事實，得出新結(jié)論，探索和提供解決一些問題的思路和方向的作用。從而讓學(xué)生對歸納推理有一個理性的認(rèn)識，歸納推理不僅是一個概念，更是一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。

（3）通過學(xué)生主動探究、合作學(xué)習(xí)、相互交流，培養(yǎng)不怕困難、勇于探索的優(yōu)良作風(fēng)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生成功的體驗，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度.

2．目標(biāo)解析：

教學(xué)目標(biāo)（1）和（2）是本節(jié)課的教學(xué)重點也是難點。我們要建立一種數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。借助學(xué)生已有生活常識，形成推理的直觀認(rèn)識；讓學(xué)生通過欣賞歌德巴赫猜想產(chǎn)生的過程，對歸納推理有初步認(rèn)識，體驗數(shù)學(xué)的一種基本思維過程，經(jīng)歷人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維活動。

教學(xué)目標(biāo)（2）是學(xué)生初學(xué)時不易達(dá)到的目標(biāo)，教學(xué)時要緊密地結(jié)合學(xué)生熟悉的已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活實例，讓學(xué)生體會觀察“幾個事實”時應(yīng)該關(guān)注的要點，如何觀察更能發(fā)現(xiàn)“幾個事實”中的“共性”。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，由歐幾里德方法提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)．”通過本節(jié)課要讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)不僅僅是演繹的科學(xué)，更是歸納的科學(xué)．

三、教學(xué)問題診斷分析

1．如何發(fā)現(xiàn)“幾個事實”的“共性”，也就是“如何去觀察，才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。學(xué)生可以很順利地得到幾個事實，但是如何去觀察，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時遇到的第一個教學(xué)問題。也是本節(jié)課的教學(xué)難點之一。教學(xué)時，應(yīng)通過實例，幫助學(xué)生總結(jié)出觀察一定要有目標(biāo)，數(shù)、式變形；語言的轉(zhuǎn)化以及多角度的觀察等都是有效的途徑，并用具體問題讓學(xué)生練習(xí)進行體會。

2．在充分體會了歸納推理的生活實例和數(shù)學(xué)實例以及其他學(xué)科實例之后，學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)美和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的喜悅，能夠自主總結(jié)出歸納推理的一般步驟，但是容易忽略歸納推理所得結(jié)論的不可靠性，從而忽略檢驗的步驟。所以本節(jié)課設(shè)計了費馬猜想的產(chǎn)生及推翻過程，讓學(xué)生充分體會檢驗的必要性，體會數(shù)學(xué)發(fā)展的螺旋上升過程。

3．歸納推理的作用：對于歸納推理的作用，不能片面認(rèn)為“萬能”的，也不能由于歸納結(jié)論的或然性而否定其在科學(xué)中的發(fā)現(xiàn)作用，所以通過例題的設(shè)置、同學(xué)的分析和討論、教師的必要講解，要讓學(xué)生對歸納推理有一個全方位的立體的認(rèn)識。

四、教學(xué)支持條件

1．在進行本節(jié)課的教學(xué)時，學(xué)生已經(jīng)有大量的運用歸納推理生活實例和數(shù)學(xué)實例，這些內(nèi)容是學(xué)生理解歸納推理的重要基礎(chǔ)，因此教學(xué)時應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件，引導(dǎo)學(xué)生多進行歸納與概括。

2．?dāng)?shù)學(xué)史上有一些著名的猜想是運用歸納推理的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時應(yīng)充分利用這一條件，不僅可讓學(xué)生體會歸納推理的過程，感受歸納推理能猜測和發(fā)現(xiàn)一些新結(jié)論，探索和提供解決一些問題的思路和方向的作用，還可利用著名猜想讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的人文價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探索真理的欲望。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引出課題

1.耳熟能詳?shù)摹独莵砹恕返墓适绿N含的推理；介紹四幅圖的大致內(nèi)容，說明推理在現(xiàn)實生活中是到處存在的。

（設(shè)計意圖：自然合理地提出問題，讓學(xué)生體會“數(shù)學(xué)來源于生活”。創(chuàng)造和諧積極的學(xué)習(xí)氣氛。進而利用章頭引言向?qū)W生簡要介紹本章的主要內(nèi)容及學(xué)生學(xué)完后應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)。）

2.以講故事的形式展現(xiàn)歌德巴赫猜想。

（設(shè)計意圖：一是吸引學(xué)生的注意；二是分解了哥德巴赫猜想中的難點；三是從這故事中提示了歸納推理的主要內(nèi)涵。）

（二）抽象思維，形成概念

1.歸納推理的思維過程：幾個事實→一種觀察→一般觀點→從頭核對→提出猜想。（由歌德巴赫猜想的過程歸納出來）

2.歸納推理的概念：由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征,或者由個別事實概括出一般結(jié)論（簡稱歸納）。（部分推出整體，個別推出一般）

3.學(xué)生分小組討論：

將學(xué)生劃分為兩大部分，一部分討論生活中運用歸納推理例子，一部分討論學(xué)科學(xué)習(xí)中使用歸納推理的例子。學(xué)生舉例之后教師總結(jié)。

（設(shè)計意圖：分組討論降低了概念學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生能夠更多的圍繞重點展開探索和研究。）

（三）初步應(yīng)用，鞏固概念

1.利用兩道國家公務(wù)員行政能力測試試題的解決及一個拼圖游戲，讓學(xué)生初步運用歸納推理。

（1）.觀察規(guī)律 13，15，18，22，（ ? ）答案：B

A.25 　       B.27 　        C.30          　D.34

（2）下面?處應(yīng)是什么樣的圖形?  答案：C

 （3） 

觀察拼圖得猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2

（設(shè)計意圖：前兩題分別通過對數(shù)、形的觀察，可以歸納出下一個結(jié)果。拼圖游戲讓學(xué)生從圖形語言、文字語言、數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化中觀察到共性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。）

2.例1：(1)已知數(shù)列{an}的第一項a1=1，且an+1=(n=1,2,3,…)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式。（提醒：觀察項與序號的對應(yīng)關(guān)系）

(2)由(1)知an =，若Sn =++…+(n=1,2,3,…),試歸納出{Sn}這個數(shù)列的通項公式。

（設(shè)計意圖：①如果不能得出觀察結(jié)果，可以多列出幾項；②觀察要根據(jù)題意，既要有明確的目標(biāo)；③為了有利于觀察，有時需要做適當(dāng)?shù)淖冃我愿�突出共性。�?/p>

例2：足球有12塊黑皮子，20塊白皮子，黑皮是五邊形，白皮是六邊形，我終于數(shù)清它有60個頂點，可棱數(shù)始終沒數(shù)清楚�！皬�(fù)雜的多面體有許多面、頂點和棱”，這是多面體給人們最初的印象，那么面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)有沒有什么關(guān)系呢？如果有關(guān)系就可以幫助弄清楚棱數(shù)了。

師生活動：學(xué)生數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E,然后探求面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間的關(guān)系.（發(fā)現(xiàn)歐拉公式）

（設(shè)計意圖：通過兩個例題，讓學(xué)生體會歸納推理的一般步驟，進一步感受歸納推理的作用。通過第二題讓學(xué)生感受歸納推理起到了能夠提供研究方向的作用，培養(yǎng)學(xué)生進行歸納推理的能力。）

（四）感受猜想完善思維

1.練習(xí)

⑴觀察：

sin230°+ sin290°+ sin2150°=，sin25°+ sin265°+ sin2125°=

由上面兩式結(jié)構(gòu)規(guī)律，你可以歸納猜想               

⑵已知兩個圓①x2+y2=1與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程;兩個圓③(x-2)2+(y-3)2=2與④(x-1)2+(y+1)2=2則由③式減去④式可得上述兩圓的對稱軸方程;兩個圓⑤(x+5)2+(y-3)2=7與⑥(x-2)2+y2=7則由⑤式減去⑥式可得上述兩圓的對稱軸方程;由上面命題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，可以歸納猜想一個更一般的命題為             。

⑶合作學(xué)習(xí)

對自然數(shù)n,f(n)=n2-n+11，計算f(0),f(1),f(2)，…，f(7)的值,同時作出歸納推理，你有什么猜想？（學(xué)生互相討論）

（設(shè)計意圖：合作學(xué)習(xí)有助于觀察的多種方式的呈現(xiàn)，通過學(xué)生多角度的觀察所得到結(jié)論的交流，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的喜悅，激發(fā)學(xué)生更積極地去尋找規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律。同時讓學(xué)生感受到只要做個有心人，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并非難事。鼓勵學(xué)生多角度的觀察，大膽的猜測和探究，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，同時感受歸納推理出來的有的結(jié)論是錯誤的）

2.介紹費馬猜想：已知2+1=5, 2+1=17, 2+1=257, 2+1=65537都是質(zhì)數(shù)，運用歸納推理你能得出什么樣的結(jié)論？ 半個世紀(jì)后歐拉發(fā)現(xiàn)2+1=4294967297=647×

6700417. 說明了什么？后來人們又發(fā)現(xiàn)2+1, 2+1, 2+1都是合數(shù)，你們又能得到什么樣的結(jié)論？

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)歸納推理需要檢驗過程，從而自我修正歸納推理的一般步驟。教師生動講述歐拉發(fā)現(xiàn)第五個費馬數(shù)的過程，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，讓學(xué)生知道大數(shù)學(xué)家的歸納推理猜想也可能是錯的，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受歸納推理的魅力；同時，通過“猜想——驗證——再猜想”說明科學(xué)的進步與發(fā)展處在一個螺旋上升的過程。）

3.歸納推理的作用

（1）發(fā)現(xiàn)新事實   （2）提供研究方向

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

1．課本P93  A組  1—3

2．實習(xí)作業(yè)：http://vip.6to23.com/yunyan8/shuhai/wenjian/diangu2.htm

孿生素數(shù)猜想 ;敘拉古猜想 ; 蜂窩猜想;費馬最后定理;七橋問題;歐拉回路

（設(shè)計意圖：通過訓(xùn)練，鞏固本課所學(xué)知識，檢測運用所學(xué)知識解決問題的能力；實習(xí)作業(yè)的設(shè)置為了教會學(xué)生怎樣利用資料進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時讓學(xué)生了解網(wǎng)絡(luò)是自主學(xué)習(xí)和拓展知識面的一個重要平臺。這是本節(jié)內(nèi)容的一個提高與拓展。）