第五 數(shù)列
一、基礎(chǔ)知識
定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，…. 數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。
定理1 若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1, 當(dāng)n>1時，an=Sn-Sn-1.
定義2 等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.
定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn= ；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+a¬q；5）對任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條是Sn=An2+Bn.
定義3 等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，都有 ，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。
定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q 1時，Sn= ；當(dāng)q=1時，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b 0)，則b叫做a, c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。
定義4 極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對任意的 >0，存在，對任意的n>(n∈N),都有an-A< ，則稱A為n→+∞時數(shù)列{an}的極限，記作
定義5 無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列{an}的公比q滿足q<1，則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為 （由極限的定義可得）。
定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。
競賽常用定理
定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對一切n≤k的自然數(shù)n都成立時（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。
定理5 對于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個根為α,β:(1)若α β，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始條x1, x2的值確定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。
二、方法與例題
1．不完全歸納法。
這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。
例1 試給出以下幾個數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2 已知數(shù)列{an}滿足a1= ,a1+a¬2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng)an.
【解】 因?yàn)閍1= ,又a1+a¬2=22•a2,
所以a2= ，a3= ,猜想 (n≥1).
證明；1）當(dāng)n=1時，a1= ，猜想正確。2）假設(shè)當(dāng)n≤k時猜想成立。
當(dāng)n=k+1時，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，
所以 =k(k+2)ak+1,
即 =k(k+2)ak+1,
所以 =k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以
例3 設(shè)0<a<1，數(shù)列{an}滿足an=1+a, an-1=a+ ，求證：對任意n∈N+,有an>1.
【證明】 證明更強(qiáng)的結(jié)論：1<an≤1+a.
1)當(dāng)n=1時，1<a1=1+a，①式成立；
2)假設(shè)n=k時，①式成立，即1<an≤1+a，則當(dāng)n=k+1時，有
由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。
2．迭代法。
數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。
例4 數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q 0，求證：存在常數(shù)c，使得 •an+
【證明】 •an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2•(-qan)+ =
+an(pqn+1+qan)]=q( ).
若 =0，則對任意n, + =0，取c=0即可.
若 0，則{ + }是首項(xiàng)為 ，公式為q的等比數(shù)列。
所以 + = •qn.
取 • 即可.
綜上，結(jié)論成立。
例5 已知a1=0, an+1=5an+ ，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.
【證明】 因?yàn)閍1=0, a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n≥1時an+1>an.
又由an+1=5an+ 移項(xiàng)、平方得
①
當(dāng)n≥2時，把①式中的n換成n-1得 ，即
②
因?yàn)閍n-1<an+1，所以①式和②式說明an-1, an+1是方程x2-10anx+ -1=0的兩個不等根。由韋達(dá)定理得an+1+ an-1=10an(n≥2).
再由a1=0, a2=1及③式可知，當(dāng)n∈N+時，an都是整數(shù)。
3．?dāng)?shù)列求和法。
數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯項(xiàng)相消法等。
例6 已知an= (n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】 因?yàn)閍n+a100-n= + = ，
所以S99=
例7 求和： +…+
【解】 一般地，
，
所以Sn=
例8 已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2。
【證明】 由遞推公式可知，數(shù)列{an}前幾項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13。
因?yàn)?， ①
所以 。 ②
由①-②得 ，
所以 。
又因?yàn)镾n-2<Sn且 >0,
所以 Sn, 所以 ，
所以Sn<2，得證。
4．特征方程法。
例9 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.
【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故設(shè)an=(α+βn)•2n-1，其中 ，
所以α=3，β=0，
所以an=3•2n-1.
例10 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.
【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,
所以an=α•3n+β•(-1)n，其中 ，
解得α= ，β ，
所以 •3]。
5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。
例11 正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足 =2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。
【解】 由 得 =1，
即
令bn= +1，則{bn}是首項(xiàng)為 +1=2，公比為2的等比數(shù)列，
所以bn= +1=2n，所以 =（2n-1）2，
所以an= • … • •a0=
注： C1•C2•…•Cn.
例12 已知數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通項(xiàng)。
【解】 考慮函數(shù)f(x)= 的不動點(diǎn)，由 =x得x=
因?yàn)閤1=2, xn+1= ,可知{xn}的每項(xiàng)均為正數(shù)。
又 +2≥ ，所以xn+1≥ (n≥1)。又
Xn+1- = = , ①
Xn+1+ = = , ②
由①÷②得 。 ③
又 >0，
由③可知對任意n∈N+， >0且 ,
所以 是首項(xiàng)為 ，公比為2的等比數(shù)列。
所以 • ，所以 ，
解得 • 。
注：本例解法是借助于不動點(diǎn)，具有普遍意義。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1． 數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時，xn=_________.
2. 數(shù)列{xn}滿足x1= ，xn+1= ,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.
3. 數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn= +2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.
4. 等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時，n=_________.
5. 等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.
6. 數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.
7. 數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則a1+a2+…+a10=_________.
8. 若 ，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.
9. 等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若 ，則 =_________.
10. 若n!=n(n-1)…2•1, 則 =_________.
11．若{an}是無窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48, log2a2•log2a3+ log2a2•log2a5+ log2a2•log2a6+ log2a5•log2a6=36，求 的通項(xiàng)。
12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{ }是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知函數(shù)f(x)= ，若數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1=f(an)(n∈N+)，則a2006=_____________.
2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an= .
3. 若an=n2+ , 且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是__________.
4. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= , 前n項(xiàng)和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_____________.
5. 已知 ，則a的取值范圍是______________.
6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________個a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個a1值，使{an}成等比數(shù)列。
7．已知 (n ∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.
8．有4個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和中16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，則這四個數(shù)分別為____________.
9. 設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.
10. 在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).
11．已知數(shù)列{an}中，an 0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條是
（n≥2）①恒成立。
12．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn= (n≥2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時，（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1= ；（3）求數(shù)列
13．是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式
1•22+2•32+…+n•(n+1)2= (an2+bn+c)
對于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個。
2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1, xn= ，則通項(xiàng)xn=__________.
3. 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3, an>0，且 ，則通項(xiàng)an=__________.
4. 已知數(shù)列a0, a1, a2, …, an, …滿足關(guān)系式(3-an+1)•(6+an)=18，且a0=3，則 =__________.
5. 等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.
6. 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有__________項(xiàng).
7. 數(shù)列{an}滿足a1=2, a2=6, 且 =2，則
________.
8. 數(shù)列{an} 稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0, {an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).
9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1, an+1= 。問：對于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？
10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個滿足以上條，且其存在無限個非零項(xiàng)的數(shù)列。
11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得
a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,….
2．設(shè)a1, a2,…, an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1; ②ai-ai+1≤2, i=1,2,…,n-1。
試問f(2007)能否被3整除？
3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且
求證：an (n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。
4．無窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,…),
（1）求證：對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個n≥1，使 ≥3.999均成立；
（2）尋求這樣的一個數(shù)列使不等式 <4對任一n均成立。
5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于的正整數(shù)序列且滿足xk=xk-1-xk-2(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項(xiàng)？
6．設(shè)a1=a2= ，且當(dāng)n=3,4,5,…時，an= ,
(?)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(?)求證： 是整數(shù)的平方。
7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對每個正整數(shù)n, un+1un-1=kuu，這里k是某個固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求證：存在無窮有界數(shù)列{xn}，使得對任何不同的m, k，有xm-xk≥
9.已知n個正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0<q<1，求證：n個實(shí)數(shù)b0,b1,…，bn和滿足：（1）ak<bk(k=1,2,…,n)；
（2）q< < (k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn< (a0+a1+…+an).
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