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第1課時 向量的概念與幾何運算

1．向量的有關概念的：⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫單位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共線向量．規(guī)定零向量與任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法與減法
⑴ 求兩個向量的和的運算，叫向量的加法．向量加法按 法則或 法則進行．加法滿足 律和 律．
⑵ 求兩個向量差的運算，叫向量的減法．作法是將兩向量的 重合，連結兩向量的 ，方向指向 ．
3．實數(shù)與向量的積
⑴ 實數(shù) 與向量 的積是一個向量，記作 ．它的長度與方向規(guī)定如下：
① ＝ ．
② 當 ＞0時， 的方向與 的方向 ； 當 ＜0時， 的方向與 的方向 ；當 ＝0時， ．
⑵ (μ )＝ ．( ＋μ) ＝ ． ( ＋ )＝ ．
⑶ 共線定理：向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、 ，使得 ．
⑵ 設 、 是一組基底， ＝ ， ＝ ，則 與 共線的充要條件是 ．


例1．已知△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點．設 ， ，求 ．


變式訓練1.如右圖所示，D是△ABC邊AB上的中點，則向量 等于（ ）
A．－ ＋ B．－ － C． － D． ＋
例2. 已知向量 ， ， ，其中 、 不共線，求實數(shù) 、 ，使 ．


例3. 已知ABCD是一個梯形，AB、CD是梯形的兩底邊，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點，若 ， ，試用 、 表示 和 ．



課時作業(yè)
1.如圖所示，OADB是以向量 ＝ ， ＝ 為鄰邊的平行四邊形，又 ＝ ， ＝ ，試用 、 表示 ， ， ．

2：已知平行四邊形ABCD的對角線相交于O點，點P為平面上任意一點，求證：




課時小結
1．認識向量的幾何特性．對于向量問題一定要結合圖形進行研究．向量方法可以解決幾何中的證明．
2．注意 與O的區(qū)別．零向量與任一向量平行．
3．注意平行向量與平行線段的區(qū)別．用向量方法證明AB∥CD，需證 ∥ ，且AB與CD不共線．要證A、B、C三點共線，則證 ∥ 即可．
4．向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則，特點：首尾相接首尾連；向量減法的三角形法則特點：首首相接連終點．

第2課時 平面向量的坐標運算
1．平面向量的坐標表示
分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 、 作為基底，對于一個向量 ，有且只有一對實數(shù)x、y，使得 ＝x ＋y ．我們把(x，y)叫做向量 的直角坐標，記作 ．并且 ＝ ．
2．向量的坐標表示與起點為 的向量是一一對應的關系．
3．平面向量的坐標運算：若 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，λ∈R，則： ＋ ＝ － ＝ λ ＝
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ＝ ．
4．兩個向量 ＝(x1、y1)和 ＝(x2、y2)共線的充要條件是 ．


例1.已知點A（2，3），B（－1，5），且 ＝ ，求點C的坐標．

例2. 已知向量 ＝(cos ，sin )， ＝(cos ，sin )， － ＝ ，求cos(α－β)的值．

變式訓練2.已知 －2 ＝(－3，1)，2 ＋ ＝(－1，2)，求 ＋ ．

例3. 已知向量 ＝(1, 2)， ＝(x, 1)， ＝ ＋2 ， ＝2 － ，且 ∥ ，
求x．


課后練習1.若 ， ，則 =
2.（2010陜西卷）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2 ），若（a+b ）∥c，則m= 。
課時小結
1．認識向量的代數(shù)特性．向量的坐標表示，實現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．
2．向量有幾何法和坐標法兩種表示方法，所以我們應根據(jù)題目的特點去選擇向量的表示方法，由于坐標運算方便，可操作性強，因此應優(yōu)先選用向量的坐標運算．
第3課時 平面向量的數(shù)量積

1．兩個向量的夾角：已知兩個非零向量 和 ，過O點作 ＝ ， ＝ ，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量 與 的 ．當θ＝0°時， 與 ；當θ＝180°時， 與 ；如果 與 的夾角是90°，我們說 與 垂直，記作 ．
2．兩個向量的數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角為θ，則數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量積（或內積），記作 ? ，即 ? ＝ ．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．若 ＝(x1, y1)， ＝(x2, y2)，則 ? ＝ ．
3．向量的數(shù)量積的幾何意義： cosθ叫做向量 在 方向上的投影 (θ是向量 與 的夾角)．
? 的幾何意義是，數(shù)量 ? 等于 ．
4．向量數(shù)量積的性質：設 、 都是非零向量， 是單位向量，θ是 與 的夾角．
⑴ ? ＝ ? ＝ ⑵ ⊥
⑶ 當 與 同向時， ? ＝ ；當 與 反向時， ? ＝ ．
⑷ cosθ＝ ．⑸ ? ≤
5．向量數(shù)量積的運算律：
⑴ ? ＝ ； ⑵ (λ )? ＝ ＝ ?(λ ) ⑶ ( ＋ )? ＝

例1. 已知 ＝4， ＝5，且 與 的夾角為60°，求：(2 ＋3 )?(3 －2 )．

變式訓練1.已知 ＝3， ＝4， ＋ ＝5，求2 －3 的值．
例2. 已知向量 ＝(sin ，1)， ＝(1，cos )，－ ．(1) 若a⊥b，求 ；(2) 求 ＋ 的最大值



例3. 已知O是△ABC所在平面內一點，且滿足( － )?( ＋ －2 )＝0，判斷△ABC是哪類三角形．



變式訓練3：若 ，則△ABC的形狀是 .


課時作業(yè)
1.（2009遼寧卷理）平面向量a與b的夾角為 ， ， 則 ( ) A. B. C. 4 D.2
2.（2010安徽卷理3文3）設向量 ， ，則下列結論中正確的是
A、 B、 C、 與 垂直D、 ∥
3.（2009全國卷Ⅰ文）設非零向量 、 、 滿足 ，則 ( )
A．150° B.120° C.60° D.30°


課時小結
1．運用向量的數(shù)量積可以解決有關長度、角度等問題．因此充分挖掘題目所包含的幾何意義，往往能得出巧妙的解法．
2．注意 ? 與ab的區(qū)別． ? ＝0≠＞ ＝ ，或 ＝ ．
3．應根據(jù)定義找兩個向量的夾角。對于不共起點的兩個向量，通過平移，使起點重合．
第4課時 線段的定比分點和平移
1． 設P1P2是直線L上的兩點，點P是L上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù)λ使 ＝λ ，λ叫做 ．
2．設P1（x1、y1），P2（x2、y2），點P（x、y）分 的比是λ時，定比分點坐標公式為： ，中點坐標公式： 。
3． 平移公式：將點P（x、y）按向量 ＝（h、k）平移得到點P'（x'，y'），則 ．


例1.已知點A(－1, －4)，B(5, 2)，線段AB上的三等分點依次為P1、P2，求P1、P2的坐標及A、B分 所成的比.


變式訓練1.設AB＝5，點p在直線AB上，且PA＝1，則p分 所成的比為 ．



例2. 將函數(shù)y＝2sin（2x＋ ）＋3的圖象C進行平移后得到圖象C'，使C上面的一點P（ ，2）移至點P'（ ，1），求圖像C'對應的函數(shù)解析式．


變式訓練2：若直線2x－y＋c＝0按向量 ＝(1, －1)平移后與圓x2＋y2＝5相切，則c的值為 （ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8



例3. 設 ＝(sinx－1, cosx－1)， ，f (x)＝ ，且函數(shù)y＝f (x)的圖象是由y＝sinx的圖象按向量 平移而得，求 .



變式訓練3：將y＝sin2x的圖象向右按 作最小的平移，使得平移后的圖象在[kπ＋ , kπ＋π] (k∈Z)上遞減，則 ＝ ．


課時作業(yè)：
1.(2009湖北卷理)函數(shù) 的圖象 按向量 平移到 , 的函數(shù)解析式為 當 為奇函數(shù)時，向量 可以等于( )



2.（2009安徽卷文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或 = + ，其中 ， R ，則 + = _________.


在運用線段定比分點公式時，首先要確定有向線段的起點、終點和分點，再結合圖形確定分比 ．2．平移公式反映了平移前的點P(x、y)和平移后的點P'(x'、y')，及向量 ＝(h，k)三者之間的關系．它的本質是 ＝ ．平移公式與圖象變換法則，既有區(qū)別又有聯(lián)系，應防止混淆．
第5課時 解三角形
一、基礎知識
1．正弦定理：
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：
⑴ 已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角；
⑵ 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進一步求出其他的邊和角．
2．余弦定理：
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題．
⑴ 已知三邊，求三角；⑵ 已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個角．
3．三角形的面積公式：
二、典型例題
例1. 在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，求角A、C及邊c．


例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．



變式訓練1：在△ABC中，sinA= ，判斷這個三角形的形狀.



例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．



變式訓練2：已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圓半徑為 .（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值.




例4.（2010浙江 卷文18）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設S為△ABC的面積，滿足 。（Ⅰ）求角C的大��；（Ⅱ）求 的最大值。



變式訓練3：在在△ABC中， 所對的邊分別為 ，，且
（1）求 的值； （2）若 ，求 的最大值；



三、課后練習：
(1) 的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且 ，則 （ ）A． B． C． D．
（2）在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 （ ）
A. B.
C. D.
（3）在△ABC中，已知 ， ，則 的值為（ ）
A B C 或 D
（4）若鈍角三角形三邊長為 、 、 ，則 的取值范圍是 ．
（5）在△ABC中， = ．
四、課時小結
1．已知兩邊和其中一邊的對角求其他的邊和角，這種題型可能無解、一解、兩解等，要特別注意．
2．三角形中含邊角的恒等變形問題，通常是運用正弦定理或余弦定理，要么將其變?yōu)楹�邊的代�?shù)式做下去，要么將其變?yōu)楹�角的三角式做下去，請合理選擇．
3．對于與測量和與幾何計算有關的實際問題，可以考慮轉化為解三角形的問題



本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/73658.html

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