第二講 三角變換與解三角形
【最新考綱透析】
1．會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。
2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。
3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角各的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
4．能運(yùn)用和與差、二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解決 一些簡單的三角形度量問題。
6．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：三角變換及求值
考情聚焦：1．利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角變換、求值是高考必考內(nèi)容。
2．該類問題出題背景選擇面廣，解答題中易出現(xiàn)與新知識的交匯題。
3．該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題。
考向鏈接： 1．在涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用時(shí)，常用到如下變形
（1） ；
（2）角的變換 ；
（3） 。
2．利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可解決求值求角問題，常見有以下三種類型：
（1）“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變換求三角函數(shù)式的值；
（2）“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值；
（3）“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角。
例1：已知向量 ,且
(Ⅰ)求tan A的值；
(Ⅱ)求函數(shù) R)的值域
解析：（Ⅰ）由題意得m?n=sinA- 2cosA=0,
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因?yàn)閤 R,所以 .當(dāng) 時(shí)，f(x)有最大值 ，
當(dāng)sinx= -1時(shí)，f(x)有最小值-3
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
要點(diǎn)考向2：正、余弦定理的應(yīng)用
考情聚焦：1 ．利用正、余弦定理解決涉及三角形的問題，在近3年新課標(biāo)高考中都有出現(xiàn)，預(yù)計(jì)將會成為今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)。
2．該類問題多數(shù)是以三角形或其他平面圖形為背景，考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡與證明。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn)。
考向鏈接：1．在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口。
2．在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量避免求正弦值。
例2：（2010?遼寧高考理科?Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求 的最大值.
【命題立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值。
【思路點(diǎn)撥】（I）根據(jù)正統(tǒng) 定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作關(guān)于角B的函數(shù)，進(jìn)而求出最值
【規(guī)范解答】（Ⅰ）由已 知，根據(jù)正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故當(dāng)B＝30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正 弦化為邊時(shí)只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC。sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分。
(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要點(diǎn)考向3：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦：1．有關(guān)解三角形及實(shí)際應(yīng)用在高考中有時(shí)出現(xiàn)。
2．該類問題以實(shí)際問題為背景，其建模后為解三角形問題，與三角函數(shù)及三角變換等知識交匯。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，題目不會太難。
例3：（2010?江蘇高考?Ｔ１7）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
(1)該小組已測得一組 、 的值，算出了tan =1.24，tan =1.20，請據(jù)此算出H的值；
(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使 與 之差較 大，可以提高測量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)， - 最大？
【命題立意】本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及 不等式的 應(yīng)用。
【思路點(diǎn)撥】（1）分別利用 表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【規(guī)范解答】（1） ，同理： ， 。
AD—AB=DB，故得 ，解得： 。
因此，算出的電視塔的高度H是124m。
（2）由題設(shè)知 ，得 ，
，（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號）
故當(dāng) 時(shí)， 最大。
因?yàn)?，則 ，由 的單調(diào)性可知：當(dāng) 時(shí)， - 最大。
故所求的 是 m。
【高考真題探究】
1．（2010?福建高考文科?Ｔ2）計(jì)算 的結(jié)果等于（ ）
A. B. C. D.
【命題立意】本題考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降冪公式，并進(jìn)行三角的化簡求值。
【思路點(diǎn)撥】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降冪公式即可。
【規(guī)范解答】選B， 。
【方法技巧】對于三角公式的學(xué)習(xí)，要注意靈活掌握其變形公式，才能進(jìn)行靈活的恒等變換。如倍角公式： ， 的逆用公式為“降冪公式”，即為 ， ，在三角函數(shù)的恒等變形中，降冪公式的起著重要的作用。
2．（2010 海南寧夏高考 理科T16）在 中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD= DC, =120°，AD=2，若 的面積為 ，則 = .
【命題立意】本題主要考查了余弦定理及其推論的綜合應(yīng)用.
【思路點(diǎn)撥】利用三角形中的余弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關(guān)系式求解.
【規(guī)范解答】設(shè) ，則 ，由 的面積為 可知
，可得 ，由余弦定理可知
，所以
，所以
由 ，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關(guān)系，利用余弦定理或正弦定理找邊與角的關(guān)系，列出等式求解.
3．（2010?天津高考理科?Ｔ7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若 ， ，則A= ( )
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化。
【規(guī)范解答】選A，根據(jù)正弦定理及 得：
，
。
【 方法技巧】根據(jù)所給 邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１0）在△ABC中，若b = 1，c = ， ，則a = 。
【命題立意】本題考查解三角形中的余弦定理。
【思路點(diǎn)撥】對 利用余弦定理，通過解方程可解出 。
【規(guī)范解答】由余弦定理得， ，即 ，解得 或 （舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時(shí)，用余弦定理比較好。
5．（2010?天津高考理科?Ｔ１7）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小正周期及在區(qū)間 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 ，求 的值。
【命題立意】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦公式、函數(shù) 的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式；變角 ，
【規(guī)范解答】（1）由 ，得
所以函數(shù) 的最小正周期為
因?yàn)?在區(qū)間 上為增函數(shù)，在區(qū)間 上為減函數(shù)，又
，所以函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為2，最小值為-1
（Ⅱ）由（1）可知 又因?yàn)?，所以
由 ，得 從而
所以
6．（2010?陜西高考理科?Ｔ１7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距
海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°
的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南 偏西60°且與B點(diǎn)相距 海里的C點(diǎn)的 救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？
【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理，考查了解決三角形問題的能力，屬于中檔題。
【思路點(diǎn)撥】解三角形
【規(guī)范解答】
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題6分，總分36分）
1．（2010屆?山東省實(shí)驗(yàn)高三一診（文））已知點(diǎn) 在第四象限, 則角 的終邊在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若 ，則 的值為( )
A． B． C． D．
3．函數(shù) 的最小正周期T= （ ）
（A）2π（B）π（C） （D）
4．若函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)：（1）最小正周期為π，（2）圖象關(guān)于直線 對稱；（3）在區(qū)間 上是增函數(shù)，則y=f（x）的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2010屆?廣東高三六校聯(lián)考（理））如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在邊AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，則AD＝（ ）
A．2B．5C．4D．1
二、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，總分18分）
7．在 中，角 ， ， 所對的邊分別是 ， ， ，若 ，且 ，則 的面積等于_____
8．若定義在區(qū)間 上的函數(shù) 對 上的任意 個(gè)值 ， ，…， ，總滿足 ≤ ，則稱 為 上的凸函數(shù)．已知函數(shù) 在區(qū)間 上是“凸函數(shù)”，則在△ 中， 的最大值是____．
9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,則A=_______.
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．（本小題滿分12分）已知 ．
（1）求 ；
（2）求 的值．
11．已知函數(shù) 的最小正周期為 .
（1）求 在區(qū)間 上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù) 圖象上與坐標(biāo)原點(diǎn)最近的對稱中心的坐標(biāo).
12．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且
(Ⅰ)確定角C的大小
（Ⅱ）若c＝ ,且△ABC的面積為 ,求a＋b的值。
參考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】選A.依題意，畫出圖形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=CO?cos∠DCO
=c os（π-2θ）=-cos2θ，
過O作OH⊥AC于H點(diǎn)，則
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又 A是三角形的內(nèi)角,∴A= .
答案：
10．解析：（1） ，
（2） 原式＝
= ．
11．解析: （1）
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， 取得最大值為 ，最小值為
（2）令 ，得
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ， 滿足要求的對稱中心為
12．解析：（1）由 及正弦定理得，
…………………………………… 3分
是銳角三角形， …………………………………… 6分
（2）解法1： 由面積公式得
…………………… 9分
由余弦定理得
由②變形得 …………………………………… 12分
解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得
…………………………………… 9分
消去b并整理得 解得
所以 故 …………………………………… 12分
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