一、（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．（3分）（2013?衡陽）?3的相反數(shù)是（ �。�
A．3B．?3C． D．?
考點(diǎn)：相反數(shù)
分析：根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．
解答：解：?3的相反數(shù)是3，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“?”號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
2．（3分）（2013?衡陽）如圖，AB平行CD，如果∠B=20°，那么∠C為（ ）
A．40°B．20°C．60°D．70°
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．
分析：根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠C=∠B，代入求出即可．
解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，
∴∠C=∠B=20°，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
3．（3分）（2013?衡陽）“a是實(shí)數(shù)，a≥0”這一事件是（ ）
A．必然事件B．不確定事件C．不可能事件D．隨機(jī)事件
考點(diǎn)：隨機(jī)事件．
分析：根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念和絕對(duì)值的定義可正確解答．
解答：解：因?yàn)閿?shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，
因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，
所以a≥0．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．
4．（3分）（2013?衡陽）如圖，∠1=100°，∠C=70°，則∠A的大小是（ �。�
A．10°B．20°C．30°D．80°
考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)．
分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1?∠C=100°?70°=30°．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）（2013?衡陽）計(jì)算 的結(jié)果為（ �。�
A． B． C．3D．5
考點(diǎn)：二次根式的乘除法；零指數(shù)冪．
專題：．
分析：原式第一項(xiàng)利用二次根式的法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，即可得到結(jié)果．
解答：解：原式=2+1=3．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次根式的乘除法，以及零指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
6．（3分）（2013?衡陽）如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（ �。�
A．50°B．80°C．90°D．100°
考點(diǎn)：圓周角定理．
分析：因?yàn)橥∷鶎?duì)圓心角是圓周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
解答：解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
7．（3分）（2013?衡陽）要調(diào)查下列問題，你認(rèn)為哪些適合抽樣調(diào)查（ �。�
①市場上某種食品的某種添加劑的含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)
②檢測某地區(qū)空氣質(zhì)量
③調(diào)查全市中學(xué)生一天的學(xué)習(xí)時(shí)間．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
考點(diǎn)：全面調(diào)查與抽樣調(diào)查
分析：由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．
解答：解：①食品數(shù)量較大，不易普查，故適合抽查；
②不能進(jìn)行普查，必須進(jìn)行抽查；
③人數(shù)較多，不易普查，故適合抽查．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用，一般來說，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．
8．（3分）（2013?衡陽）下列幾何體中，同一個(gè)幾何體的主視圖與俯視圖不同的是（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖．
分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側(cè)面和上面看，所得到的圖形．
解答：解：A、圓柱的主視圖與俯視圖都是矩形，錯(cuò)誤；
B、正方體的主視圖與俯視圖都是正方形，錯(cuò)誤；
C、圓錐的主視圖是等腰三角形，而俯視圖是圓和圓心，正確；
D、球體主視圖與俯視圖都是圓，錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
9．（3分）（2013?衡陽）下列運(yùn)算正確的是（ �。�
A．3a+2b=5abB．a(chǎn)3?a2=a5C．a(chǎn)8?a2=a4D．（2a2）3=?6a6
考點(diǎn)：同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項(xiàng)，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．
解答：解：A、不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、正確；
C、a8?a2=a10，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、（2a2）3=8a6，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法則才能做題．
10．（3分）（2013?衡陽）下列命題中，真命題是（ �。�
A．位似圖形一定是相似圖形
B．等腰梯形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形
C．四條邊相等的四邊形是正方形
D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
考點(diǎn)：命題與定理
分析：根據(jù)位似圖形的定義、等腰梯形的性質(zhì)、正方形的判定、兩直線的位置關(guān)系分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
解答：解：A、位似圖形一定是相似圖形是真命題，故本選項(xiàng)正確；
B、等腰梯形既是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，原命題是假命題；
C、四條邊相等的四邊形是菱形，原命題是假命題；
D、同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相垂直，原命題是假命題；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
11．（3分）（2013?衡陽）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由168元降為128元．已知兩次降價(jià)的百分率相同，每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意列方程得（ �。�
A．168（1+x）2=128B．168（1?x）2=128C．168（1?2x）=128D．168（1?x2）=128
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
專題：增長率問題．
分析：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格（1?降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是168（1?x），第二次后的價(jià)格是168（1?x）2，據(jù)此即可列方程求解．
解答：解：根據(jù)題意得：168（1?x）2=128，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價(jià)格問題主要解決價(jià)格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程即可．
12．（3分）（2013?衡陽）如圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時(shí)間為t，正方形除去圓部分的面積為S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．
專題：動(dòng)點(diǎn)型．
分析：本題考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的問題．
解答：解：由圖中可知：在開始的時(shí)候，陰影部分的面積最大，可以排除B，C．
隨著圓的穿行開始，陰影部分的面積開始減小，當(dāng)圓完全進(jìn)入正方形時(shí)，陰影部分的面積開始不再變化．應(yīng)排除D．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據(jù)實(shí)際情況采用排除法求解．
二、題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分）
13．（3分）（2013?衡陽）計(jì)算 = 2�。�
考點(diǎn)：有理數(shù)的乘法．
分析：根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：（?4）×（? ）=4× =2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，要注意符號(hào)的處理．
14．（3分）（2013?衡陽）反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，?1），則k的值為 ?2�。�
考點(diǎn)：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．
分析：將此點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)= （k≠0）即可求得k的值．
解答：解：將點(diǎn)（2，?1）代入解析式可得k=2×（?1）=?2．
故答案為：?2．
點(diǎn)評(píng)：本題比較簡單，考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．
15．（3分）（2013?衡陽）如圖，在直角△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°得到△OA1B1，則∠A1OB= 70 °．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
專題：探究型．
分析：直接根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
解答：解：∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，
∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
∴∠A1OB=∠A1OA?∠AOB=70°．
故答案為：70．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角均相等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
16．（3分）（2013?衡陽）某中學(xué)舉行歌詠比賽，以班為單位參賽，評(píng)委組的各位評(píng)委給九（三）班的演唱打分情況為：89、92、92、95、95、96、97、，從中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，余下的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)是最后得分，則該班的得分為 94�。�
考點(diǎn)：算術(shù)平均數(shù)． 4
分析：先去掉一個(gè)最低分去掉一個(gè)最高分，再根據(jù)平均數(shù)等于所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)列出算式進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：由題意知，最高分和最低分為97，89，
則余下的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)=（92×2+95×2+96）÷5=94．
故答案為：94．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了算術(shù)平均數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)平均數(shù)等于所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)列出算式．
17．（3分）（2013?衡陽）計(jì)算： = a?1�。�
考點(diǎn)：分式的加減法．
專題：．
分析：原式利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果．
解答：解：原式= =a?1．
故答案為：a?1
點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的加減法，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母．
18．（3分）（2013?衡陽）已知a+b=2，ab=1，則a2b+ab2的值為 2 ．
考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用．
專題：計(jì)算題．
分析：所求式子提取公因式化為積的形式，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．
解答：解：∵a+b=2，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2．
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．
19．（3分）（2013?衡陽）如圖，要制作一個(gè)母線長為8cm，底面圓周長是12πcm的圓錐形小漏斗，若不計(jì)損耗，則所需紙板的面積是 48πcm2�。�
考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．
專題：計(jì)算題．
分析：圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2．
解答：解：圓錐形小漏斗的側(cè)面積= ×12π×8=48πcm2．
故答案為48πcm2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長
20．（3分）（2013?衡陽）觀察下列按順序排列的等式： ， ， ， ，…，試猜想第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）：an= ? �。�
考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
分析：根據(jù)題意可知a1=1? ，a2= ? ，a3= ? ，…故an= ? ．
解答：解：通過分析數(shù)據(jù)可知第n個(gè)等式為：an= ? ．
故答案為： ? ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分60分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
21．（6分）（2013?衡陽）先化簡，再求值：（1+a）（1?a）+a（a?2），其中 ．
考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算?化簡求值．
分析：原式第一項(xiàng)利用平方差公式化簡，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，將a的值代入計(jì)算即可求出值．
解答：解：原式=1?a2+a2?2a=1?2a，
當(dāng)a= 時(shí)，原式=1?1=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算?化簡求值，涉及的知識(shí)有：平方差公式，去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
22．（6分）（2013?衡陽）解不等式組： ；并把解集在數(shù)軸上表示出來．
考點(diǎn)：解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．
分析：先求出不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集即可．
解答：解：
∵解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式組的解集為x＞2，
在數(shù)軸上表示不等式組的解集為
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元一次不等式（組），在數(shù)軸上表示不等式組的解集的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．
23．（6分）（2013?衡陽）如圖，小方在五月一日假期中到郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛到C 處時(shí)的線長為20米，此時(shí)小方正好站在A處，并測得∠CBD=60°，牽引底端B離地面1.5米，求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度（結(jié)果精確到個(gè)位）
考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．
分析：易得DE=AB，利用BC長和60°的正弦值即可求得CD長，加上DE長就是此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度．
解答：解：依題意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四邊形ABDE是矩形，（1分）
∴DE=AB=1.5，（2分）
在Rt△BCD中， ，（3分）
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC?sin60°=20× =10 ，（4分）
∴CE=10 +1.5，（5分）
即此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度為（10 +1.5）米．
點(diǎn)評(píng)：考查仰角的定義，能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是仰角問題常用的方法．
24．（6分）（2013?衡陽）目前我市“校園手機(jī)”現(xiàn)象越來越受到社會(huì)關(guān)注，針對(duì)這種現(xiàn)象，我市某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)隨機(jī)調(diào)查了學(xué)校若干名家長對(duì)“中學(xué)生帶手機(jī)”現(xiàn)象的看法，統(tǒng)計(jì)整理并制作了如下的統(tǒng)計(jì)圖：
（1）這次調(diào)查的家長總數(shù)為 600�。议L表示“不贊同”的人數(shù)為 80��；
（2）從這次接受調(diào)查的家長中隨機(jī)抽查一個(gè)，恰好是“贊同”的家長的概率是 60% ；
（3）求圖②中表示家長“無所謂”的扇形圓心角的度數(shù)．
考點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖；概率公式．
分析：（1）根據(jù)贊成的人數(shù)與所占的百分比列式計(jì)算即可求調(diào)查的家長的總數(shù)，然后求出不贊成的人數(shù)；
（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖即可得到恰好是“贊同”的家長的概率；
（3）求出無所謂的人數(shù)所占的百分比，再乘以360°，計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）調(diào)查的家長總數(shù)為：360÷60%=600人，
很贊同的人數(shù)：600×20%=120人，
不贊同的人數(shù)：600?120?360?40=80人；
（2）“贊同”態(tài)度的家長的概率是60%；
（3）表示家長“無所謂”的圓心角的度數(shù)為： ×360°=24°．
故答案為：600，80；60%．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小．
25．（8分）（2013?衡陽）為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，我市從2014年7月1日起，居民用電實(shí)行“一戶一表”的“階梯電價(jià)”，分三個(gè)檔次收費(fèi)，第一檔是用電量不超過180千瓦時(shí)實(shí)行“基本電價(jià)”，第二、三檔實(shí)行“提高電價(jià)”，具體收費(fèi)情況如右折線圖，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題；
（1）檔用地阿亮是180千瓦時(shí)時(shí)，電費(fèi)是 108 元；
（2）第二檔的用電量范圍是 180＜x≤450��；
（3）“基本電價(jià)”是 0.6 元/千瓦時(shí)；
（4）小明家8月份的電費(fèi)是328.5元，這個(gè)月他家用電多少千瓦時(shí)？
考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）通過函數(shù)圖象可以直接得出用電量為180千瓦時(shí)，電費(fèi)的數(shù)量；
（2）從函數(shù)圖象可以看出第二檔的用電范圍；
（3）運(yùn)用總費(fèi)用÷總電量就可以求出基本電價(jià)；
（4）結(jié)合函數(shù)圖象可以得出小明家8月份的用電量超過450千瓦時(shí)，先求出直線BC的解析式就可以得出結(jié)論．
解答：解：（1）由函數(shù)圖象，得
當(dāng)用電量為180千瓦時(shí)，電費(fèi)為：108元．
故答案為：108；
（2）由函數(shù)圖象，得
設(shè)第二檔的用電量為x°，則180＜x≤450．
故答案為：180＜x≤450
（3）基本電價(jià)是：108÷180=0.6；
故答案為：0.6
（4）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得
，
解得： ，
y=0.9x?121.5．
y=328.5時(shí)，
x=500．
答：這個(gè)月他家用電500千瓦時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用函數(shù)圖象求自變量的取值范圍的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由解析式通過自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)讀懂函數(shù)圖象的意義是關(guān)鍵．
26．（8分）（2013?衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點(diǎn)E、F，已知AD=4．
（1）試說明AE2+CF2的值是一個(gè)常數(shù)；
（2）過點(diǎn)P作PM∥FC交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)P在何位置時(shí)線段DM最長，并求出此時(shí)DM的值．
考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結(jié)合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)；
（2）設(shè)AP=x，則PD=4?x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關(guān)于x的一元二次函數(shù)，求出DM的最大值．
解答：解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)；
（2）設(shè)AP=x，則PD=4?x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ = ，
即 = ，
∴DM= =x? x2，
當(dāng)x=2時(shí)，DM有最大值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識(shí)，此題有一定的難度，是一道不錯(cuò)的中考試題．
27．（10分）（2013?衡陽）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=?1．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
分析：（1）利用頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)四邊形OMPQ為矩形時(shí)，滿足條件OM=PQ，據(jù)此列一元二次方程求解；
②△AON為等腰三角形時(shí)，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計(jì)算．
解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，
∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，
∴ ，
解得：a=?1，k=4，
∴拋物線的解析式為：y=?（x+1）2+4．
（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，
∴OM=PQ，即3t=?（t+1）2+4，
整理得：t2+5t?3=0，
解得t= ，由于t= ＜0，故舍去，
∴當(dāng)t= 秒時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON為等腰三角形，有三種情況：
（I）若ON=AN，如答圖1所示：
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，則D為OA中點(diǎn)，OD= OA= ，
∴t= ；
（II）若ON=OA，如答圖2所示：
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=AD?tanA=3x，OD=OA?AD=1?x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即（1?x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=0（舍去），
∴x= ，OD=1?x= ，
∴t= ；
（III）若OA=AN，如答圖3所示：
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)AD=x，則ND=AD?tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=? （舍去），
∴OD=1?x=1? ，
∴t=1? ．
綜上所述，當(dāng)t為 秒、 秒，（1? ）秒時(shí)，△AON為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．第（2）問為運(yùn)動(dòng)型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)行分類討論計(jì)算．
28．（10分）（2013?衡陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長．
考點(diǎn)：圓的綜合題．
專題：綜合題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點(diǎn)即點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5；
（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，所以 = ，可解得OC= ，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（? ，0），最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定l的解析式；
（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON= ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，所以O(shè)D= ，ON= ，即可確定N點(diǎn)坐標(biāo)；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN= ，則BN=10? = ，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計(jì)算即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= =10，
∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標(biāo)為（（4，3）；
（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖，
∵BC與⊙M相切，AB為直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=90°，
而∠BAO=∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，
∴ = ，即 = ，解得OC= ，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（? ，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，6）、C點(diǎn)（? ，0）分別代入 ，
解得 ，
∴直線l的解析式為y= x+6；
（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，如圖，
∵∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，
∴△NOD為等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，
∴OD= ，ON= ND= ，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即 ：6=AN：10，解得AN= ，
∴BN=10? = ，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即 ：NE= ： ，解得NE= ，
∴OE=ON+NE= + =7 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論；學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．
四、附加題（本小題滿分0分，不計(jì)入總分）
29．（2013?衡陽）一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km．現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市．問：
（1）能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？在圖1中畫出安裝點(diǎn)的示意圖，并用大寫字母M、N、P、Q表示安裝點(diǎn)；
（2）能否找到這樣的3個(gè)安裝點(diǎn)，使得在這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？在圖2中畫出示意圖說明，并用大寫字母M、N、P表示安裝點(diǎn)，用計(jì)算、推理和文字來說明你的理由．
考點(diǎn)：作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．
專題：作圖題．
分析：（1）可把正方形分割為四個(gè)全等的正方形，作出這些正方形的對(duì)角線，把裝置放在交點(diǎn)處，交點(diǎn)到其余各個(gè)小正方形頂點(diǎn)的距離相等通過計(jì)算看是否適合；
（2）由（1）得到啟示，把正方形分割為三個(gè)長方形，左邊的一個(gè)矩形的對(duì)角線能輻射的最大直徑為31，看能否把三個(gè)裝置放在三個(gè)長方形的對(duì)角線的交點(diǎn)處．
解答：解：（1）如圖1，將正方形等分成如圖的四個(gè)小正方形，將這4個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個(gè)小正方形對(duì)角線的交點(diǎn)處，
此時(shí)，每個(gè)小正方形的對(duì)角線長為 ，每個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個(gè)小正方形區(qū)域，
故安裝4個(gè)這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求；
（2）（畫圖正確給1分）
將原正方形分割成如圖2中的3個(gè)矩形，
使得BE=OD=OC．將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，
則AE= ， ，
∴OD= ，
即如此安裝三個(gè)這個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chusan/57117.html
相關(guān)閱讀：2013年中考數(shù)學(xué)幾何綜合試題匯編