第二章 函 數(shù)
高考導(dǎo)航
考試要求重難點擊命題展望
1.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.
2.在實際生活中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單運用.
4.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.
5.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).
6.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.
7.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)通過的特殊點.
8.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.
9.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)通過的特殊點.
10.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax (a＞0且a≠1)互為反函數(shù).
11.了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)y＝x， y＝x2， y＝x3 ,
y＝ ， y＝ 的圖象，了解它們的變化情況.
12.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性和根的個數(shù).
13.根據(jù)具體函數(shù)圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.
14.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征；知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.
15.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.本章重點： 1.函數(shù)的概
念及其三要素；
2.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其幾何意義；
3.函數(shù)的最大(小)值；
4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)；
5.函數(shù)的圖象及其變換；
6.函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系；
7.函數(shù)模型的建立及其應(yīng)用.
本章難點：
1.函數(shù)概念的理解；
2.函數(shù)單調(diào)性的判斷；
3.函數(shù)圖象的變換及其應(yīng)用；
4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)概念的理解及其性質(zhì)運用；
5.研究二次函數(shù)的零點與一元二次方程的根的關(guān)系；
6.函數(shù)模型的建立及求解. 高考對函數(shù)的考查，常以選擇題和填空題來考查函數(shù)的概念和一些基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答題則往往不是簡單地考查概念、公式和法則的應(yīng)用，而是常與導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等知識及實際問題結(jié)合起來進行綜合考查，并滲透數(shù)學(xué)思想方法，突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
知識網(wǎng)絡(luò)
2.1函數(shù)的概念及表示法
典例精析
題型一 求函數(shù)的解析式
【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f (x)的表達式；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，求f (x)的表達式.
【解析】(1)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，代入得
f (x)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，所以f (x)＝x2－x＋1.
(2)由f (x)＋2f (－x)＝3x2＋5x＋3，
x換成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝3x2－5x＋3，解得f (x)＝x2－5x＋1.
【點撥】已知f(x)，g(x)，求復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x換成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f (x)的解析式，常常是設(shè)g(x)＝t，或者在f[g(x)]中湊出g(x)，再把g(x)換成x.
【變式訓(xùn)練1】已知f ( )＝ ，求f (x)的解析式.
【解析】設(shè) ＝t，則x＝ ，所以f (t)＝ ＝ ，
所以f (x)＝ (x≠－1).
題型二 求函數(shù)的定義域
【例2】(1)求函數(shù)y＝ 的定義域；
(2)已知f(x)的定義域為[－2,4]，求f(x2－3x)的定義域.
【解析】(1)要使函數(shù)有意義，則只需要
即
解得－3＜x＜0或2＜x＜3，故所求的定義域為(－3,0)∪(2,3).
(2)依題意，只需－2≤x2－3x≤4，
解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定義域為[－1,1]∪[2,4].
【點撥】有解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，往往列不等式組求解.對于抽象函數(shù)f[g(x)]的定義域要把g(x)當(dāng)作f(x)中的x來對待.
【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f (2x)的定義域為[－1,1]，求f(log2x)的定義域.
【解析】因為y＝f(2x)的定義域為[－1,1]，即－1≤x≤1時2－1≤2x≤21，所以y＝f(x)的定義域為[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y＝f(log2x)的定義域為[2，4].
題型三 由實際問題給出的函數(shù)
【例3】 用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖)，若矩形底部長為2x，求此框圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域.
【解析】由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，而矩形的長AB＝2x，
設(shè)寬為a，則有2x＋2a＋πx＝l，即a＝ － x－x，半圓的半徑為x，
所以y＝ ＋( －π2x－x)?2x＝－(2＋π2)x2＋lx.
由實際意義知 －π2x－x＞0，因x＞0，解得0＜x＜ .
即函數(shù)y＝－(2＋π2)x2＋lx的定義域是{x0＜x＜ }.
【點撥】求由實際問題確定的定義域時，除考慮函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮使實際問題有意義.如本題使函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍是x∈R，但實際問題的意義是矩形的邊長為正數(shù)，而邊長是用變量x表示的，這就是實際問題對變量的制約.
【變式訓(xùn)練3】一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”形圖案，如圖所示，設(shè)小矩形的長、寬分別為x、y，剪去部分的面積為20，若2≤x≤10，記y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象是( )
【解析】由題意得y＝10x(2≤x≤10)，選A.
題型四 分段函數(shù)
【例4】 已知函數(shù)f(x)＝
(1)求f(1)＋f(－1)的值；
(2)若f(a)＝1，求a的值；
(3)若f(x)＞2，求x的取值范圍.
【解析】(1)由題意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.
(2)當(dāng)a＜0時，f(a)＝a＋3＝1，解得a＝－2；
當(dāng)a≥0時，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0. 所以a＝－2或a＝0.
(3)當(dāng)x＜0時，f(x)＝x＋3＞2，解得－1＜x＜0；
當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋1＞2，解得x＞1.
所以x的取值范圍是－1＜x＜0或x＞1.
【點撥】分段函數(shù)中，x在不同的范圍內(nèi)取值時，其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式不同.因此，分段函數(shù)往往需要分段處理.
【變式訓(xùn)練4】(2010全國新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)＝ 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是( )
A.(1,10)B.(5,6)
C.(10,12)D.(20,24)
【解析】不妨設(shè)a＜b＜c，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)圖象知110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，所以－lg a＝lg b＝－12c＋6，所以ab＝1，所以abc的范圍為(10,12)，故選C.
總結(jié)提高
1.在函數(shù)三要素中，定義域是靈魂，對應(yīng)法則是核心，因為值域由定義域和對應(yīng)法則確定，所以兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對應(yīng)法則均相同時才表示同一個函數(shù)，而值域相同是兩函數(shù)為同一函數(shù)的必要非充分條件.
2.若一個函數(shù)在其定義域不同的子集上，解析式不同，則可用分段函數(shù)的形式表示.
3.函數(shù)的三種表示法各有利弊，一般情況下，研究函數(shù)要求出函數(shù)的解析式，通過解析式來解題.求函數(shù)解析式的方法有：配方法、觀察法、換元法和待定系數(shù)法等.
2.2 函數(shù)的單調(diào)性
典例精析
題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明
【例1】討論函數(shù)f(x)＝ax＋1x＋2 (a≠12)在(－2，＋∞)上的單調(diào)性.
【解析】設(shè)x1，x2為區(qū)間(－2，＋∞)上的任意兩個數(shù)且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝(x1－x2)(2a－1)(x1＋2)(x2＋2)，
因為x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.
所以當(dāng)a＜12時，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)上為減函數(shù)；
當(dāng)a＞12時，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)上是增函數(shù).
【點撥】運用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須注意x1，x2在給定區(qū)間內(nèi)的任意性，另外本題可以利用導(dǎo)數(shù)來判斷.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)滿足f(π＋x)＝f(π－x)，且當(dāng)x∈(0，π)時，f(x)＝x＋cos x，則f(2)，f(3)，f(4)的大小關(guān)系是( )
A. f (2)＜f (3)＜f (4)B. f (2)＜f (4)＜f (3)
C. f (4)＜f (3)＜f (2)D. f (3)＜f (4)＜f (2)
【解析】B.
題型二 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
【例2】試求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y＝x－1；
(2)y＝x2＋2x－1；
(3)y＝ .
【解析】(1)y＝x－1＝
所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1).
(2)y＝x2＋2x－1＝
所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1).
(3)由于t＝－x2＋4x－3的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞)，又底數(shù)大于1，所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞).
【點撥】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往需要借助函數(shù)圖象和有關(guān)結(jié)論，才能求解出.
【變式訓(xùn)練2】在實數(shù)的原有運算法則中，我們補充定義新運算“ ”如下：當(dāng)a≥b時，a b＝a；當(dāng)a＜b時，a b＝b2.則函數(shù)f (x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2,2]的最大值是( )
A.－1B.6C.1D.12
【解析】B.
題型三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1]，且對于任意的x1，x2∈[－1,1]，當(dāng)x1≠x2時，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0.
(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
(2)解不等式f(5x－1)＜f(6x2).
【解析】(1)當(dāng)x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2時，由f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，得f(x1)＜f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù).
(2)因為f(x)在[－1,1]上是增函數(shù).所以由f(5x－1)＜f(6x2)知，
所以0≤x＜13，所求不等式的解集為{x0≤x＜13}.
【點撥】抽象函數(shù)的單調(diào)性往往是根據(jù)定義去判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性解題時，容易犯的錯誤是忽略函數(shù)的定義域.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當(dāng)x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，給出下列命題：
①f(3)＝0；②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)；④函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點.
其中所有正確命題的序號為 (把所有正確命題的序號都填上).
【解析】①②④.
總結(jié)提高
1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，因此，討論函數(shù)的單調(diào)性，必須先確定函數(shù)的定義域.
2.函數(shù)的單調(diào)性可以借助函數(shù)圖象來研究，增函數(shù)的圖象自左向右是上升曲線，減函數(shù)的圖象自左向右是下降曲線.
3.導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性問題的有力工具.
4.利用函數(shù)單調(diào)性可比較大小、證明不等式、解不等式、求函數(shù)值域或最值等，既是一種方法，也是一種技巧，應(yīng)加強函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，提高解題技巧.
5.函數(shù)的單調(diào)性不同于周期性與奇偶性，它僅僅是函數(shù)的局部性質(zhì).
2.3 函數(shù)的奇偶性
典例精析
題型一 函數(shù)奇偶性的判斷
【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)＝lg(1－x2)x2－2－2；
(2)f(x)＝
【解析】(1)由 得定義域為(－1,0)∪(0,1)，
這時f(x)＝lg(1－x2)－(x2－2)－2＝－lg(1－x2)x2，
因為f(－x)＝－lg[1－(－x)2](－x)2＝－lg(1－x2)x2＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).
(2)當(dāng)x＜0時，－x＞0，則
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，
當(dāng)x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)，
所以對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).
【點撥】判斷函數(shù)的奇偶性時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再分析
f(－x)與f(x)的關(guān)系，必要時可對函數(shù)的解析式進行化簡變形.
【變式訓(xùn)練1】(2010廣東)若函數(shù)f(x)＝3x＋ 與g(x)＝3x－ 的定義域均為R，則( )
A. f (x)與g(x)均為偶函數(shù)B. f (x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)
C. f (x)與g(x)均為奇函數(shù)D. f (x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)
【解析】B.
題型二 由奇偶性的條件求函數(shù)的解析式
【例2】若函數(shù)f(x)＝x＋mx2＋nx＋1是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，求f(x)的解析式.
【解析】因為函數(shù)f(x)＝x＋mx2＋nx＋1是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝0，從而得m＝0. 又f(12)＋f(－12)＝0，解得n＝0.
所以f(x)＝xx2＋1(－1＜x＜1).
【變式訓(xùn)練2】已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函數(shù)，求a，b的值.
【解析】因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ .
又由f(1)＝－f(－1)，所以1－2a＋4＝－1－12a＋1，解得a＝2. 故a＝2，b＝1.
題型三 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＞0時，f(x)＞0且f(2)＝6.
(1)求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；
(2)求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；
(3)在區(qū)間[－4,4]上，求f(x)的最值.
【解析】(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(2)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
又x＞0時，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
(3)因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，
所以f(x)在區(qū)間[－4,4]上也是增函數(shù)，
所以函數(shù)f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)，
因為f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，
又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，
故函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4,4]上的最大值為12，最小值為－12.
【點撥】函數(shù)的最值問題，可先通過判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再求區(qū)間上的最值.
【變式訓(xùn)練3】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝
則f(－1)＝ ，f(33)＝ .
【解析】4；－2.
總結(jié)提高
1.判定函數(shù)的奇偶性時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系，必要時可對函數(shù)解析式進行化簡變形.
2.判定函數(shù)的奇偶性時，有時可通過其等價形式：f(－x)±f(x)＝0或f(－x)f(x)＝±1 (f(x)≠0)進行處理.
3.奇偶性與單調(diào)性、不等式相結(jié)合的問題，要注意數(shù)形結(jié)合求解.
2.4 二次函數(shù)
典例精析
題型一 求二次函數(shù)的解析式
【例1】已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝－2，在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為22，求f(x)的解析式.
【解析】設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有
解得a＝12，b＝2，c＝1，所以f(x)＝12x2＋2x＋1.
【點撥】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)男问�，三種形式可以相互轉(zhuǎn)化，若二次函數(shù)圖象與x軸相交，則兩點間的距離為x1－x2＝b2－4aca.
【變式訓(xùn)練1】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象過點A(c,0)，且關(guān)于直線x＝2對稱，則這個二次函數(shù)的解析式是 .
【解析】由已知x＝c為它的一個根，故另一根為1.
所以1＋b＋c＝0，又－b2＝2?b＝－4，所以c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
題型二 二次函數(shù)的最值
【例2】已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1,3).
(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等實根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.
【解析】(1)因為f(x)＋2x＞0的解集為(1,3).
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由f(x)＋6a＝0?ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②
由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0?5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－15.
因為a＜0，所以a＝－15，代入①得f(x)＝－15x2－65x－35.
(2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2aa)2－a2＋4a＋1a，
又a＜0，可得[f(x)]max＝－a2＋4a＋1a.
由 ?a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.
【點撥】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法.
【變式訓(xùn)練2】已知二次函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3和最小值2，則m的取值范圍是 .
【解析】[1,2].
題型三 二次函數(shù)在方程、不等式中的綜合應(yīng)用
【例3】設(shè)函數(shù) f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，對于方程f(x)＝12[ f(x1)＋f(x2)]，求證：
(1)方程在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)必有一解；
(2)設(shè)方程在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)的根為m，若x1，m－12，x2成等差數(shù)列，則－b2a＜m2.
【證明】(1)令g(x)＝f(x)－12[ f(x1)＋f(x2)]，
則g(x1)g(x2)＝12[ f(x1)－f(x2)] 12[ f(x2)－f(x1)]＝－14 [ f(x1)－f(x2)]2＜0，
所以方程g(x)＝0在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)必有一解.
(2)依題意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1，
又f(m)＝12[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax21＋bx1＋c＋ax22＋bx2＋c.
整理得a(2m2－x21－x22)＋b(2m－x1－x2)＝0，
a(2m2－x21－x22)＋b＝0，
所以－b2a＝m2－x21＋x222＜m2.
【點撥】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布問題，一般情況下，需要從三個方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點對應(yīng)二次函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)；③相應(yīng)二次函數(shù)的對稱軸x＝－b2a與區(qū)間的位置關(guān)系.
【變式訓(xùn)練3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的兩根(α＜β)，則實數(shù)α，β，a，b大小關(guān)系為( )
A.α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜βD.α＜a＜β＜b
【解析】A.
總結(jié)提高
1.二次函數(shù)的表達式有多種形式，形式的選擇要依據(jù)題目的已知條件和所求結(jié)論的特征而定.
2.利用二次函數(shù)的知識解題始終要把握二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵要素：①開口方向；②對稱軸；③與坐標(biāo)軸的交點.
3.二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，相互滲透，解題時要注意三者的相互轉(zhuǎn)化，重視用函數(shù)思想處理方程和不等式問題.
2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
典例精析
題型一 指數(shù)及其運算
【例1】計算：
(1) ；
(2)(0.027) －(－17)－2＋(279) －(2－1)0.
【解析】(1)原式＝ ? ? ? ? ＝125.
(2)原式＝(271 000 －(－1)－2(17)－2＋(259 －1
＝103－49＋53－1＝－45.
【點撥】進行指數(shù)的乘除運算時，一般先化成相同的底數(shù).
【變式訓(xùn)練1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的兩根，求 － 的值.
【解析】a＋b＝829，ab＝1.
原式＝2 ＝2(ab) ＝2.
題型二 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】已知函數(shù)f(x)＝2x－12x＋1，其中x∈R.
(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；
(2)證明f(x)是R上的增函數(shù).
【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為x∈R，
且f(－x)＝ ＝1－2x1＋2x＝－f(x)， 所以f(x)為R上的奇函數(shù).
(2)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝ － = ＜0，
所以f(x)是R上的增函數(shù).
【點撥】在討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或利用其性質(zhì)解題時，要特別注意底數(shù)是大于1還是小于1，如果不能確定底數(shù)的范圍應(yīng)分類討論.
【變式訓(xùn)練2】函數(shù)y＝ex＋e－xex－e－x的圖象大致為( )
【解析】A.
題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)＝2x－12x.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】f(x)＝2x－12x＝
(1)因為f(x)＝2，所以2x－12x＝2.
因為x≥0，所以2x＝1＋2，解得x＝log2(1＋2).
(2)因為t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化為2t(22t－122t)＋m(2t－12t)≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1).
因為22t－1＞0，所以上式可化為m≥－(22t＋1).
又因為－(22t＋1)的最大值為－5，所以m≥－5.
故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立的實數(shù)m的取值范圍是[－5，＋∞).
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝2x－1，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0
C.2－a＜2cD.2a＋2c＜2
【解析】D.
總結(jié)提高
1.增強分類討論的意識，對于根式na的意義及其性質(zhì)要分清n是奇數(shù)，還是偶數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與底數(shù)a的取值范圍有關(guān)，研究與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時，要注意分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論.
2.深化概念的理解與應(yīng)用，對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中冪指數(shù)為負(fù)數(shù)的情形，要注意底數(shù)a的取值限制.
3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問題.
2.6 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
典例精析
題型一 對數(shù)的運算
【例1】計算下列各題：
(1)2(lg2)2＋lg2 lg 5＋(lg2)2－lg 2＋1；
(2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40.
【解析】
(1)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2lg 5＋(lg2－1)2
＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2＝1.
(2)原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1.
【點撥】運用對數(shù)的運算性質(zhì)以及式子的恒等變形.
【變式訓(xùn)練1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3為 .
【解析】由 ?lg 3＝3a2＋2b.
題型二 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)經(jīng)過的定點坐標(biāo)；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(3)解不等式log3(x－2)＜1.
【解析】(1)當(dāng)x＝3時，loga1＝0恒成立，所以函數(shù)f(x)所經(jīng)過的定點坐標(biāo)為(3,0).
(2)當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù).
(3)不等式log3(x－2)＜1等價于不等式組
解得2＜x＜5，所以原不等式的解集為(2,5).
【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝ 若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為 .
【解析】要保證函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則分段函數(shù)應(yīng)該在各自定義域內(nèi)分別單調(diào)遞增.若f(x)＝(a－2)x－1在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞增，則a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a＞1.另外要保證函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增還必須滿足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故實數(shù)a的取值范圍為2＜a≤3.
題型三 對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax).
(1)當(dāng)x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.
【解析】(1)由題設(shè)知3－ax＞0對一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1.
因為a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上為減函數(shù)，
從而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜32，
所以a的取值范圍為(0,1)∪(1，32).
(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，由題設(shè)知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，所以a＝32，
此時f(x)＝ (3－32x).
當(dāng)x＝2時，f(x)沒有意義，故這樣的實數(shù)不存在.
【點撥】這是一道探索性問題，注意函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題的處理，一般是先假設(shè)存在，再結(jié)合已知條件進行轉(zhuǎn)化求解，如推出矛盾，則不存在，反之，存在性成立.
【變式訓(xùn)練3】給出下列四個命題：
①函數(shù)f(x)＝ln x－2＋x在區(qū)間(1，e)上存在零點；
②若f′(x0)＝0，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極值；
③若m≥－1，則函數(shù)y＝ (x2－2x－m)的值域為R；
④“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝a－ex1＋aex在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
則其中正確的序號是 (把全部正確命題的序號都填上).
【解析】因為f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，e)上存在零點，命題①正確；對于函數(shù)f(x)＝x3來說，f′(x)＝3x2，顯然有f′(0)＝0，但f(x)在定義域上為增函數(shù)，故x＝0不是函數(shù)的極值點，命題②錯誤；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，則Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正數(shù)，所以函數(shù)
y＝ (x2－2x－m)的值域為R，命題③正確；由f(－x)＝－f(x)，可得a－e－x1＋ae－x＝－a－ex1＋aex，解得a＝±1，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件為a＝±1，故 “a＝1”是“函數(shù)f(x)＝a－ex1＋aex為奇函數(shù)”的充分不必要條件，所以命題④正確.綜上所述，正確的命題為①③④.
總結(jié)提高
1.熟練運用對數(shù)的運算公式是解決對數(shù)運算的基礎(chǔ)和前提，運用對數(shù)的運算法則，要注意各字母的取值范圍，同時，不要將積、商、冪、方根的對數(shù)與對數(shù)的積、商、冪、方根混淆起來.
2.研究對數(shù)問題時，要盡量化成同底，另外，研究對數(shù)問題時要注意對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制條件.
3.對數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)是單調(diào)性，比較大小是單調(diào)性的重要運用，在比較時，通常利用函數(shù)的單調(diào)性或借助于中間量－1,0,1來比較，但要注意分類討論.
4.利用對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)討論一些函數(shù)的應(yīng)用問題是�？碱}型，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用.
2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象
典例精析
題型一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例1】點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上.
(1)求f(x)、g(x)的解析式；
(2)問當(dāng)x為何值時，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
【解析】(1)設(shè)f(x)＝xa，因為點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，將(2，2)代入f(x)＝xa中，得2＝(2)a，解得a＝2，即f(x)＝x2.
設(shè)g(x)＝xb，因為點(－2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，將(－2，14)代入g(x)＝xb中，得14＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知：
①當(dāng)x＞1或x＜－1時，g(x)＜f(x)；
②當(dāng)x＝±1時，f(x)＝g(x)；
③當(dāng)－1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x).
【點撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟：
①設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝xa(a為常數(shù))；
②根據(jù)已知條件求出a的值；
③寫出冪函數(shù)的解析式.
本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想，即在同一坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)的圖象，借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2＝1x2，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1為分界點分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五種情況進行討論，也能得到同樣的結(jié)果.
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)＝(m2－m－1) 是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時是減函數(shù)，求實數(shù)m.
【解析】因為f(x)為冪函數(shù)，
所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
當(dāng)m＝2時，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)；
當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是減函數(shù).
所以m＝2.
題型二 作函數(shù)圖象
【例2】作下列函數(shù)圖象：
(1)y＝1＋log2x；
(2)y＝2x－1；
(3)y＝x2－4.
【解析】(1)y＝1＋log2x的圖象是：
(2)y＝2x－1的圖象是：
(3)y＝x2－4的圖象是：
【變式訓(xùn)練2】在下列圖象中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝(ba)x的圖象只可能是( )
【解析】A.
題型三 用數(shù)形結(jié)合思想解題
【例3】已知f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求m的取值范圍，使方程f(x)＝mx有4個不同實根.
【解析】
遞增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)；
遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2,3).
(2)設(shè)y＝mx與y＝f(x)有四個公共點，過原點的直線l與y＝f(x)有三個公共點，如圖所示.令它的斜率為k，則0＜m＜k.
由
?x2＋(k－4)x＋3＝0.①
令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±23.
當(dāng)k＝4＋23時，方程①的根x1＝x2＝－3?(1,3)，舍去；當(dāng)k＝4－23時，方程①的根x1＝x2＝3∈(1,3)，符合題意.故0＜m＜4－23.
【點撥】(1)作出f(x)的圖象；(2)利用(1)的圖象，研究函數(shù)y＝mx與y＝f(x)的交點情況.
【變式訓(xùn)練3】若不等式x2－logax＜0對x∈(0，12)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.0＜a＜1 B.116≤a＜1
C.a＞1 D.0＜a≤116
【解析】原不等式為x2＜logax，設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝logax，因為0＜x＜12＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，12)內(nèi)的圖象，如圖所示.
因為f(12)＝14，所以A(12，14)，當(dāng)g(x)圖象經(jīng)過點A時，14＝loga12?a＝116，因為當(dāng)x∈(0，12)時，logax＞x2，g(x)圖象按如圖虛線位置變化，所以116≤a＜1，故答案為B.
題型四 有關(guān)圖象的對稱問題
【例4】設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋1x，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的圖象為C1，C1關(guān)于點A(2,1)對稱的圖象為C2，C2對應(yīng)的函數(shù)為g(x).
(1)求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并確定其定義域；
(2)若直線y＝b與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點的坐標(biāo).
【解析】(1)設(shè)P(u，v)是y＝x＋1x上任意一點，所以v＝u＋1u.①
設(shè)P關(guān)于A(2,1)對稱的點為Q(x，y)，
所以 ?
代入①得2－y＝4－x＋14－x?y＝x－2＋1x－4.
所以g(x)＝x－2＋1x－4，其定義域為(－∞，4)∪(4，＋∞).
(2)聯(lián)立方程得
?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，
所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，當(dāng)b＝0時，交點為(3,0)；當(dāng)b＝4時，交點為(5,4).
【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù).若f(0.5)＝9，則f(8.5)等于( )
A.－9B.9 C.－3 D.0
【解析】因為f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函數(shù)f(x)的一個周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故應(yīng)選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題，合理進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
總結(jié)提高
掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法，用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個重要橋梁.應(yīng)用函數(shù)圖象法解數(shù)學(xué)問題往往具有直觀易懂、運算量小的優(yōu)點，但用圖象法求變量的取值范圍時，要特別注意端點值的取舍和特殊情況.
2.8 函數(shù)與方程
典例精析
題型一 確定函數(shù)零點所在的區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)＝x＋log2x，問方程f(x)＝0在區(qū)間[14，4]上有沒有實根，為什么？
【解析】因為f (14)＝14＋log214＝14－2＝－74＜0，
f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f(14) f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在區(qū)間[14，4]是連續(xù)的，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[14，4]上有零點，即存在c∈[14，4]，使f(c)＝0，
所以方程f(x)＝0在區(qū)間[14，4]上有實根.
【點撥】判斷函數(shù)f(x)的零點是否在區(qū)間(a，b)內(nèi)，只需檢驗兩條：①函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)不斷的；②f(a) f(b)＜0.
【變式訓(xùn)練1】若x0是函數(shù)f(x)＝x＋2x－8的一個零點，則[x0](表示不超過x0的最大整數(shù))＝ .
【解析】因為函數(shù)f(x)＝x＋2x－8在區(qū)間(－∞，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2) f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點x0，所以[x0]＝2.
題型二 判斷函數(shù)零點的個數(shù)
【例2】判斷下列函數(shù)的零點個數(shù).
(1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)；
(2)f(x)＝x－4＋log2x.
【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有兩個不同的零點.
(2)因為函數(shù)f(x)＝x－4＋log2x在區(qū)間(0，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2) f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上存在唯一的零點.
【點撥】判斷函數(shù)的零點個數(shù)有以下兩種方法：
(1)方程f(x)＝0的根的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)與x軸的交點個數(shù)，即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；
特殊情況下，還可以將方程f(x)＝0化為方程g(x)＝h(x)，然后再看函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的交點個數(shù).
【變式訓(xùn)練2】問a為何值時，函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個零點，二個零點，一個零點？
【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此時f(x)有極大值f(－1)＝2＋a，極小值f(1)＝－2＋a.由圖象(圖略)得知：
當(dāng)－2＜a＜2時，函數(shù)f(x)有三個零點；
當(dāng)a＝－2或a＝2時，函數(shù)f(x)有兩個零點；
當(dāng)a＜－2或a＞2時，函數(shù)f(x)有一個零點.
題型三 利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)零點問題
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)關(guān)于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個相異的零點，求a的取值范圍.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4.
由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞23；由f′(x)＜0，得－2＜x＜23.
故f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－2)、(23，＋∞)，
f(x)的遞減區(qū)間為(－2，23).
(2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0，
令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a.
所以g′(x)＝3x2＋4x－4.
由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(23，＋∞)上遞增，在(－2，23)上遞減，故g(x)在[－3，
－2]和[23，2)上為增函數(shù)，在[－2，23]上為減函數(shù).
關(guān)于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個不同的零點，則
解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.
【點撥】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出極值點，再討論單調(diào)性；(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形，找到滿足題設(shè)的a的條件.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝x33＋12ax2＋2bx＋c的兩個極值分別為f(x1)和f(x2)，若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi)，則b－2a－1的取值范圍為( )
A.(－1，－14)B.(－∞，14)∪(1，＋∞)
C.(14，1)D.(14，2)
【解析】因為f′(x)＝x2＋ax＋2b，由題意可知，
畫出a，b滿足的可行域，如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示，b－2a－1表示可行域內(nèi)的點與點D(1,2)的連線的斜率，記為k，觀察圖形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝2－11－(－3)＝14，kBD＝2－01－(－1)＝1，所以14＜b－2a－1＜1，故選C.
總結(jié)提高
函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，注意零點不是“點”，并不是所有的函數(shù)都有零點，或者說不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點.二分法是求一般函數(shù)零點的一種通法，但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想得到零點的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一個零點，二是在(a，b)內(nèi)有零點時，未必f(a) f(b)＜0成立，三是二分法計算量較大，常要借助計算器完成.
2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用
典例精析
題型一 運用指數(shù)模型求解
【例1】按復(fù)利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元，每期利率為2.25%，計算5期的本息和是多少？
【解析】已知本金為a元，
1期后的本利和為y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；
2期后的本利和為y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；
3期后的本利和為y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r
＝a(1＋r)3；
? ?
x期后的本利和為y＝a(1＋r)x.
將a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上式得
y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8，
所以5期后的本利和是11 176.8元.
【點撥】在實際問題中，常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則總產(chǎn)值y與時間x的關(guān)系為y＝N(1＋p)x.
【變式訓(xùn)練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a，已知月平均增長率為p，則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長的倍數(shù)是( )
A.(1＋p)12－1B.(1＋p)12
C.(1＋p)11D.12p
【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1＋p)12，去年十二月產(chǎn)值為a，故比去年增長了[(1＋p)12－1]a，故選A.
題型二 分段函數(shù)建模求解
【例2】在對口脫貧活動中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣點以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙，并約定從該經(jīng)營利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息). 在甲提供資料中有：①這種消費品的進價每件14元；②該店月銷售量Q(百件)與銷價p(元)關(guān)系如圖；③每月需各種開支2 000元.
(1)試問為使該店至少能維持職工生活，商品價格應(yīng)控制在何種范圍？
(2)當(dāng)商品價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；
(3)企業(yè)乙只依靠該廠，最早可望幾年后脫貧？
【解析】設(shè)該店月利潤額為L，則由假設(shè)得
L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，①
(1)當(dāng)14≤p≤20時，由L≥0得18≤p≤20，
當(dāng)20＜p≤26時，由L≥0得20＜p≤22，
故商店銷售價應(yīng)控制在18≤p≤22之內(nèi).
(2)當(dāng)18≤p≤20時，L最大＝450元，此時，p＝19.5元.
當(dāng)20＜p≤22時，L最大＝41623元，此時，p＝2013元.
故p＝19.5元時，月利潤最大余額為450元.
(3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧，依題意得
12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20，
即最少可望在20年后脫貧.
【點撥】解答這類題關(guān)鍵是要仔細(xì)審題，理解題意，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，求解時，也可利用導(dǎo)數(shù)，此外要注意問題的實際意義.
【變式訓(xùn)練2】國家稅務(wù)部門規(guī)定個人稿費的納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿費的11%納稅.某人出版了一本書，共納稅550元，問此人的稿費為多少元？
【解析】設(shè)納稅y(元)時稿費為x(元)，則
由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000，
所以此人稿費為5 000元.
題型三 生活中的優(yōu)化問題
【例3】(2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最��？并求最小值.
【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝k3x＋5，
再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造費用為C1(x)＝6x.
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6－2 400(3x＋5)2，令f′(x)＝0，即2 400(3x＋5)2＝6，
解得x＝5，x＝－253(舍去).
當(dāng)0＜x＜5時，f′(x)＜0；當(dāng)5＜x＜10，f′(x)＞0，
故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.
當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元.
【點撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型，可由數(shù)據(jù)的變化情況對其單調(diào)性、對稱性和特定值進行判斷，也可以從所給的部分?jǐn)?shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式，再由其他數(shù)據(jù)進一步判斷.
【變式訓(xùn)練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)為x＝ ，y＝ .
【解析】如圖，由已知有x20－x＝24－yy－8，
即4x＋5y－120＝0，
S＝xy＝120(4x 5y)≤120(4x＋5y2)2＝180.
所以 ?x＝15，y＝12.
總結(jié)提高
利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，運用數(shù)學(xué)建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實世界中不同的增長變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型，它們的增長存在很大的差異，如指數(shù)函數(shù)增長是指數(shù)“爆炸”，對數(shù)函數(shù)增長是逐步趨于平衡，而冪函數(shù)增長遠(yuǎn)低于指數(shù)函數(shù)，因此建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進行預(yù)測具有很強的現(xiàn)實意義.
2.10函數(shù)的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 抽象函數(shù)的計算或證明
【例1】已知函數(shù) f (x)對于任何實數(shù)x，y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
求證： f(x)是偶函數(shù).
【證明】因為對于任何實數(shù)x、y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，
令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)，
因為f(0)≠0，所以f(0)＝1，
令x＝0，y＝x，則f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f(x)，
所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，
故f(x)是偶函數(shù).
【點撥】對于判斷抽象函數(shù)的奇偶性問題常常采用“賦值法”探索求解途徑；判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性時，既要扣緊函數(shù)奇偶性單調(diào)性的定義，又要靈活多變，以創(chuàng)造條件滿足定義的要求.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)對任意的x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定義域為R，請判定f(x)的奇偶性.
【解析】取x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.
取y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).
題型二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.
(1)若函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為4，求實數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】由題意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.
(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以a＝3.
(2)方法一：①當(dāng)g(－1)＝－a－1＝0，即a＝－1時，g(x)＝f′(x)的零點x＝－13∈(－1,1)；
②當(dāng)g(1)＝7－a＝0，即a＝7時，
f′(x)的零點x＝－73?(－1,1)，不合題意；
③當(dāng)g(1)g(－1)＜0時，－1＜a＜7；
④當(dāng) 時，－43≤a＜－1.綜上所述，a∈[－43，7).
方法二：g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點，等價于3x2＋4x＝a在區(qū)間(－1,1)上有解，也等價于直線y＝a與曲線y＝3x2＋4x，x∈(－1,1)有公共點，作圖可得a∈[－43，7).
方法三：等價于當(dāng)x∈(－1,1)時，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋23)2－43∈[－43，7).
【變式訓(xùn)練2】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與坐標(biāo)軸交于(－1,0)和(0，－1)，且其頂點在第四象限，則a＋b＋c的取值范圍為 .
【解析】由已知c＝－1，a－b＋c＝0，所以a＋b＋c＝2a－2.
又 ?0＜a＜1，所以a＋b＋c∈(－2,0).
題型三 化歸求函數(shù)的最大值和最小值問題
【例3】某個體經(jīng)營者把開始6個月試銷售A、B兩種商品的逐月投資與所獲得的純利潤列成下表：
投資A商品
(萬元)123456
獲純利
(萬元)0.651.391.8521.841.40
投資B商品
(萬元)123456
獲純利
(萬元)0.250.490.7611.261.51
該經(jīng)營者下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知投入A、B兩種商品各多少才能獲得最大的利潤，請你幫助制定一個資金投入方案，使該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并根據(jù)你的方案求出經(jīng)營者下個月可能獲得的最大利潤(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字).
【解析】以投資金額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，可以在直角坐標(biāo)系中畫出圖象.
據(jù)此可以考慮用下列函數(shù)描述上述兩組數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系
y＝－a(x－4)2＋2 (a＞0)，①
y＝bx，②
把x＝1，y＝0.65代入①得a＝0.15，故前6個月所獲得的純利潤關(guān)于投資A商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y＝－0.15(x－4)2＋2表示，
再把x＝4，y＝1代入②可得b＝0.25，故前6個月所獲得的純利潤關(guān)于投資B商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y＝0.25x表示，
設(shè)下個月投資A商品x萬元，則投資B商品(12－x)萬元，則可獲得純利潤為
y＝－0.15(x－4)2＋2＋0.25(12－x)＝－0.15x2＋0.95x＋2.6，
可得當(dāng)x≈3.2時，y取最大值4.1萬元.
故下個月分別投資A、B兩種商品3.2萬元和8.8萬元可獲得最大利潤4.1萬元.
【點撥】本題可以用兩個函數(shù)近似地表示兩種投資方案，是估計思想的體現(xiàn).根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)，把近似函數(shù)的解析式求出來，由此求得最大利潤.解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)列出的散點圖來選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后求出待定系數(shù)便可求得函數(shù)解析式，再由解析式求最優(yōu)解.
【變式訓(xùn)練3】求函數(shù)y＝ 的值域.
【解析】x＝0時，y＝0；
x＞0時，y＝ ，所以0＜y＜1；
x＜0時，y＝ ，所以－2≤y＜0.
綜上，－2≤y＜1.
總結(jié)提高
1.函數(shù)把數(shù)學(xué)各個分支緊緊地連在一起，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)彼此滲透、互相融合，構(gòu)成了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.解這類綜合問題應(yīng)注意如下幾點：
(1)在解題時有些函數(shù)的性質(zhì)并不明顯，深入挖掘這些隱含條件，將獲得簡捷解法；
(2)應(yīng)堅持“定義域優(yōu)先”的原則，先弄清自變量的取值范圍；
(3)函數(shù)思想處處存在，要重視對函數(shù)思想的研究和應(yīng)用，在解題時，要有意識地引進變量，建立相關(guān)函數(shù)關(guān)系，利用有關(guān)函數(shù)知識解決問題.
2.解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：
(1)閱讀理解，審清題意.讀題要逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹�，理解敘述所表達的實際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；
(2)引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型.一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時引進其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后再根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識和其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，實現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型；
(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題予以解答，求出結(jié)果；
(4)將所得結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/80508.html
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