第十章 立體幾何
高考導航
考試要求重難點擊命題展望
1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能用這些特征描述簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別三視圖表示的立體模型；會制作模型，會用斜二測法畫直觀圖.
3.通過觀察用平行投影與中心投影畫出的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式.
4.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.
5.掌握和理解點、空間直線、平面之間的關(guān)系.
6.掌握空間線線、線面、面面平行的判定和性質(zhì).掌握空間線線、線面、面面垂直的判定和性質(zhì).
7.掌握空間向量及其基本運算(空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量)；理解共線、共面向量、空間向量定理，掌握空間向量的數(shù)量積；理解空間向量坐標概念，運算，法向量.
8.理解空間角，會求線線角、線面角、面面角.
9.掌握空間距離，會由坐標求兩點間的距離及點到平面的距離. 本章重點：1.正投影與三視圖的畫法以及應(yīng)用；2.幾何體的表面積和體積的計算；3.直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系；4.直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的判定方法和性質(zhì)；5.利用空間向量求空間距離和空間角.
本章難點：1.利用直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直和平行的判定定理與性質(zhì)定理解決有關(guān)問題；2.利用空間向量求空間角. 1.三視圖結(jié)合幾何體求面積、體積是高考熱點，這也是新課改的新增內(nèi)容.空間角是高考的重點，點、線、面的平行和垂直關(guān)系是考查的切入點.本章高考時一般是選擇填空題至多1個，解答題1個.多是以幾何體為載體，主要考查平行、垂直或計算多面體的面積與體積、空間角.
2.高考考查的熱點是三視圖和幾何體的結(jié)構(gòu)特征借以考查空間想象能力，往往是以選擇題、填空題出現(xiàn).
3.核心是以幾何體為載體，考查平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)與判定.
知識網(wǎng)絡(luò)
10.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖
典例精析
題型一 結(jié)構(gòu)特征判斷
【例1】 以下命題錯誤的個數(shù)是 ( )
①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓錐；
②圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；
③四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形；
④三棱錐的四個面可能都是直角三角形；
⑤有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺.
A.1個B.2個C.3個D.4個
【解析】①錯：只能以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可；
②錯：必相交；
③對：如圖，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD時，四個側(cè)面均為直角三角形；
④對：如圖，∠ABC＝90°，PA⊥底面，則四個面均為直角三角形；
⑤錯：只有側(cè)棱延長交于一點時才是棱臺.
綜上，錯誤的個數(shù)是3，故選C.
【點撥】判斷結(jié)構(gòu)特征必須嚴格依據(jù)柱、錐、臺、球的定義，結(jié)合實際形成一定的空間想象能力.
【變式訓練1】給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；
③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行.
其中正確命題的序號是 .
【解析】②④.
題型二 直觀圖的斜二測畫法
【例2】 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是( )
【解析】按照斜二測畫法的作圖規(guī)則，對四個選項逐一驗證，可知只有選項A符合題意.
【點撥】本題已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力.要熟悉運用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對應(yīng)線段、角的關(guān)系.
【變式訓練2】已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原三角形的面積.
【解析】因為直觀圖的坐標軸成45°，橫長不變，豎長畫成原來的一半，則還原成原圖時將45°還原成90°，則過A′作A′O′與O′C′成45°，將其還原成90°，且AO＝2A′O′.
而A′D′＝32a.所以A′O′＝32a×2＝62a，所以AO＝6a.
所以S△ABC＝12BC? AO＝12a×6a＝62a2.
題型三 三視圖與直觀圖
【例3】 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三視圖如下.
(1)求出該四棱柱的表面積；
(2)求證：D1C⊥AC1；
(3)設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由.
【解析】(1)求得該四棱柱的表面積為S＝11＋22.
(2)證明：由三視圖得該四棱柱為直四棱柱且底面為直角梯形.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接C1D.
因為DC＝DD1，所以四邊形DCC1D1是正方形.
所以DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
所以AD⊥平面DCC1D1.
又D1C?平面DCC1D1，所以AD⊥D1C.
因為AD，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D，
所以D1C⊥平面ADC1.
又AC1?平面ADC1，所以D1C⊥AC1.
(3)連接AD1，AE，設(shè)AD1∩A1D＝M，
BD∩AE＝N，連接MN.
因為平面AD1E∩平面A1BD＝MN，
要使D1E∥平面A1BD，須使MN∥D1E，
又M是AD1的中點，所以N是AE的中點.
又易知△ABN≌△EDN，
所以AB＝DE，即E是DC的中點.
綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD.
【點撥】本題以三視圖為載體考查空間線面位置關(guān)系的證明以及表面積的計算，解決此類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治�，從三視圖中發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中解決問題.
【變式訓練3】如圖所示，甲、乙、丙是三個幾何體的三視圖，則甲、乙、丙對應(yīng)的標號依次是( )
①長方體；②圓錐；③三棱錐；④圓柱.
A.④③②B.①③②C.①②③ D.④②③
【解析】選A.
總結(jié)提高
學習空間幾何體的結(jié)構(gòu)要以對實物的觀察想象為基礎(chǔ)，再以課本中給定的柱、錐、臺、球的概念為標準對實物進行再認識，通過這一過程提高空間想象能力.
10.2 空間幾何體的表面積與體積
典例精析
題型一 表面積問題
【例1】 圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.
【解析】設(shè)圓錐的半徑為R，母線長為l，圓柱的半徑為r，軸截面如圖，
S圓錐＝π(R＋l)R ＝π(R＋2R)R＝(2π＋π)R2，
S圓柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，
又rR＝R－rR，所以rR＝12，
所以S圓柱S圓錐＝2－11.
【點撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問題的一種常用方法.
【變式訓練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m).
(1)試畫出它的直觀圖；
(2)求它的表面積和體積.
【解析】(1)直觀圖如圖所示.
(2)該幾何體的表面積為(7＋2) m2，體積為32 m3.
題型二 體積問題
【例2】 某人有一容積為V，高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生滲漏，其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開了(蓋為上底面)，為減少油的損失，該人采用破口朝上，傾斜容器的方式拿回家，估計容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少？
【解析】 如圖，破損處為D、E，且AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABC－DB1E的體積.
因為 ＝ ，而 ＝a＋c2a，
由三棱柱幾何性質(zhì)知 ＝23V， ＝V3，
所以 ＝a＋c3aV，
又因為 ＝ba，所以 VD－ABC＝ba?V3＝bV3a，
所以 ＝ ＋VD－ABC＝a＋b＋c3aV.
故油最理想的剩余量為a＋b＋c3aV.
【點撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體，然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這是求幾何體體積的一種常用的思想方法.
【變式訓練2】一個母線長與底面圓直徑相等的圓錐形容器，里面裝滿水，一鐵球沉入水內(nèi)，有水溢出，容器蓋上一平板，恰與球相切，問容器內(nèi)剩下的水是原來的幾分之幾？
【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓錐的高h＝3R，底面半徑r＝3R，
V圓錐＝π3?(3R)2?3R＝3πR3；V球＝43πR3.
所以V球V圓錐＝43πR33πR3＝49，
所以剩下的水量是原來的1－49＝59.
【點撥】本題關(guān)鍵是求圓錐與球的體積之比，作出軸截面，找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可.
題型三 組合體的面積、體積的關(guān)系
【例3】底面直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，設(shè)這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，截面的面積為A，如圖所示：
(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式；
(2)求截得棱柱的體積的最大值.
【解析】 (1)A＝x?4－x2(0＜x＜2).
(2)V＝x?4－x2?1＝x2(4－x2) ＝－(x2－2)2＋4.
因為0＜x＜2，所以當x＝2時，Vmax＝2.
【點撥】關(guān)鍵是理解截面，并且注意x的范圍從而求體積，在求第(2)求體積時還可利用不等式.
【變式訓練3】(2010山東檢測)把一個周長為12 cm的長方形圍成一個圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為( )
A.1∶2B.1∶πC.2∶1D.2∶π
【解析】設(shè)長方形的一條邊長為x cm，則另一條邊長為(6－x) cm，且0＜x＜6，以長為(6－x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有2πr＝x，所以r＝x2π，因此圓柱的體積V＝π?(x2π)2(6－x)＝14π(6x2－x3)，由于V′＝14π?(12x－3x2)，令V′＝0，得
x＝4，容易推出當x＝4時圓柱的體積取得最大值，此時圓柱的底面周長是4 cm，圓柱的高是2 cm，所以圓柱的底面周長與高的比為2∶1，選C.
總結(jié)提高
表面積包含側(cè)面積和底面積；直棱柱的側(cè)棱長即側(cè)面展開圖矩形的一邊；對于正棱柱、正棱錐、正棱臺，其所有側(cè)面多邊形均全等，故可先求一個的側(cè)面積，再乘以側(cè)面多邊形的個數(shù).
求體積時，常常需要“轉(zhuǎn)變”底面，使底面面積和高易求；另外，對于三棱錐的幾何體選擇不同的底面時，利用同一個幾何體體積相等，再求出幾何體的高，即等體積法.
10.3 空間點、線、面之間的位置關(guān)系
典例精析
題型一 證明三線共點
【例1】 已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且BGGC＝DHHC＝2.求證：直線EG、FH、AC相交于同一點P.
【證明】因為E、F分別是AB、AD的中點，
所以EF∥BD，且EF＝12BD.
又因為BGGC＝DHHC＝2，所以GH∥BD，且GH＝13BD，
所以EF∥GH且EF＞GH，
所以四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交，
設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點P，
因為EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，
故直線EG、FH、AC相交于同一點P.
【點撥】證明三線共點的方法：首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.
【變式訓練1】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K. 求證：M、N、K三點共線.
【證明】
?
?M、N、K在平面BCD與平面PQR的交線上，即M、N、K三點共線.
題型二 空間直線的位置關(guān)系
【例2】 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中點，連接AE并延長與BC的延長線交于點F，連接BE并延長交AD的延長線于點G，連接FG.
求證：直線FG?平面ABCD且直線FG∥A1B1.
【證明】因為E為CD的中點，在正方體中AE?平面ABCD，
又AE∩BC＝F，所以F∈AE，所以F∈平面ABCD，
同理G∈平面ABCD，所以FG?平面ABCD.
因為EC 12AB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD，
所以在正方體中CF DG，所以四邊形CFGD是平行四邊形，
所以FG∥CD，又CD∥AB，AB∥A1B1，
所以直線FG∥A1B1.
【點撥】空間直線的位置關(guān)系，常需利用線面、面面、線線的關(guān)系確定，推導時需有理有據(jù).
【變式訓練2】已知AC的長為定值，點D?平面ABC，點M、N分別是△DAB和△DBC的重心. 求證：無論B、D如何變換位置，線段MN的長必為定值.
【解析】如圖，延長DM交AB于F，延長DN交BC于E.
因為M、N為重心，所以F、E分別為AB、BC的中點，
所以EF∥AC且EF＝12AC.
又在△DEF中，DM∶MF＝DN∶NE＝2∶1，
所以MN∥EF且MN＝23EF，所以MN∥AC且MN＝13AC，
即MN為與B、D無關(guān)的定值.
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