2012-2013學(xué)年四川省成都市成華區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、（每小題3分，共30分）
1．（3分）從下面的兩種視圖中，找出如圖所示空心正方體所對應(yīng)的視圖是（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)：簡單組合體的三視圖．
分析：空心正方體的主視圖、俯視圖，是分別從空心正方體的正面、上面看所得到的圖形，分析、判讀出即可，注意所有的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖和俯視圖中．
解答：解：如圖，空心正方體的主視圖是正方形，且有兩條豎著的虛線，俯視圖是中間有一個圓形的正方形．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了簡單組合體的三視圖，在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線，不能漏掉，考查了學(xué)生的空間想象能力．
2．（3分）（1997•甘肅）方程x2?2x=0的解是（ ）
A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=?2D．x1=0，x2=2
考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法．
分析：方程右邊為0，左邊分解因式即可．
解答：解：原方程化為x（x?2）=0，
x1=0，x2=2；故選D．
點(diǎn)評：本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用．當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．
3．（3分）在函數(shù) 中，自變量x的取值范圍是（ ）
A．x≠0B．x≤2且x≠0C．x≥?2且x≠0D．x≥?2
考點(diǎn)：函數(shù)自變量的取值范圍．
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．
解答：解：根據(jù)題意得： ，
解得：x≥?2且x≠0．
故選C．
點(diǎn)評：函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；
（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．
4．（3分）（2010•安順）小華拿一個矩形木框在陽光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：平行投影．
分析：在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時(shí)刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進(jìn)行分析．
解答：解：矩形木框在地面上形成的投影應(yīng)是平行四邊形或一條線段，
即相對的邊平行或重合，
故A不可能，即不會是梯形．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了平行投影特點(diǎn)，不同位置，不同時(shí)間，影子的大小、形狀可能不同，具體形狀應(yīng)視其外在形狀，及其與光線的夾角而定．
5．（3分）如果雙曲線 過點(diǎn)（3，?2），那么下列的點(diǎn)在該雙曲線上的是（ �。�
A．（3，0）B．（0，6）C．（?1.25，8）D．（?1.5，4）
考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
分析：先根據(jù)反比例函數(shù)y= 中k=xy的特點(diǎn)求出k的值，再對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
解答：解：∵雙曲線 過點(diǎn)（3，?2），
∴k=3×（?2）=?6，
A、∵3×0=0≠?6，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯誤；
B、∵6×0=0≠?6，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯誤；
C、∵（?1.25）×8=?10≠?6，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯誤；
D、∵（?1.5）×4=?6，∴此點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)y= 中k=xy為定值是解答此題的關(guān)鍵．
6．（3分）下列命題中，錯誤的是（ ）
A．矩形的對角線互相平分且相等
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三條邊的距離相等
D．到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
考點(diǎn)：命題與定理．
分析：分別利用矩形、菱形、垂直平分線的性質(zhì)和內(nèi)心的性質(zhì)進(jìn)行判斷得出答案即可．
解答：解：A、根據(jù)矩形的性質(zhì)，矩形的對角線互相平分且相等，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故此選項(xiàng)錯誤，符合題意；
C、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，即為內(nèi)心，故這點(diǎn)到三條邊的距離相等，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：B．
點(diǎn)評：此題主要考查了命題與定理的判斷，正確掌握矩形、菱形、垂直平分線的性質(zhì)和內(nèi)心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．（3分）（2009•成都）若關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ �。�
A．k＞?1B．k＞?1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
考點(diǎn)：根的判別式．
專題：壓軸題．
分析：方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2?4ac的值的符號就可以了．注意考慮“一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0”這一條件．
解答：解：因?yàn)榉匠蘫x2?2x?1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
則b2?4ac＞0，即（?2）2?4k×（?1）＞0，
解得k＞?1．又結(jié)合一元二次方程可知k≠0，
故選B．
點(diǎn)評：總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0⇔方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0⇔方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0⇔方程沒有實(shí)數(shù)根．
本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽視k≠0這一條件．
8．（3分）函數(shù) （a為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)（?4，y1），（?1，y2），（2，y3），則函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ �。�
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
分析：先判斷出函數(shù)反比例函數(shù) 的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性及每一象限坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．
解答：解：∵a2≥0，
∴?a2≤0，?a2?1＜0，
∴反比例函數(shù) 的圖象在二、四象限，
∵點(diǎn)（2，y3）的橫坐標(biāo)為2＞0，∴此點(diǎn)在第四象限，y3＜0；
∵（?4，y1），（?1，y2）的橫坐標(biāo)?4＜?1＜0，∴兩點(diǎn)均在第二象限y1＞0，y2＞0，
∵在第二象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
∴y2＞y1，
∴y2＞y1＞y3．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，橫縱坐標(biāo)同號；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限，橫縱坐標(biāo)異號．
9．（3分）（2002•南通）某廠今年內(nèi)3月的產(chǎn)值為50萬元，5月上升到72萬元，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？若設(shè)這兩個月平均每月增長的百分率為x，則可得方程（ ）
A．50（1+x）=72B．50（1+x）+50（1+x）2=72C．50（1+x）×2=72D．50（1+x）2=72
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
專題：增長率問題；壓軸題．
分析：主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量×（1+增長率），本題可先求出4月份產(chǎn)值，再根據(jù)4月份的產(chǎn)值列出5月份產(chǎn)值的式子，令其等于72即可得出答案．
解答：解：4月份產(chǎn)值為：50（1+x）
5月份產(chǎn)值為：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2=72
故本題選D．
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，解此類題目時(shí)常常要先解出前一個月份的產(chǎn)值，再列出所求月份的產(chǎn)值的方程，令其等于已知的條件即可．
10．（3分）（2004•黃岡）用換元法解方程（x? ）2?3x+ +2=0時(shí)，如果設(shè)x? =y，那么原方程可轉(zhuǎn)化（ ）
A．y2+3y+2=0B．y2?3y?2=0C．y2+3y?2=0D．y2?3y+2=0
考點(diǎn)：換元法解分式方程．
專題：換元法．
分析：方程的兩個分式具備平方關(guān)系，如果設(shè)x? =y，則原方程化為y2?3y+2=0．用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程．
解答：解：把x? =y代入原方程得：y2?3y+2=0．
故選D．
點(diǎn)評：換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．
二.題（每小題4分，共20分）
11．（4分）已知方程x2?3x+k=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k= �。�
考點(diǎn)：根的判別式．
分析：根據(jù)題意可知△=0，推出9?4k=0，通過解方程即可推出k的值．
解答：解：∵x2?3x+k=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，
∴9?4k=0，
∴k= ．
故答案為 ．
點(diǎn)評：本題主要考查根的判別式，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出9?4k=0．
12．（4分）如圖所示，反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)A，過A作AB⊥x軸于B，若S△AOB=3，則反比例函數(shù)的解析式為 �。�
考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析：根據(jù)反比例函數(shù)y= 的幾何意義，求出k，再根據(jù)函數(shù)圖象所在象限求出k的值即可．
解答：解：∵S△AOB=3，
∴k=2×3=6，
又∵函數(shù)圖象位于二、四象限，
∴k=?6．
故反比例函數(shù)解析式為y=? ．
故答案為y=? ．
點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解答時(shí)還要根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出k的值．
13．（4分）如圖：延長正方形ABCD的邊BC至E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC= 112.5 度．
考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)．
專題：．
分析：根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)可先求得∠ACE及∠CAE的度數(shù)，從而可求得∠AFC的度數(shù)．
解答：解：如圖，∠ACE=90°+45°=135°，∠CAE= =22.5°，∠AFC=180°?45°?22.5°=112.5°．
故答案為112.5．
點(diǎn)評：解答和正方形有關(guān)的題目，要充分利用正方形的對角線平分每一組對角，且解答時(shí)要注意45°角的特殊作用．
14．（4分）（2007•眉山）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為1和2，則b= ?3 ，c= 2�。�
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得b與c的值．
解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=?b=1+2，
即b=?3，
x1•x2=c=1×2=2，
即c=2．
故本題答案為：?3，2
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解題關(guān)鍵是會利用根與系數(shù)的關(guān)系來求方程中的字母系數(shù)．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=? ，x1•x2= ．
15．（4分）（2013•鞍山）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是 11�。�
考點(diǎn)：三角形中位線定理；勾股定理．
專題：壓軸題．
分析：利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG= AD，EF=GH= BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC= = =5，
∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，
∴EH=FG= AD，EF=GH= BC，
∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四邊形EFGH的周長=6+5=11．
故答案為：11．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
三、（16題每小題12分，滿分20分；17題8分；共20分）
16．（12分）（1） （公式法）
（2）x2?2x?2=0（配方法）
考點(diǎn)：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）首先把方程化為一元二次方程的一般形式，再找出a，b，c，求出△=b2?4ac的值，再代入求根公式x= ，進(jìn)行解答即可．
（2）根據(jù)配方法的步驟先把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，最后在等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可得出答案．
解答：解：（1） （公式法），
∵a=1，b=?2 ，c=2，
∴x= = = ；
∴x1=x2= ．
（2）x2?2x?2=0，
x2?2x=2，
x2?2x+1=2+1，
（x?1）2=3，
x?1= ，
x1= +1，x2=1? ．
點(diǎn)評：此題考查了用公式法和配方法解一元二次方程，把方程化為一元二次方程的一般形式找出a，b，c，求出△=b2?4ac的值和掌握配方法的一般步驟是本題的關(guān)鍵．
17．（8分）（2007•益陽）在一次數(shù)學(xué)活動課上，李老師帶領(lǐng)學(xué)生去測教學(xué)樓的高度．在陽光下，測得身高1.65米的黃麗同學(xué)BC的影長BA為1.1米，與此同時(shí)，測得教學(xué)樓DE的影長DF為12.1米．
（1）請你在圖中畫出此時(shí)教學(xué)樓DE在陽光下的投影DF．
（2）請你根據(jù)已測得的數(shù)據(jù)，求出教學(xué)樓DE的高度．（精確到0.1米）
考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．
專題：．
分析：此題考查了平行投影的知識，在同一時(shí)刻物高與影長成正比例；解此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，借助于相似三角形的性質(zhì)解題．
解答：解：（1）如圖：
連接AC，過E點(diǎn)作EF∥AC交AD于F，
則DF為所求．（2）由平行投影知，△ABC∽△FDE，
則 ，
∴ （），
即教學(xué)樓的高度約為18.2．
點(diǎn)評：本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出教學(xué)樓的高度．
四、（每小題9分，共18分）
18．（9分）（2010•東莞）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）試說明AC=EF；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
專題：證明題；壓軸題．
分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；
（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．
解答：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=CB，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，
而△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
點(diǎn)評：此題是首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形．
19．（9分）（1999•南京）某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件．求：
（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設(shè)計(jì)方案．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題：方案型．
分析：（1）總利潤=每件利潤×銷售量．設(shè)每天利潤為w元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，據(jù)題意可得利潤表達(dá)式，再求當(dāng)w=1200時(shí)x的值；
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求最值．
解答：解：設(shè)每天利潤為w元，每件襯衫降價(jià)x元，
根據(jù)題意得w=（40?x）（20+2x）=?2x2+60x+800=?2（x?15）2+1250
（1）當(dāng)w=1200時(shí)，?2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根據(jù)題意要盡快減少庫存，所以應(yīng)降價(jià)20元．
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元．（2）解：商場每天盈利（40?x）（20+2x）
=?2（x?15）2+1250．
當(dāng)x=15元時(shí)，商場盈利最多，共1250元．
答：每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場平均每天盈利最多．
點(diǎn)評：本題重在考查根據(jù)題意寫出利潤的表達(dá)式是此題的關(guān)鍵．
五、（共12分）
20．（12分）Rt△ABO的頂點(diǎn)A是雙曲線 與直線y=?x+k+1在第四象限的交點(diǎn)，AB⊥x軸與B，S△ABO= ，如圖．
（1）求二函數(shù)解析式；
（2）求直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）S△AOC．
考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．
專題：數(shù)形結(jié)合．
分析：（1）由S△ABO= ，根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)k幾何意義，即可求出k的值；
（2）將兩函數(shù)解析式組成方程組，求出方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出直線AC和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A、C的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求出S△AOC．
解答：解：（1）∵S△ABO= ，
∴k=2× =3，
由于反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，
∴k=?3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=? ．
一次函數(shù)解析式為y=?x?3+1，
即y=?x?2．（2）將反比例函數(shù)解析式為y=? 和一次函數(shù)解析式為y=?x?2，組成方程組得，
，
解得 ， ．
所以直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，?3），C（?3，1）．（3）如圖，令y=0，則有?x?2=0，
解得x=?2，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0）．
∵D（?2，0），C（?3，1），
∴S△AOC=S△DOC+S△AOD= ×2×1+ ×2×3
=1+3=4．
點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)及和圖象有關(guān)的三角形的面積，求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
一、題（每小題4分，共20分）
21．（4分）已知關(guān)于x的方程x2?3x+2k?1=0有實(shí)數(shù)根，反比例函數(shù) 的圖象在各自象限內(nèi)y隨x增大而減小，則滿足上述條件的k的整數(shù)值為 0，1�。�
考點(diǎn)：根的判別式；反比例函數(shù)的性質(zhì)．
專題：．
分析：根據(jù)判別式的意義得到△=9?4（2k?1）≥0，解得k≤ ，在根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)得到1+2k＞0，解得k＞? ，則k的取值范圍為? ＜k≤ ，然后找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．
解答：解：∵關(guān)于x的方程x2?3x+2k?1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=9?4（2k?1）≥0，解得k≤ ，
∵反比例函數(shù) 的圖象在各自象限內(nèi)y隨x增大而減小，
∴1+2k＞0，解得k＞? ，
∴? ＜k≤ ，
∴滿足上述條件的k的整數(shù)值為0，1．
故答案為：0，1．
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2?4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了反比例函數(shù)性質(zhì)．
22．（4分）（2010•朝陽區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=12，BD=16，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD上移動，若△POE為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)P共有 4 個．
考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：首先可以確定的P點(diǎn)有3個：①以O(shè)為圓心OE為半徑作圓，與BD交于兩點(diǎn)，都符合P點(diǎn)的要求；②連接OE，OE的中垂線交BD于一點(diǎn)，此點(diǎn)也符合P點(diǎn)要求；
然后連接OE，過E作OD的垂線EF，易得EF是△AOD的中位線，結(jié)合菱形的性質(zhì)可證得EF垂直平分OD，因此OE=DE，即D點(diǎn)也符合P點(diǎn)的要求，所以共有4個點(diǎn)P．
解答：解：如圖①，首先可以確定的P點(diǎn)有三個：
一、以O(shè)為圓心OE為半徑作圓，⊙O交BD于P1、P2；
二、連接OE，作OE的垂直平分線，交BD于P3；
如圖②，連接OE，過E作EF⊥OD于F；
由于四邊形ABCD是菱形，故AO⊥OD，即EF∥AO；
又∵E是AD中點(diǎn)，
∴F是OD的中點(diǎn)，
∴EF是△AOD的中位線，
即EF垂直平分OD，
∴OE=DE，故D點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求；
綜上所述，符合條件的P點(diǎn)有4個．
故答案為4．
點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．
23．（4分）（2002•黃岡）如果a，b是方程x2+x?1=0的兩個根，那么代數(shù)式a3+a2b+ab2+b3的值是 ?3�。�
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．
分析：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a+b=?1，a•b=?1，而a3+a2b+ab2+b3=a3+b3+ab（a+b）=（a+b）（a2?ab+b2）+ab（a+b）=（a+b）[（a+b）2?3ab）]+ab（a+b ），然后把前面的值代入計(jì)算即可求出所求代數(shù)式的值．
解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：
a+b=?1，a•b=?1，
a3+a2b+ab2+b3=a3+b3+ab（a+b）
=（a+b）（a2?ab+b2）+ab（a+b）
=（a+b）[（a+b）2?3ab）]+ab（a+b）
=?1×（1+3）+1
=?3．
故填空答案為?3．
點(diǎn)評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及立方和、完全平方公式的應(yīng)用．
24．（4分）（2005•河南）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直線N為梯形ABCD的對稱軸，P為N上一動點(diǎn)，那么PC+PD的最小值為 �。�
考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題．
專題：壓軸題；動點(diǎn)型．
分析：因?yàn)橹本�N為梯形ABCD的對稱軸，所以當(dāng)A、P、C三點(diǎn)位于一條直線時(shí)，PC+PD有最小值．
解答：解：連接AC交直線N于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為所求．
∵直線N為梯形ABCD的對稱軸，
∴AP=DP，
∴當(dāng)A、P、C三點(diǎn)位于一條直線時(shí)，PC+PD=AC，為最小值，
∵AD=DC=AB，AD∥BC，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB
∵∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=1，∠B=60°
∴AC=tan60°×AB= ×1= ．
∴PC+PD的最小值為 ．
點(diǎn)評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．解題關(guān)鍵是分析何時(shí)PC+PD有最小值．
25．（4分）如圖，點(diǎn)A1、A2、A3在x軸上，且OA1=A1A2=A2A3，分別過點(diǎn)A1、A2、A3作y軸的平行線，與反比例函數(shù) 的圖象分別交于點(diǎn)B1、B2、B3，分別過點(diǎn)B1、B2、B3作x軸的平行線，分別與y軸交于點(diǎn)C1、C2、C3，連結(jié)OB1、OB2、OB3，那么圖中陰影部分的面積之和為 ．
考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析：先根據(jù)反比例函數(shù)上的點(diǎn)向x軸、y軸引垂線形成的矩形面積等于反比例函數(shù)的k，得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3= k=2，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到3個陰影部分的三角形的面積從而求得面積和．
解答：解：根據(jù)題意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3= k=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y軸，
設(shè)圖中陰影部分的面積從左向右依次為s1，s2，s3
則s1= k=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，
∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9，
∴圖中陰影部分的面積分別是s1=2，s2= ，s3= ，
∴圖中陰影部分的面積之和=2+ + =2 ．
故答案為：2 ．
點(diǎn)評：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意反比例函數(shù)上的點(diǎn)向x軸、y軸引垂線形成的矩形面積等于反比例函數(shù)的k．
二、（共8分）
26．（8分）（2008•成都）金泉街道改建工程指揮部，要對某路段工程進(jìn)行招標(biāo)，接到了甲、乙兩個工程隊(duì)的投標(biāo)書．從投標(biāo)書中得知：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的 ；若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作30天可以完成．
（1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要多少天？
（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.84萬元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.56萬元，工程預(yù)算的施工費(fèi)用為50萬元．為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程，則工程預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由．
考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用．
專題：．
分析：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要 x天，工程任務(wù)是1，工作效率分別是： ；工作量=時(shí)間×工作效率，等量關(guān)系為：前10天甲的工作量+后30天甲乙合做工作量=1．就可以列方程了．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，知道了甲乙單獨(dú)完成這項(xiàng)需要的天數(shù)，就知道了甲乙的工作效率，用（甲的工作效率+乙的工作效率）×合做天數(shù)=1，就可以得出合做天數(shù)了，進(jìn)一步計(jì)算出每個隊(duì)的費(fèi)用，回答題目的問題．
解答：解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要 x天．
根據(jù)題意得： +30×（ + ）=1．
解得：x=90．
經(jīng)檢驗(yàn)：x=90是原方程的根．
∴ x= ×90=60．
答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要60天和90天．
（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需要y天．
可得：y（ + ）=1．
解得：y=36．（2分）
需要施工費(fèi)用：36×（0.84+0.56）=50.4（萬元）．
∵50.4＞50
∴工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算0.4萬元．
點(diǎn)評：通過第一問可以得出甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要天數(shù)，也就知道了甲乙的工作效率，在第二問中甲乙工作效率是沒有變的，要充分運(yùn)用這個結(jié)論．找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
三、（共10分）
27．（10分）已知：反比例函數(shù) 和 在平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限中的圖象如圖所示，點(diǎn)A在 的圖象上，AB∥y軸，與 的圖象交于點(diǎn)B，AC、BD與x軸平行，分別與 、 的圖象交于點(diǎn)C、D．
（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求直線CD的解析式：
（2）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，梯形ACBD的對角線的交點(diǎn)F，求 的值．
考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．
專題：綜合題．
分析：（1）先利用點(diǎn)A在y= 的圖象上可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），則根據(jù)AC∥x軸，AB∥y軸得到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，再利用C、B在y= 的圖象上可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；由于BD∥x軸，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)D點(diǎn)在y= 的圖象上可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，1），然后利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式；
（2）作C⊥y軸于，BN⊥y軸于N，與（1）的方法一樣可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），C點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），B點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），D點(diǎn)坐標(biāo)為（4， ），根據(jù)比例系數(shù)的幾何意義得到S△OCN=S△OB=1，根據(jù)梯形的面積公式得到S梯形BNC= ，S梯形ACBD= ；再利用S四邊形BONC=S△ONC+S△OBC=S梯形BNC+S△OB得S△OBC=S梯形BNC= ，最后計(jì)算 的值．
解答：解：（1）把x=2代入y= 得y=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
∵AC∥x軸，AB∥y軸，
∵C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
把y=4代入y= 得x= ；把x=2代入y= 得y=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∵BD∥x軸，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)相等，
把y=1代入y= 得x=8，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，1），
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，
把C（ ，4）、D（8，1）代入 ，解得 ，
∴直線DC的解析式為y=? x+ ；（2）作C⊥y軸于，BN⊥y軸于N，如圖，
當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，與（1）的方法一樣可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），C點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），B點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），D點(diǎn)坐標(biāo)為（4， ），
∴AC=? = ，BD=4?=3，AB= ? = ，
∴S梯形ACBD= （ +3）• = ；
∵S△OCN=S△OB= ×2=1，S梯形BNC= （ +）• = ，
而S四邊形BONC=S△ONC+S△OBC=S梯形BNC+S△OB，
∴S△OBC=S梯形BNC= ，
∴ = = ．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；記住梯形的面積公式和運(yùn)用幾何圖形的面積和差求不規(guī)則幾何圖形的面積．
四、（共12分）
28．（12分）（2008•青島）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 c，BC=3 c，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為1c/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為2c/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；
（2）設(shè)△AQP的面積為y（c2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由．
考點(diǎn)：相似形綜合題．
專題：壓軸題．
分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關(guān)于AP，AB，AQ，AC的比例關(guān)系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據(jù)P，Q的速度，可以用時(shí)間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數(shù)值代入比例關(guān)系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時(shí)間t表示出來．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB?BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時(shí)t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時(shí)面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時(shí)刻．
（4）我們可通過構(gòu)建相似三角形來求解．過點(diǎn)P作P⊥AC于，PN⊥BC于N，那么PNC就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了C的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，Q=C，這樣有用t表示出的AQ，Q，C三條線段和AC的長，就可以根據(jù)AC=AQ+Q+C來求出t的值．求出了t就可以得出Q，C和P的長，也就能求出菱形的邊長了．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB= ，
由題意知：AP=5?t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴ = ，∴ = ，
∴t= ．所以當(dāng)t= 時(shí)，PQ∥BC．（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PH=3? t，
∴y= ×AQ×PH= ×2t×（3? t）=? t2+3t．（3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5?t）+2t=t+3+（4?2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面積平分，則S△APQ= S△ABC，即? +3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分．（4）過點(diǎn)P作P⊥AC于，PN⊥BC于N，
若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵P⊥AC于，
∴Q=C．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴ = ，∴ = ，
∴PN= ，
∴Q=C= ，
∴ t+ t+2t=4，解得：t= ．
∴當(dāng)t= s時(shí)，四邊形PQP'C是菱形．
此時(shí)P=3? t= c，C= t= c，
在Rt△PC中，PC= = = c，
∴菱形PQP′C邊長為 c．
點(diǎn)評：本題圖形結(jié)合的動態(tài)題，是近幾年考試熱點(diǎn)，同時(shí)考查三角形相似知識，是一道很好的綜合題．本題亮點(diǎn)是巧妙結(jié)合圖形綜合考查不同知識點(diǎn)．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chusan/82556.html
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