2018-2019學(xué)年山東省臨沂市莒南縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）
1．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0時，下列變形正確的為（ �。�
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
2．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞?1 B．k＜1 C．k＞?1且k≠0 D．k＜1且k≠0
3．（3分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠BOC=70°，則∠A的度數(shù)為（ �。�
A．70° B．45° C．40° D．35°
4．（3分）從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（ �。�
A． B． C． D．
5．（3分）PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，點C為⊙O上不同于AB的任意一點，已知∠P=40°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．70° B．110° C．70°或110° D．不確定
6．（3分）如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（ �。�
A．5 B．7 C．9 D．11
7．（3分）已知二次函數(shù)y=x2?2x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（?1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m=0的兩個實數(shù)根是（ �。�
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=3 C．x1=?1，x2=2 D．x1=?1，x2=3
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
9．（3分）在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=?mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
10．（3分）如圖，圓錐底面半徑為rcm，母線長為10cm，其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，則r的值為（ �。�
A．3 B．6 C．3π D．6π
11．（3分）在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有6，7，8，9四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”游戲，甲先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為m，再由乙猜這個小球上的數(shù)字，記為n．如果m，n滿足|m?n|≤1，那么就稱甲、乙兩人 “心領(lǐng)神會”，則兩人“心領(lǐng)神會”的概率是（ �。�
A． B． C． D．
12．（3分）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=?x2+4x（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（ �。�
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
13．（3分）已知α、β是方程x2?3x?4=0的兩個實數(shù)根，則α2+αβ?3α的值為（ �。�
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正確的結(jié)論有（ �。�
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
15．（3分）方程x2=x的解是 ．
16．（3分）用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … 6.5 ?4 ?2.5 ?2 ?2.5 …
根據(jù)表格中的信息回答問題，該二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=3時，函數(shù)值y= �。�
17．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45°，若點M、N分別是AB、AC的中點，則MN長的最大值是 ．
18．（3分）若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形，該邊所對的角稱為等徑角．已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數(shù)為 ．
19．（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（?1，0），對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若點A（?2，y1），點B（ ，y2），點C（ ，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，則m（am+b）＜2（2a+b），其中正確的結(jié)論的序號是 �。�
三、解答題（本大題共7小題，共63分）
20．（7分）已知關(guān)于x的方程x2?2（k?2）x+k2=0有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1+x2=1?x1x2，求k的值．
21．（7分）不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為 ．
（1）試求袋中籃球的個數(shù)；
（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到都是白球的概率．
22．（7分）如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．已知∠A=27°，∠B=40°，求則∠ACB′的度數(shù)．
23．（8分）如圖，點A是直線AM與⊙O的交點，點B在⊙O上，BD⊥AM垂足為D，BD與⊙O交于點C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）若DC=2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．
24．（10分）某商場試銷一種成本為每件50元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=60時，y=50；x=70時，y=40．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
25．（10分）閱讀資料：我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1中∠ABC所示．同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：P為圓上任意一點，當弦AC經(jīng) 過圓心O時，且AB切⊙O于點A，此時弦切角∠CAB=∠P（圖2）．
證明：∵AB切⊙O于點A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直徑，∴∠P=90°，∴∠CAB=∠P
問題拓展：若AC不經(jīng)過圓心O（如圖3），該結(jié)論：弦切角∠CAB=∠P還成立嗎？請說明理由．
知識運用：如圖4，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB、AC分別相交于E、F．求證：EF∥BC．
26．（14分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為（3，0），頂點C的坐標為（1，4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2 ？若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由 ．
2018-2019學(xué)年山東省臨沂市莒南縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）
1．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0時，下列變形正確的為（ �。�
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
【解答】解：方程移項得：x2?6x=10，
配方得：x2?6x+9=19，即（x?3）2=19，
故選D．
2．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ �。�
A．k＞?1 B．k＜1 C．k＞?1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴k≠0且△＞0，即（?2）2?4×k×（?1）＞0，
解得k＞?1且k≠0．
故選C．
3．（3分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠BOC=70°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．70° B．45° C．40° D．35°
【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三點，∠BOC=70°，
∴∠A= ∠BOC=35°．
故選D．
4．（3分）從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：∵直徑所對的圓周角等于直角，
∴從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是B．
故選：B．
5．（3分）PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，點C為⊙O上不同于AB的任 意一點，已知∠P=40°，則∠ACB的度數(shù)是（ �。�
A．70° B．110° C．70°或110° D．不確定
【解答】解：如圖，連接OA、OB，
∵PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°?90°?90°?40°=140°，
當點C1在 上時，則∠AC1B= ∠AOB=70°，
當點C2在 上時，則∠AC2B+∠AC1B=180°，
∴∠AC2B=110°，
故選C．
6．（3分）如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB， 垂足為N，則ON=（ �。�
A．5 B．7 C．9 D．11
【解答】解：由題意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON= ，
故選A．
7．（3分）已知二次函數(shù)y=x2?2x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（?1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m=0的兩個實數(shù)根是（ �。�
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=3 C．x1=?1，x2=2 D．x1=?1，x2=3
【解答】解：二次函數(shù)y=x2?2x+m（m為常數(shù)）的對稱軸是x=1，
（?1，0）關(guān)于x=1的對稱點是（3，0）．
則一元二次方程x2?2x+m=0的兩個實數(shù)根是x1=?1，x2=3．
故選D．
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)到 △AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（ �。�
A．35° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°?2∠ACC′=180°?2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故選C．
9．（3分）在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=?mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y=?mx2+2x+2開口方向朝上， 與圖象不符，故A選項錯誤；
B、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＜0，對稱軸為x=? =? = ＜0，則對稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象不符，故B選項錯誤；
C、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＞0，即函數(shù)y=?mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項錯誤；
D、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y=?mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x=? =? = ＜0，則對稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象相符，故D選項正確；
故選：D．
10．（3分）如圖，圓錐底面半徑為rcm，母線長為10cm，其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，則r的值為（ ）
A．3 B．6 C．3π D．6π
【解答】解：∵圓錐底面半徑為rcm，母線長為10cm，其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，
∴2πr= ×2π×10，解得r=6．
故選B．
11．（3分）在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有6，7，8，9四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”游戲，甲先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為m，再由乙猜這個小球上的數(shù)字，記為n．如果m，n滿足|m?n|≤1，那么就稱甲、乙兩人“心領(lǐng)神會”，則兩人“ 心領(lǐng)神會”的概率是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有16種等可能結(jié)果，其中滿足|m?n|≤1的有10種結(jié)果，
∴兩人“心領(lǐng)神會”的概率是 = ，
故選：B．
12．（3分）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=?x2+4x（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（ �。�
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【解答】解：∵水在空中劃出的曲線是拋物線y=?x2+4x，
∴噴水的最大高度就是水在空中劃出的拋物線y=?x2+4x的頂點坐標的縱坐標，
∴y =?x2+4x=?（x?2）2+4，
∴頂點坐標為：（2，4），
∴噴水的最大高度為4米，
故選A．
13．（3分）已知α、β是方程x2?3x?4=0的兩個實數(shù)根，則α2+αβ?3α的值為（ �。�
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根據(jù)題意得α+β=3，αβ=?4，
所以原式=a（α+β）?3α
=3α?3α
=0．
故選A．
14．（3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正確的結(jié)論有（ �。�
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，
∵? ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此選項正確；
②當x=?1時，y=a?b+c=0，故a+c=b，錯誤；
③當x=3時函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c=0，且x=? =1，
即b=?2a，代入得9a?6a+c=0，得3a+c=0，故此選項錯誤；
④當x=1時，y的值最大．此時，y=a+b+c，
而當x=m時，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項正確．
故①④正確．
故選B．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
15．（3分）方程x2=x的解是 x1=0，x2=1 ．
【解答】解：x2=x，
移項得：x2?x=0，
分解因式得：x（x?1）=0，
可得x=0或x?1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案為：x1=0，x2=1
16．（3分）用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … 6.5 ?4 ?2.5 ?2 ?2.5 …
根據(jù)表格中的信息回 答問題，該二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=3時，函數(shù)值y= ?4．�。�
【解答】解：由表格可知當x=0和x=2時，y=?2.5，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴x= 3和x=?1時的函數(shù)值相等，為?4，
故答案為：?4．
17．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45°，若點M、N分別是AB、AC的中點，則MN長的最大值是 �。�
【解答】解：如圖，∵點M，N分別是AB，AC的中點，
∴MN= BC，
∴當BC取得最大值時，MN就取得最大值，當BC是直徑時，BC最大，
連接BO并延長交⊙O于點C′，連接AC′，
∵BC′是⊙O的直徑，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′= = =5 ，
∴MN最大= ．
故答案為： ．
18．（3分）若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形，該邊所對的角稱為等徑角．已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數(shù)為 30°或150°�。�
【解答】解：如圖邊AB與半徑相等時，
則∠AOB=60°，
當?shù)葟浇琼旤c為C時，∠C= ∠AOB=30°，
當?shù)葟浇琼旤c為D時，∠C+∠D=180°，∠D=150°，
故答案為：30°或150°．
19．（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（?1，0），對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若點A（?2，y1），點B（ ，y2），點C（ ，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，則m（am+b）＜2（2a+b），其中正確的結(jié)論的序號是�。�1）（3）（5）�。�
【解答】解：∵稱軸為直線x=2，
∴ ，
∴b=?4a，
∴4a+b=0，故（1）正確，
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（?1，0），對稱軸為直線x=2，
∴當x=?2時，y=4a?2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）錯誤，
∵圖象過點（?1，0）， b=?4a，c＞0，
∴a?b+c=0，
∴5a+c=0，
∴5a+c+2c＞0，
∴5a+3c＞0，故（3）正確，
∵點A（?2，y1），點B（ ，y2），點C（ ，y3）在該函數(shù)圖象上，對稱軸為直線x=2，圖象開口向下，
∴y1＜y2＜y3，故（4）錯誤，
∵當x=2時，y取得最大值，
∴當x=m≠2 時，am2+bm+c＜4a+2b+c，
∴m（am+b）＜2（2a+b），故（5）正確，
故答案為：（1）（3）（5）．
三、解答題（本大題共7小題，共63分）
20．（7分）已知關(guān)于x的方程x2?2（k?2）x+k2=0有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1+x2=1?x1x2，求k的值．
【解答】解：（1）由題意△≥0，
∴4（k?2）2?4k2≥0，
∴k≤1．
（2）∵x1+x2=2（k?2），x1x2=k2，
∴2（k?2）=1?k2，
解得k=?1+ 或?1? ，
∵k≤1，
∴k=?1? ．
21．（7分）不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為 ．
（1）試求袋中籃球的個數(shù)；
（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到都是白球的概率．
【解答】解：（1）設(shè)袋中藍球的個數(shù)為x個，
∵從中任意摸出一個是白球的概率為 ，
∴ = ，
解得：x=1，
∴袋中藍球的個數(shù)為1；
（2）畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，兩次都是摸到白球的有2種情況，
∴兩次都是摸到白球的概率為： = ．
22．（7分）如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．已知∠A=27°，∠B=40°，求則∠ACB′的度數(shù)．
【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，
∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB?∠B′CA=∠A′CB?∠B′CA，
即∠BCB′=∠ACA′，
∴∠BCB′=67°，
∴∠ACB′=180°?∠ACA′?∠BCB′=180°?67°?67°=46°．
23．（8分）如圖，點A是直線AM與⊙O的交點，點B在⊙O上，BD⊥AM垂足為D，BD與⊙O交于點C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）若DC=2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．
【解答】解：（1）∵∠B=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切線；
（2）∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2 ，
∴S陰影=S梯形OADC?S扇形OAC= （4+2）×2 ? =6 ? ．
24．（10分）某商場試銷一種成本為每件50元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=60時，y=50；x=70時，y=40．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）根據(jù)題意得 ，
解得： ，
∴一次函數(shù)的表達式為y=?x+110；
（2）W=（x?50）（?x+100）=?x2+160x?5500，
∵銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%，即50≤x≤50×（1+40%），
∴50≤x≤70，
∵當x=? =80時不在范圍內(nèi)，
∴當x=70時，W最大=800元，
答：銷售單價定為70元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是800元．
25．（10分）閱讀資料：我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1中∠ABC所示．同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：P為圓上任意一點，當弦AC經(jīng)過圓心O時，且AB切⊙O于點A，此時弦切角∠CAB=∠P（圖2）．
證明：∵AB切⊙O于點A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直徑，∴∠P=90°，∴∠CAB=∠P
問題拓展：若AC不經(jīng)過圓心O（如圖3），該結(jié)論：弦切角∠CAB=∠P還成立嗎？請說明理由．
知識運用：如圖4，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB、AC分別相交于E、F．求證：EF∥BC．
【解答】解：問題拓展：∠CAB=∠P成立．理由如下：
作直徑AD，連接CD，如圖3，則∠D=∠P，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵AB切⊙O于點A，
∴AD⊥AB，
∴∠CAB+∠CAD=90°，
∴∠CAB=∠P；
知識運用：如圖4，連接DF，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，
∴∠CDF=∠CAD，
∴∠BAD=∠CDF，
∵∠BAD=∠DFE，
∴∠CDF=∠DFE，
∴EF∥BC．
26．（14分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為（3，0），頂點C的坐標為（1，4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2 ？若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．
【解答】解：
（1）∵拋物線的頂點C的坐標為（1，4），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x?1）2+4，
∵點B（3，0）在該拋物線的圖象上，
∴0=a（3?1）2+4，解得a=?1，
∴拋物線解析式為y=?（x?1）2+4，即y=?x2+2x+3，
∵點D在y軸上，令x=0可得y=3，
∴D點坐標為（0，3），
∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3，
把B點坐標代入可得3k+3=0，解得k=?1，
∴直線BD解析式為y=?x+3；
（2）設(shè)P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，?m+3），M（m，?m2+2m+3），
∴PM=?m2+2m+3?（?m+3）=?m2+3m=?（m? ）2+ ，
∴當m= 時，PM有最大值 ；
（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，
設(shè)Q（x，?x2+2x+3），則G（x，?x+3），
∴QG=|?x2+2x+3?（?x+3）|=|?x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
當△BDQ中BD邊上的高為2 時，即QH=HG=2 ，
∴QG= ×2 =4，
∴|?x2+3x|=4，
當?x2+3x=4時，△=9?16＜0，方程無實數(shù)根，
當?x2+3x=?4時，解得x=?1或x=4，
∴Q（?1，0）或（4，?5），
綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（?1，0）或（4，?5）．
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