2013高中數(shù)學(xué)精講精練 第二 函數(shù)
【知識導(dǎo)讀】
【方法點撥】
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高中函數(shù)以具體的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對象，適當(dāng)研究分段函數(shù)，含絕對值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時要對初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點．利用定義，可直接判斷所給的對應(yīng)是否滿足函數(shù)的條，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等．
2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透．“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．當(dāng)你所研究的問題較為抽象時，當(dāng)你的思維陷入困境時，當(dāng)你對雜亂無的條感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題．
3.強化“分類討論思想”應(yīng)用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數(shù)與方程思想”．函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在整個高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高．函數(shù)的思想包括運用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題．
第1 函數(shù)的概念
【考點導(dǎo)讀】
1.在體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域．
2.準確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．設(shè)有函數(shù)組：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一個函數(shù)的有___②④⑤___．
2.設(shè)集合 ， ，從 到 有四種對應(yīng)如圖所示：
其中能表示為 到 的函數(shù)關(guān)系的有_____②③____．
3.寫出下列函數(shù)定義域：
(1) 的定義域為______________； (2) 的定義域為______________；
(3) 的定義域為______________； (4) 的定義域為_________________．
4．已知三個函數(shù):(1) ； (2) ； (3) ．寫出使各函數(shù)式有意義時， ， 的約束條：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫出下列函數(shù)值域：
(1) ， ；值域是 ．
(2) ； 值域是 ．
(3) ， ． 值域是 ．
【范例解析】
例1.設(shè)有函數(shù)組：① ， ；② ， ；
③ ， ；④ ， ．其中表示同一個函數(shù)的有③④．
分析：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同．
解：在①中， 的定義域為 ， 的定義域為 ，故不是同一函數(shù)；在②中， 的定義域為 ， 的定義域為 ，故不是同一函數(shù)；③④是同一函數(shù)．
點評：兩個函數(shù)當(dāng)它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數(shù)．而當(dāng)一個函數(shù)定義域和對應(yīng)法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷它的定義域和對應(yīng)法則是否相同即可．
例2.求下列函數(shù)的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得： 解得 且 或 且 ，
故定義域為 ．
② 由題意得： ，解得 ，故定義域為 ．
例3.求下列函數(shù)的值域：
（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域．
（1）解： ， ， 函數(shù)的值域為 ；
（2）解法一：由 ， ，則 ， ，故函數(shù)值域為 ．
解法二：由 ，則 ， ， ， ，故函數(shù)值域為 ．
（3）解：令 ，則 ， ，
當(dāng) 時， ，故函數(shù)值域為 ．
點評：二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法；逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域；用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新元的取值范圍．
【反饋演練】
1．函數(shù)f(x)＝ 的定義域是___________．
2．函數(shù) 的定義域為_________________．
3. 函數(shù) 的值域為________________．
4. 函數(shù) 的值域為_____________．
5．函數(shù) 的定義域為_____________________．
6.記函數(shù)f(x)= 的定義域為A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B．
(1) 求A；
(2) 若B A，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，
∴ ≤a<1或a≤－2，故當(dāng)B A時， 實數(shù)a的取值范圍是(－∞,－2]∪[ ,1)．
第2 函數(shù)的表示方法
【考點導(dǎo)讀】
1.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示函數(shù)．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據(jù)某個實際問題須建立一種函數(shù)關(guān)系式；（2）給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè)函數(shù) ， ，則 _________； __________．
2.設(shè)函數(shù) ， ,則 _____3_______； ； ．
3.已知函數(shù) 是一次函數(shù)，且 ， ,則 __15___．
4.設(shè)f(x)＝ ，則f[f( )]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數(shù) 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解．
解法一：設(shè) ，則 解得
故所求的解析式為 ．
解法二： ， 拋物線 有對稱軸 ．故可設(shè) ．
將點 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
解法三：設(shè) ，由 ，知 有兩個根0，2，
可設(shè) ， ，
將點 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
點評：三種解法均是待定系數(shù)法，也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式．
例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程y（km）與時間x（分）的關(guān)系．試寫出 的函數(shù)解析式．
分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式．
解：當(dāng) 時，直線方程為 ，當(dāng) 時，直線方程為 ，
點評：建立函數(shù)的解析式是解決實際問題的關(guān)鍵，把題中字語言描述的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號語言表達．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域．
【反饋演練】
1．若 ， ，則 （ D ）
�。粒� Ｂ． �。茫� �。模�
2．已知 ，且 ，則m等于________．
3. 已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數(shù)g(x)的解析式．
解：設(shè)函數(shù) 的圖象上任意一點 關(guān)于原點的對稱點為 ，
則
∵點 在函數(shù) 的圖象上
第3 函數(shù)的單調(diào)性
【考點導(dǎo)讀】
1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大（小）值及其幾何意義；
2.會運用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.下列函數(shù)中：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
其中，在區(qū)間(0，2)上是遞增函數(shù)的序號有___②___．
2.函數(shù) 的遞增區(qū)間是___ R ___．
3.函數(shù) 的遞減區(qū)間是__________．
4.已知函數(shù) 在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且 ，則實數(shù)a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
①定義在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 是 上的增函數(shù)；
②定義在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 在 上不是減函數(shù)；
③定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
④定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
其中正確命題的序號有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)遞增函數(shù)．
分析：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意符號的確定．
證明：（1）對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個值 ， ，且 ，
因為
，
又 ，則 ， ，得 ，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個值 ， ，且 ，
因為 ，
又 ，則 ， ， 得，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)．
同理，對于區(qū)間 ，函數(shù) 是單調(diào)增函數(shù)；
所以，函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)增函數(shù)．
點評：利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，一般分三步驟：（1）在給定區(qū)間內(nèi)任意取兩值 ， ；（2）作差 ，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結(jié)論．
例2.確定函數(shù) 的單調(diào)性．
分析：作差后，符號的確定是關(guān)鍵．
解：由 ，得定義域為 ．對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個值 ， ，且 ，
則
又 ， ，
，即 ．
所以， 在區(qū)間 上是增函數(shù)．
點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定．
【反饋演練】
1．已知函數(shù) ，則該函數(shù)在 上單調(diào)遞__減__，（填“增”“減”）值域為_________．
2．已知函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，則 __25___.
3. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
4. 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
5. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解：設(shè)對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個值 ， ，且 ，
則 ，
， ， 得， ， ，即 ．
第4 函數(shù)的奇偶性
【考點導(dǎo)讀】
1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性；
2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條；不具備上述對稱性的，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.給出4個函數(shù)：① ；② ；③ ；④ ．
其中奇函數(shù)的有___①④___；偶函數(shù)的有____②____；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有____③____．
2. 設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則實數(shù) －1 ．
3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域為 ，關(guān)于原點對稱； ,
所以 為偶函數(shù)．
（2）定義域為 ，關(guān)于原點對稱； ，
，故 為奇函數(shù)．
（3）定義域為 ，關(guān)于原點對稱； ， 且 ，
所以 既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)．
（4）定義域為 ，不關(guān)于原點對稱；故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（5）定義域為 ，關(guān)于原點對稱； ， ，則 且 ，故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（6）定義域為 ，關(guān)于原點對稱；
， 又 ，
，故 為奇函數(shù)．
點評：判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先注意其定義域是否關(guān)于原點對稱；其次，利用定義即 或 判斷，注意定義的等價形式 或 ．
例2. 已知定義在 上的函數(shù) 是奇函數(shù)，且當(dāng) 時， ，求函數(shù) 的解析式，并指出它的單調(diào)區(qū)間．
分析：奇函數(shù)若在原點有定義，則 ．
解：設(shè) ，則 ， ．
又 是奇函數(shù)， ， ．
當(dāng) 時， ．
綜上， 的解析式為 ．
作出 的圖像，可得增區(qū)間為 ， ，減區(qū)間為 ， ．
點評：（1）求解析式時 的情況不能漏；（2）兩個單調(diào)區(qū)間之間一般不用“ ”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“ ”實現(xiàn)轉(zhuǎn)化；（4）根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間．
【反饋演練】
1．已知定義域為R的函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，且函數(shù) 為偶函數(shù)，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在 上定義的函數(shù) 是偶函數(shù)，且 ，若 在區(qū)間 是減函數(shù)，則函數(shù) （ B ）
A.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)
B.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)
C.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)
D.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)
3. 設(shè) ，則使函數(shù) 的定義域為R且為奇函數(shù)的所有 的值為____1，3 ___．
4．設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)， 則 ________．
5．若函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，在 上是減函數(shù)，且 ，則使得 的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數(shù) 是奇函數(shù)．又 ， ,求a，b，c的值；
解：由 ，得 ，得 ．又 ，得 ，
而 ，得 ，解得 ．又 ， 或1．
若 ，則 ，應(yīng)舍去；若 ，則 ．
所以， ．
綜上，可知 的值域為 ．
第5 函數(shù)的圖像
【考點導(dǎo)讀】
1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征，學(xué)會運用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；
2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上填寫對應(yīng)函數(shù)圖像的變換：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各個函數(shù)圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）將 的圖像向下平移1個單位，可得 的圖像．圖略；
（2）將 的圖像向右平移2個單位，可得 的圖像．圖略；
（3）由 ，將 的圖像先向右平移1個單位，得 的圖像，再向下平移1個單位，可得 的圖像．如下圖所示：
3.作出下列各個函數(shù)圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）作 的圖像關(guān)于y軸的對稱圖像，如圖1所示；
（2）作 的圖像關(guān)于x軸的對稱圖像，如圖2所示；
（3）作 的圖像及它關(guān)于y軸的對稱圖像，如圖3所示；
（4）作 的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數(shù) 的圖象是（ B ）
【范例解析】
例1.作出函數(shù) 及 ， ， ， ， 的圖像．
分析：根據(jù)圖像變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖像．
解： 與 的圖像關(guān)于y軸對稱；
與 的圖像關(guān)于x軸對稱；
將 的圖像向左平移2個單位得到 的圖像；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．圖略．
點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對稱變換： 與 的圖像關(guān)于y軸對稱；
與 的圖像關(guān)于x軸對稱； 與 的圖像關(guān)于原點對稱；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．
例2.設(shè)函數(shù) .
（1）在區(qū)間 上畫出函數(shù) 的圖像；
（2）設(shè)集合 . 試判斷集合 和 之間的關(guān)系，并給出證明.
分析：根據(jù)圖像變換得到 的圖像，第（3）問實質(zhì)是恒成立問題．
解：（1）
（2）方程 的解分別是 和 ，由于 在 和 上單調(diào)遞減，在 和 上單調(diào)遞增，因此 .
由于 .
【反饋演練】
1．函數(shù) 的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數(shù) 的圖象，可以把函數(shù) 的圖象向右平移1個單位長度得到．
3．已知函數(shù) 的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則 = ．
4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f (x)的圖象關(guān)于直線 對稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數(shù)的簡圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
第6 二次函數(shù)
【考點導(dǎo)讀】
1.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)；
2.能結(jié)合二次函數(shù)的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知二次函數(shù) ,則其圖像的開口向__上__；對稱軸方程為 ；頂點坐標為 ，與 軸的交點坐標為 ，最小值為 ．
2.二次函數(shù) 的圖像的對稱軸為 ,則 __－2___，頂點坐標為 ，遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為 ．
3.函數(shù) 的零點為 ．
4.實系數(shù)方程 兩實根異號的充要條為 ；有兩正根的充要條為 ；有兩負根的充要條為 ．
5.已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________．
【范例解析】
例1.設(shè) 為實數(shù)，函數(shù) ， ．
（1）討論 的奇偶性；
（2）若 時，求 的最小值．
分析：去絕對值．
解：（1）當(dāng) 時，函數(shù)
此時， 為偶函數(shù)．
當(dāng) 時， ， ，
， ．
此時 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）
由于 在 上的最小值為 ，在 內(nèi)的最小值為 ．
故函數(shù) 在 內(nèi)的最小值為 ．
點評：注意分類討論；分段函數(shù)求最值，先求每個區(qū)間上的函數(shù)最值，再確定最值中的最值．
例2.函數(shù) 在區(qū)間 的最大值記為 ，求 的表達式．
分析：二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值，重點研究其在所給區(qū)間上的單調(diào)性情況．
解：∵直線 是拋物線 的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當(dāng) 時，函數(shù) ， 的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由 知 在 上單調(diào)遞增，故 ；
（2）當(dāng) 時， ， ，有 =2；
（3）當(dāng) 時，，函數(shù) ， 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若 即 時， ，
若 即 時， ，
若 即 時， ．
綜上所述，有 = ．
點評：解答本題應(yīng)注意兩點：一是對 時不能遺漏；二是對 時的分類討論中應(yīng)同時考察拋物線的開口方向，對稱軸的位置及 在區(qū)間 上的單調(diào)性．
【反饋演練】
1．函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)的充要條是 ．
2．已知二次函數(shù)的圖像頂點為 ，且圖像在 軸上截得的線段長為8，則此二次函數(shù)的解析式為 ．
3. 設(shè) ，二次函數(shù) 的圖象為下列四圖之一：
則a的值為 （ B ）
A．1B．－1C． D．
4．若不等式 對于一切 成立，則a的取值范圍是 ．
5.若關(guān)于x的方程 在 有解，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
6.已知函數(shù) 在 有最小值，記作 ．
（1）求 的表達式；
（2）求 的最大值．
解：（1）由 知對稱軸方程為 ，
當(dāng) 時，即 時， ；
當(dāng) ，即 時， ；
當(dāng) ，即 時， ；
綜上， ．
（2）當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ．故當(dāng) 時， 的最大值為3．
7. 分別根據(jù)下列條,求實數(shù)a的值：
（1）函數(shù) 在在 上有最大值2；
（2）函數(shù) 在在 上有最大值4．
解：（1）當(dāng) 時， ，令 ，則 ；
當(dāng) 時， ，令 ， （舍）；
當(dāng) 時， ，即 ．
綜上，可得 或 ．
（2）當(dāng) 時， ，即 ，則 ；
當(dāng) 時， ，即 ，則 ．
綜上， 或 ．
8. 已知函數(shù) ．
（1）對任意 ，比較 與 的大�。�
（2）若 時，有 ，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）對任意 ， ，
故 ．
（2）又 ，得 ，即 ，
得 ，解得 ．
第7 指數(shù)式與對數(shù)式
【考點導(dǎo)讀】
1.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)；
2.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；
3.能運用指數(shù)，對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡，求值，證明，并注意公式成立的前提條；
4.通過指數(shù)式與對數(shù)式的互化以及不同底的對數(shù)運算化為同底對數(shù)運算．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.寫出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化簡下列各式：
（1） ；
（2） ．
3.求值：（1） ___－38____；
（2） ____1____；
（3） _____3____．
【范例解析】
例1. 化簡求值：
（1）若 ，求 及 的值；
（2）若 ，求 的值．
分析：先化簡再求值．
解：（1）由 ，得 ，故 ；
又 ， ； ，故 ．
（2）由 得 ；則 ．
點評：解條求值問題：（1）將已知條適當(dāng)變形后使用；（2）先化簡再代入求值．
例2.（1）求值： ；
（2）已知 ， ，求 ．
分析：化為同底．
解：（1）原式= ；
（2）由 ，得 ；所以 ．
點評：在對數(shù)的求值過程中，應(yīng)注意將對數(shù)化為同底的對數(shù)．
例3. 已知 ，且 ，求c的值．
分析：將a，b都用c表示．
解：由 ，得 ， ；又 ，則 ，
得 ． ， ．
點評：三個方程三個未知數(shù)，消元法求解．
【反饋演練】
1．若 ，則 ．
2．設(shè) ，則 ．
3．已知函數(shù) ，若 ，則 －b．
4．設(shè)函數(shù) 若 ，則x0的取值范圍是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．設(shè)已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 ．
6．若 ， ，則k =__－1__．
7．已知函數(shù) ，且 ．
（1）求實數(shù)c的值；
（2）解不等式 ．
解：（1）因為 ，所以 ，
由 ，即 ， ．
（2）由（1）得：
由 得，當(dāng) 時，解得 ．
當(dāng) 時，解得 ，
所以 的解集為 ．
第8 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【考點導(dǎo)讀】
1.了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù) ， ， ， ， 的圖像了解它們的變化情況；
2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
3.在解決實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.指數(shù)函數(shù) 是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
2.把函數(shù) 的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得到 的圖像，則 ．
3.函數(shù) 的定義域為___R__；單調(diào)遞增區(qū)間 ；值域 ．
4.已知函數(shù) 是奇函數(shù)，則實數(shù)a的取值 ．
5.要使 的圖像不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍 ．
6.已知函數(shù) 過定點，則此定點坐標為 ．
【范例解析】
例1.比較各組值的大小：
（1） ， ， ， ；
（2） ， ， ，其中 ；
（3） ， ．
分析：同指不同底利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．
解：（1） ，而 ，
．
（2） 且 ， ．
（3） ．
點評：比較同指不同底可利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；另注意通過0，1等數(shù)進行間接分類．
例2.已知定義域為 的函數(shù) 是奇函數(shù),求 的值；
解：因為 是奇函數(shù)，所以 =0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函數(shù) ，求證：
（1）函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
（2）方程 沒有負根．
分析：注意反證法的運用．
證明：（1）設(shè) ， ，
， ，又 ，所以 ， ， ，則
故函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
（2）設(shè)存在 ，滿足 ，則 ．又 ，
即 ，與假設(shè) 矛盾，故方程 沒有負根．
點評：本題主要考察指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)和方程的內(nèi)在聯(lián)系．
【反饋演練】
1．函數(shù) 對于任意的實數(shù) 都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．設(shè) ，則（ A ）
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
3．將y=2x的圖像 ( D ) 再作關(guān)于直線y=x對稱的圖像，可得到函數(shù) 的圖像．
A．先向左平行移動1個單位B．先向右平行移動1個單位
C．先向上平行移動1個單位D． 先向下平行移動1個單位
4．函數(shù) 的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函數(shù) 在 上的最大值與最小值的和為3，則 的值為___2__．
6．若關(guān)于x的方程 有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．
解：由 得， ，
7．已知函數(shù) ．
（1）判斷 的奇偶性；
（2）若 在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）定義域為R，則 ，故 是奇函數(shù)．
（2）設(shè) ， ，
當(dāng) 時，得 ，即 ；
當(dāng) 時，得 ，即 ；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是 ．
第9 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【考點導(dǎo)讀】
1.理解對數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
2.在解決實際問題的過程中，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；
3.熟練運用分類討論思想解決指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
2. 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ．
【范例解析】
例1. （1）已知 在 是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是_________．
（2）設(shè)函數(shù) ，給出下列命題：
① 有最小值； ②當(dāng) 時， 的值域為 ；
③當(dāng) 時， 的定義域為 ；
④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
則其中正確命題的序號是_____________．
分析：注意定義域，真數(shù)大于零．
解：（1） ， 在 上遞減，要使 在 是減函數(shù)，則 ；又 在 上要大于零，即 ，即 ；綜上， ．
（2）① 有無最小值與a的取值有關(guān)；②當(dāng) 時， ，成立；
③當(dāng) 時，若 的定義域為 ，則 恒成立，即 ，即 成立；④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則 解得 ，不成立．
點評：解決對數(shù)函數(shù)有關(guān)問題首先要考慮定義域，并能結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖像分析解決．
例3.已知函數(shù) ，求函數(shù) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.
分析：利用定義證明復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．
解：x須滿足 所以函數(shù) 的定義域為（－1，0）∪（0，1）.
因為函數(shù) 的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有
，所以 是奇函數(shù).
研究 在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2∈（0，1），且設(shè)x1<x2 ，則
得 >0，即 在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
由于 是奇函數(shù)，所以 在（－1，0）內(nèi)單調(diào)遞減.
點評：本題重點考察復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，運用函數(shù)性質(zhì)解決問題的能力．
【反饋演練】
1．給出下列四個數(shù)：① ；② ；③ ；④ .其中值最大的序號是___④___.
2．設(shè)函數(shù) 的圖像過點 ， ，則 等于___5_ _．
3．函數(shù) 的圖象恒過定點 ，則定點 的坐標是 ．
4．函數(shù) 上的最大值和最小值之和為a，則a的值為 ．
5．函數(shù) 的圖象和函數(shù) 的圖象的交點個數(shù)有___3___個.
6．下列四個函數(shù)：① ； ② ；③ ；
④ .其中，函數(shù)圖像只能是如圖所示的序號為___②___.
7．求函數(shù) , 的最大值和最小值．
解：
令 ， ，則 ，
即求函數(shù) 在 上的最大值和最小值．
故函數(shù) 的最大值為0，最小值為 ．
8．已知函數(shù) ．
（1）求 的定義域；（2）判斷 的奇偶性；（3）討論 的單調(diào)性，并證明．
解：（1）解：由 ，故的定義域為 ．
（2） ，故 為奇函數(shù)．
（3）證明：設(shè) ，則 ，
．
當(dāng) 時， ，故 在 上為減函數(shù)；同理 在 上也為減函數(shù)；
當(dāng) 時， ，故 在 ， 上為增函數(shù)．
第10 函數(shù)與方程
【考點導(dǎo)讀】
1.能利用二次函數(shù)的圖像與判別式的正負，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系．
2.能借助計算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實質(zhì)．
3.體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.函數(shù) 在區(qū)間 有_____1 ___個零點．
2.已知函數(shù) 的圖像是連續(xù)的，且 與 有如下的對應(yīng)值表：
123456
－2.33.40－1.3－3.43.4
則 在區(qū)間 上的零點至少有___3__個．
【范例解析】
例1. 是定義在區(qū)間[－c，c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令 ，
則下列關(guān)于函數(shù) 的結(jié)論：
①若a<0，則函數(shù) 的圖象關(guān)于原點對稱；
②若a=－1，－2<b<0，則方程 =0有大于2的實根；
③若a≠0， ，則方程 =0有兩個實根；
④若 ， ，則方程 =0有三個實根．
其中，正確的結(jié)論有___________．
分析：利用圖像將函數(shù)與方程進行互化．
解：當(dāng) 且 時， 是非奇非偶函數(shù)，①不正確；當(dāng) ， 時， 是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，③不正確；當(dāng) ， 時， ，由圖知，當(dāng) 時， 才有三個實數(shù)根，故④不正確；故選②．
點評：本題重點考察函數(shù)與方程思想，突出考察分析和觀察能力；題中只給了圖像特征，因此，應(yīng)用其圖，察其形，舍其次，抓其本．
例2.設(shè) ，若 ， ， ．
求證：（1） 且 ；
（2）方程 在 內(nèi)有兩個實根．
分析：利用 ， ， 進行消元代換．
證明：（1） ， ，由 ，得 ，代入 得：
，即 ，且 ，即 ，即證．
（2） ，又 ， ．則兩根分別在區(qū)間 ， 內(nèi)，得證．
點評：在證明第（2）問時，應(yīng)充分運用二分法求方程解的方法，選取 的中點 考察 的正負是首選目標，如不能實現(xiàn) ，則應(yīng)在區(qū)間內(nèi)選取其它的值．本題也可選 ，也可利用根的分布做．
【反饋演練】
1．¬¬¬¬¬設(shè) ， 為常數(shù)．若存在 ，使得 ，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
2．設(shè)函數(shù) 若 ， ，則關(guān)于x的方程 解的個數(shù)為（ C ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知 ，且方程 無實數(shù)根，下列命題：
①方程 也一定沒有實數(shù)根；②若 ，則不等式 對一切實數(shù) 都成立；
③若 ，則必存在實數(shù) ，使
④若 ，則不等式 對一切實數(shù) 都成立．
其中正確命題的序號是 ①②④ ．
4．設(shè)二次函數(shù) ，方程 的兩根 和 滿足 ．求實數(shù) 的取值范圍．
解：令 ，
則由題意可得 ．
故所求實數(shù) 的取值范圍是 ．
5．已知函數(shù) 是偶函數(shù),求k的值；
解： 是偶函數(shù)，
由于此式對于一切 恒成立，
6．已知二次函數(shù) ．若a>b>c， 且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點.
證明：
的圖象與x軸有兩個交點.
第11 函數(shù)模型及其應(yīng)用
【考點導(dǎo)讀】
1.能根據(jù)實際問題的情境建立函數(shù)模型，結(jié)合對函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問題的解答．
2.理解數(shù)據(jù)擬合是用對事物的發(fā)展規(guī)律進行估計的一種方法，會根據(jù)條借助計算工具解決一些簡單的實際問題．
3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問題，探索問題，解決問題的能力．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，
① ② ③ ④
其中最接近的一個的序號是______③_______．
2.某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價－投入成本)×年銷售量.
(Ⅰ)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
(Ⅱ)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
解：（Ⅰ）由題意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)
即 解不等式得 .
答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；
(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為
由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設(shè)t時刻的純收益為h(t)，則由題意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得
h(t)=－ (t－50)2+100，
所以，當(dāng)t=50時，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；
當(dāng)200<t≤300時，配方整理得：h(t)=－ (t－350)2+100，
所以，當(dāng)t=300時，h(t)取得區(qū)間（200，300]上的最大值87.5．
綜上:由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大
【反饋演練】
1．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是___________ ．
2．某地高上溫度從腳起每升高100m降低0.7℃，已知頂?shù)臏囟仁?4.1℃，腳的溫度是26℃，則此的高度為_____17_____m．
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為____45.6___萬元．
4．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省?
解：由題意得 xy+ x2=8，∴y= = (0<x<4 ).
則框架用料長度為l=2x+2y+2( )=( + )x+ ≥4 .
當(dāng)( + )x= ,即x=8－4 時等號成立.
此時，x=8－4 ， ，
故當(dāng)x為8－4 m，y為 m時，用料最省.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/41542.html
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