第二十六章二次函數(shù)章末測試（一）
總分120分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖所示是一個(gè)拋物線形橋拱的示意圖，在所給出的平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)水位在AB位置時(shí)，水面寬度為10m，此時(shí)水面到橋拱的距離是4m，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（ �。�
A．y= B．y=? C．y=? D．y=
2．把一根長為50cm的鐵絲彎成一個(gè)長方形，設(shè)這個(gè)長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（ �。�
A．y=?x2+50x B．y=x2?50x C．y=?x2+25x D．y=?2x2+25
3．二次函數(shù)y=kx2+2x+1（k＜0）的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的部分圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（ �。�
A．?2＜x＜2 B．?4＜x＜2 C．x＜?2或x＞2 D．x＜?4或x＞2
5．拋物線y=x2?4x?7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ �。�
A．（2，?11） B．（?2，7） C．（2，11） D．（2，?3）
6．若拋物線y=x2?2x+c與y軸的交點(diǎn)為（0，?3），則下列說法不正確的是（ �。�
A．拋物線開口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸是x=1
C．當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為4 D．拋物線與x軸的交點(diǎn)為（?1，0），（3，0）
7．如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1m，離地面 m，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是（ �。�
A．2m B．3m C．4m D．5m
8．如圖，有一座拋物線拱橋，當(dāng)水位在AB位置時(shí)，橋拱頂離水面2m，水面寬4m．若水面下降1m，則水面寬CD為（ �。�
A．5m B．6m C． m D． m
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．函數(shù) 與y2=x+2的圖象及交點(diǎn)如圖所示，則不等式x2＜x+2的解集是 _________ ．
10．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知ax2+bx+c＞0時(shí)x的取值范圍是 _________ ．
11．拋物線y= x2?4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸 分別是 _________�。�
12．拋物線y=x2?（m2?3m+2）x+m2?4的圖象的對(duì)稱軸是y軸，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則m的值為 _________�。�
13．若拋物線y=ax2+4x+a的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，則a= _________�。�
14．如圖，一塊草 地是長80 m，寬60 m的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時(shí)草坪面積為y m2．求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值．
三．解答題（共10小題）
15．（6分）已知正方形的面積為y（cm2），周長為x（cm ）．
（1）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）判斷y是否為x的二次函數(shù)．
16．（6分）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一條矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍�。ㄈ鐖D）．若設(shè)綠化帶BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
17．（6分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點(diǎn)P在線段AB上，P從點(diǎn)A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)．點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q從E點(diǎn)開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)分別從A、E出發(fā)，寫出出發(fā)時(shí)間t與△BPQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，求出t的取值范圍．
18．（8分）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（0，?5），B（1，?3），C（?1，11）三點(diǎn)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸．
19．（8分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）觀察圖象，寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式；
（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）當(dāng)m取何值時(shí)，ax2+bx+c=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
20．（8分）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，?3），且經(jīng)過點(diǎn)（1，? ）．
（1 ）求這個(gè)拋物線的函數(shù)解析式，并作出這個(gè)函數(shù)的大致圖象；
（2）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，y隨x的增大而減小？
21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（?1，0）和點(diǎn)B（1，0），直線y=2x?1與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)C、D．求：
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
22（8分）．根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式：
（1）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，?1），對(duì)稱軸是直線x=?1，且二次函數(shù)有最大值2．
（2）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（5 ，6），與x軸交于（?1，0），（2，0）兩點(diǎn)．
23．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)小正方形的邊長均為1，且正方形的邊與坐標(biāo)軸平行，邊DE落在x軸的正半軸上，邊AG落在y軸的正半軸上，A、B兩點(diǎn)在拋物線y= x2+bx+c上．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y= x2+bx+c的解析式；
（3）將正方形CDEF沿x軸向右平移，使點(diǎn)F落在拋物線y= x2+bx+c上，求平移的距離．
24（10分）．如圖，已知二次函數(shù)y=? x2+ x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 _________ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 _________��；
（2）△ABC是直角三角形嗎？若是，請(qǐng)給予證明；
（3）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
第二十六章二次函數(shù)章末測試（一）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖所示是一個(gè)拋物線形橋拱的示意圖，在所給出的平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)水位在AB位置時(shí)，水面寬度為10m，此時(shí)水面到橋拱的距離是4m，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（ �。�
A． y= B．y=? C．y=? D． y=
考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，解析式符合最簡形式y(tǒng)=ax2，把點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可確定拋物線解析式．
解答： 解： 依題意設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2，
把B（5，?4）代入解析式，
得?4=a×52，
解得a=? ，
所以y=? x2．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的位置，合理地設(shè)拋物線解析式，是解答本題的關(guān)鍵．
2．把一根長為50cm的鐵絲彎成一個(gè)長方形，設(shè)這個(gè)長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（ �。�
A． y=?x2+50x B．y=x2?50x C．y=?x2+25x D． y=?2x2+25
考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： 由長方形的面積=長×寬可求解．
解答： 解：設(shè)這個(gè)長方形的一邊長為xcm，則另一邊長為（25?x）cm，
以面積y=x（25?x）=?x2+25x．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
3．二次函數(shù)y=kx2+2x+1（k＜0）的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象．
分析： 由圖象判定k＜0，可以判斷拋物線對(duì)稱軸的位置，拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，選擇符合條件的選項(xiàng)．
解答： 解：因?yàn)槎魏瘮?shù)y=kx2+2x+1（k＜0）的圖象開口向下，過點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸x=? ＞0，
觀察圖象可知，符合上述條件的只有C．故選C．
點(diǎn)評(píng)： 應(yīng)熟練掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有關(guān)性質(zhì)：開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸．
4.已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的部分圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A． ?2＜x＜2 B．?4＜x＜2 C．x＜?2或x＞2 D． x＜?4或x＞2
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象．
專題： 壓軸題．
分析： 先根據(jù)對(duì)稱軸和拋物線與x軸的交點(diǎn)求出另一交點(diǎn)；再根據(jù)開口方向，結(jié)合圖形，求出y＞0時(shí)，x的取值范圍．
解答： 解：因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)（2，0），對(duì)稱軸是x=?1，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線必過另一點(diǎn)（?4，0），
因?yàn)閽佄锞�開口向下，y＞0時(shí)，圖象在x軸的上方，
此時(shí)，?4＜x＜2．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 解答本題，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，關(guān)鍵是判斷圖象與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)開口方向，形數(shù)結(jié)合，得出結(jié)論．
5拋物線y=x2?4x?7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． （2，?11） B．（?2，7） C．（2，11） D． （2，?3）
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 直接根據(jù)頂點(diǎn)公式或配方法求解即可．
解答： 解：∵ =2， =?11，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，?11）．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．
6．若拋物線y=x2?2x+c與y軸的交點(diǎn)為（0，?3），則下列說法不正確的是（ ）
A． 拋物線開口向上 B． 拋物線的對(duì)稱軸是x=1
C． 當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為4 D． 拋物線與x軸的交點(diǎn)為（?1 ，0），（3，0）
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 把（0，?3）代入拋物線解析式求c的值，然 后再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
解答： 解：把（0，?3）代入y=x2?2x+c中得c=?3，
拋物線為y=x2?2x?3=（x?1）2?4=（x+1）（x?3），
所以：拋物線開口向上，對(duì)稱軸是x=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y的最小值為?4，
與x軸的交點(diǎn)為（?1，0），（3，0）；C錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 要求掌握拋物線的性質(zhì)并對(duì)其中的a，b，c熟悉其相關(guān)運(yùn)用．
7．如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1m，離地面 m，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是（ �。�
A． 2m B．3m C．4m D． 5m
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 由題意可以知道M（1， ），A（0，10）用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)就可以求出x的值，這樣就可以求出OB的值．
解答： 解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x?1）2+ ，由題意，得
10=a+ ，
a=? ．
∴拋物線的解析式為：y=? （x?1）2 + ．
當(dāng)y=0時(shí)，
0=? （x?1）2+ ，
解得：x1=?1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用拋物線的解析式解決實(shí)際問題．解答本題是時(shí) 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式求解析式是關(guān)鍵．
8．如圖，有一座拋物線拱橋，當(dāng)水位在AB位置時(shí)，橋拱頂離水面2m，水面寬4m．若水面下降1m，則水面寬CD為（ �。�
A． 5m B．6m C． m D． m
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2將A點(diǎn)代入拋物線方程求得a，得到拋物線解析式，再把 y=?3代入拋物線解析式求得x0進(jìn)而得到答案．
解答： 解：設(shè)拋物線方程為y=ax2，
將A（2，?2）代入y=ax2，
解得：a=? ，
∴y=? x2，
代入B（x0，?3）得x0= ，
∴水面寬CD為2 ，
故選D．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線解決實(shí)際問題 的能力．
二．填空題（共6小題）
9．函數(shù) 與y2=x+2的圖象及交點(diǎn)如圖所示，則不等式x2＜x+2的解集是 ?1＜x＜2�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)與不等式（組）．
分析： 利用函數(shù)圖象得出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象只有在二次函數(shù)圖象上方時(shí)，不等式x2＜x+2，進(jìn)而得出答案．
解答： 解：利用圖象得出函數(shù) 與y2=x+2的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（?1，1）和（2，4），
∴不等式x2＜x+2的解集為：?1＜x＜2．
故答案為：?1＜x＜2．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，利用數(shù)形結(jié)合得出不等式的解集是解題關(guān)鍵．
10．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知ax2+bx+c＞0時(shí)x的取值范圍是 ?1＜x＜5�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)與不等式（組）．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)，再寫出函數(shù)圖象在x軸上方部分的x的取值范圍即可．
解答： 解：由 圖可知，二次函數(shù)圖象為直線x=2，
所以，函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為（?1，0），
所以，ax2+bx+c＞0時(shí)x的取值范圍是?1＜x＜5．
故答案為：?1＜x＜5．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目一般都利用數(shù)形結(jié)合的思想求解，本題求出函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
11．拋物線y= x2?4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸分別是�。�4，?5），x=4�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)配方法，或者頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸．
解答： 解：∵y= x2?4x+3= （x?4）2?5，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，?5），對(duì)稱軸為x=4．
故答案為（4，?5），x=4．
點(diǎn)評(píng)： 主要考查了求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．通常有兩種方法：
（1）公式法：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），對(duì)稱軸是x=? ；
（2）配方法：將解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x?h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x=h．
12．拋物線y=x2?（m2?3m+2）x+m2?4的圖象的對(duì)稱軸是y軸，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則m的值為 2�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸直線x=? =0，得到m2?3m+2=0，再由頂點(diǎn)在原點(diǎn)得到m2?4=0，然后分別解兩個(gè)一元二次方程，再得到它們 的公共解即可．
解答： 解：根據(jù)題意得m2?3m+2=0且m2?4=0，
解m2?3m+2=0得m=1或2，解m2?4=0得m=2或?2，
所以m的值為2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（? ， ），對(duì)稱軸直線x=? ．
13．若拋物線y=ax2+4x+a的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，則a= 4或?1�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 直接利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出 =3，進(jìn)而求出即可．
解答： 解：∵拋物線y=ax2+4x+a的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，
∴ =3，
整理得出：a2?3a?4=0，
解得：a1=4，a2=?1，
檢驗(yàn)：當(dāng) a=4或?1時(shí)，都是方程的根，
故答案為：4或?1．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直接利用頂點(diǎn)公式求出是解題關(guān)鍵．
14．如圖，一塊草地是長80 m，寬60 m的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時(shí)草坪面積為y m2．求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值．
考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： 把兩條路進(jìn)行平移，與長為80m的路移動(dòng)到上方，長為60m的路移動(dòng)左方，那么草坪就變成了邊長為（80?x）和（60?x）的長方形，然后根據(jù)長方形的面積公式即可確定函數(shù)關(guān)系式，其中自變量的取值應(yīng)根據(jù)原來長方形的長、寬確定．
解答： 解：依題意得把兩條路分別進(jìn)行平移，
長為80m的路移動(dòng)到上方，長為60m的路移動(dòng)左方，
∴草坪就變成了邊長為（80?x）和（60?x）的長方形，
∴y=（80?x）（60?x）=x2?140x+4800，
自變量的取值應(yīng)大于等于0，但應(yīng)小于60，即0＜x＜60．
故填空答案：y=（80?x）（60?x）=x2?140x+4800（0＜x＜60）．
點(diǎn)評(píng)： 解決本題的關(guān)鍵是把兩條路進(jìn)行平移，使草坪的面積成為一長方形的面積．
三．解答題（共10小題）
15．已知正方形的面積為y（cm2），周長為x（cm）．
（1）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）判斷y是否為x的二次函數(shù)．
考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；二次函數(shù)的定義．
分析： （1）根據(jù)正方形的周長為x（cm），即可得出邊長，進(jìn)而得出正方形的面積為y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用函數(shù)的定義判斷得出即可．
解答： 解：（1）∵正方形的周長為x（cm），
∴正方形的邊長為： xcm，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y= x× x= x2；
（2）利用二次函數(shù)的定義得出y是x的二次函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式，利用正方形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
16．為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一條矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍�。ㄈ鐖D）．若設(shè)綠化帶BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： 根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于二次函數(shù)解析式；根據(jù)墻長、x、y所表示的實(shí)際意義來確定x的取值范圍．
解答： 解：由題意得：y=x× =? x2+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式，注意在求自變量x的取值范圍時(shí)，要根據(jù)函數(shù)中自變量所表示的實(shí)際意義來確定．
17．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點(diǎn)P在線段AB上，P從點(diǎn)A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)．點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q從E點(diǎn)開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)分別從A、E出發(fā)，寫出出發(fā)時(shí)間t與△BPQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，求出t的取值范圍．
考點(diǎn)： 根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： △BPQ的面積= BP×BQ，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解，注意得到的相關(guān)線段為非負(fù)數(shù)即可．
解答： 解：∵PB=6?t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB•BQ= PB•（BE+EQ）
= （6?t）（6+t）
=? t2+18，
∴S=? t2+18（0≤t＜6）．
點(diǎn)評(píng)： 解決本題的關(guān)鍵是找到所求的三角形的面積的等量關(guān)系，注意求自變量的取值應(yīng)從線段長度為非負(fù)數(shù)考慮．
18．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（0，?5），B（1，?3），C（?1，11）三點(diǎn)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 將A、B、C三點(diǎn)代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程組，解這個(gè)方程組得a、b、c的值，得到拋物線的解析式，然后將該拋物線解析式通過配方，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，最后找出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
解答： 解：由題意得
，
解得 ，
所以這個(gè)拋物線的表達(dá)式為y=8x2?6x?5；
配方得y=8（x? ）2? ，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，? ），
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，通過配方得到頂點(diǎn)式是本題的關(guān)鍵．
19．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）觀察圖象，寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式；
（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）當(dāng)m取何值時(shí)，ax2+bx+c=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
分析： （1）觀察圖象直接寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）將解析式配成頂點(diǎn)式即可解決問題；
（3）運(yùn)用二次方程根的判別式列出不等式求解即可解決問題．
解答： 解：（1）由題意得：A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（?1，0）、（0，?3）、（4，5）；
設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c，
由題意得：
，
解得：a=1，b=?2，c=?3，
∴該拋物線解析式為：y=x2?2x?3．
（2）由（1）知：y=x2?2x?3=（x?1）2?4，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，?4），對(duì)稱軸為x=1．
（3）由題意得：x2?2x?3=m，
即x2?2x?3?m=0①，
若該方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則必有△=（?2）2?4×1×（?3?m）＞0，
解得：m＞?4．
即當(dāng)m＞?4時(shí)，ax2+bx+c=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評(píng)： 該命題以平面直角坐標(biāo)系為載體，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的解析式的求法、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與二次方程的聯(lián)系等代數(shù)問題；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．
20．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，?3），且經(jīng)過點(diǎn)（1，? ）．
（1）求這個(gè)拋物線的函數(shù)解析式，并作出這個(gè)函數(shù)的大致圖象；
（2）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，y隨x的增大而減�。�
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： （1）根據(jù)題意設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式，把已知點(diǎn)代入求出a的值，確定出解析式，畫出函數(shù)圖象即可；
（2）利用二次函數(shù)的增減性求出x的范圍即可．
解答： 解：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x?2）2?3，
把x=1，y=? 代入得：? =a?3，即a= ，
則拋 物線解析式為y= x2?2x?1；
（2）當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減�。�
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（?1，0）和點(diǎn)B（1，0），直線y=2x?1與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)C、D．求：
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）先求得C的坐標(biāo)，然后證得C為拋物線的頂點(diǎn)，即可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2?1，把A（?1，0）代入即可求得；
（2）聯(lián)立方程，解方程組即可求得．
解答： 解：（1）∵直線y=2x?1與y軸交于點(diǎn)C，
∴C的坐標(biāo)（0，?1），
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（?1，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴對(duì)稱軸為y軸，
∴C點(diǎn) 就是拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)把A（?1，0）代入得，a?1=0，
∴a=1，
∴拋物 線的解析式為y=x2?1．
（2）解 得 或 ，
所以D的坐標(biāo)為（2，3）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及直線和拋物線的交點(diǎn)的求法．
22．根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式：
（1）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，?1），對(duì)稱軸是直線x=?1，且二次函數(shù)有最大值2．
（2）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（5 ，6），與x軸交于（?1，0），（2，0）兩點(diǎn)．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： （1）由題意二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為x=1，函數(shù)的最大值為?6，可設(shè)二次函數(shù)為：y=a（x+1）2+ 2，且函數(shù)過點(diǎn)（0，?1）代入函數(shù)的解析式求出a值，從而求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x?2）（x+1），然后把點(diǎn)（5，6）的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式；
解答： 解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為x=?1，函數(shù)的最大值為2，
∴可設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（x+1）2+2，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，?1），
∴a×1+2=?1，
∴a=?3，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=?3（x+1）2+2，
即y=?3x2?6x?1；
（2）∵二次函數(shù)的圖象交x軸于（?1，0）、（2，0），
∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x?2）（x+1）（a≠0）．
將x=5，y=6代入，得6=a（5?2）（5+1），
解得a= ，
∴拋物線的解析式為y= （x?2）（x+1），
即y= x2? x? ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時(shí)，注意合理利用拋物線解析式的三種形式．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)小正方形的邊長均為1，且正方形的邊與坐標(biāo)軸平行，邊DE落在x軸的正半軸上，邊AG落在y軸的正半軸上，A、B兩點(diǎn)在拋物線y= x2+bx+c上．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y= x2+bx+c的解析式；
（3）將正方形CDEF沿x軸向右平移，使點(diǎn)F落在拋物線y= x2+bx+c上，求平移的距離．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由圖中的三個(gè)小正方形的邊長為1，根據(jù)圖形可以知道B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，做那個(gè)坐標(biāo)為3，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)圖象求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把A、B的坐標(biāo)代入解析式，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出b、c的值，從而求出拋物線的解析式．
（3）實(shí)際上就是當(dāng)y=1時(shí)代入解析式就可以求出平移后點(diǎn)F′的橫坐標(biāo)，就可以求出E′點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)OE′?3就是平移的距離．
解答： 解：（1）由圖象，得B（1，3）．
（2）由題意，得A（0，2）
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴拋物線的解析式為： ．
（3）當(dāng)y=1時(shí)，
∴ 解得：
x= 或 （不符合題意應(yīng)舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距離為： ．
點(diǎn)評(píng)： 本題是一道二次函數(shù)綜合試題，考查了求點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平移的運(yùn)用等知識(shí)．
24如圖，已知二次函數(shù)y=? x2+ x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為�。�0，4） ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為�。�8，0）��；
（2）△ABC是直角三角形嗎？若是，請(qǐng)給予證明；
（3）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的 點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題；點(diǎn)的坐標(biāo)；二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點(diǎn)；三角形的面積；等腰三角形的判定．
分析： （1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)得出AB，BC，AC的長，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出即可；
（3）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此時(shí)A點(diǎn)符合E點(diǎn)的要求，即此時(shí)A、E重合；
②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E點(diǎn)橫坐標(biāo)為點(diǎn)D的橫坐標(biāo)加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
③CD =CE，此時(shí)CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）在二次函數(shù)中令x=0得y=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
令y=0得： ，
即：x2?6x?16=0，
∴x=?2和x=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（?2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）．
故答案為：A（0，4），C（8，0）；
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
∴AO=4，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（?2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC= =4 ，
∴AB= =2 ，
∴AB2+AC2=100，
∵BC2=1 00，
∴AB2+AC2= BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）易得D（3，0），CD=5，
設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：
，
解得 ；
∴y=? x+4；
①當(dāng)DE=DC時(shí)，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE= =4，
∴E1（0，4）；
②當(dāng)DE=EC時(shí)，可得出E點(diǎn)在CD的垂直平分線上，可得出E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3+ = ，
進(jìn)而將x= 代入y=? x+4，得出y= ，
可得E2（ ， ）；
③當(dāng)DC=EC時(shí)， 如圖，過點(diǎn)E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴ ，
即EG= ，CG=2 ，
∴E3（8?2 ， ）；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)：E1（0，4）、E2（ ， ）、E3（8?2 ， ）．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等腰三角形的構(gòu)成條件、圖形面積的求法等知識(shí)，（3） 題的解題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于理解題意．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chusan/340076.html
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