2013中考全國100份試卷分類匯編
正多邊形
1、（綿陽市2013年）如圖，要擰開一個邊長為a=6c的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（ C ）
A． B．12 C． D．
［解析］畫出正六邊形，如圖，通過計算 可知，ON＝3 ，N＝6 ，選C。
2、（2013•天津）正六邊形的邊心距與邊長之比為（ �。�
A． ：3B． ：2C．1：2D． ：2
考點：正多邊形和圓．
分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后設(shè)六邊形的邊長是a，由勾股定理即可求得OC的長，繼而求得答案．
解答：解：如圖：設(shè)六邊形的邊長是a，
則半徑長也是a；
經(jīng)過正六邊形的中心O作邊AB的垂線OC，
則AC= AB= a，
∴OC= = a，
∴正六邊形的邊心距與邊長之比為： a：a= ：2．
故選B．
點評：此題考查了正多邊形和圓的關(guān)系．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
3、（2013•自貢）如圖，點O是正六邊形的對稱中心，如果用一副三角板的角，借助點O（使該角的頂點落在點O處），把這個正六邊形的面積n等分，那么n的所有可能取值的個數(shù)是（ �。�
A．4B．5C．6D．7
考點：正多邊形和圓．
分析：根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即讓周角除以30的倍數(shù)就可以解決問題．
解答：解：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
因此n的所有可能的值共五種情況，
故選B．
點評：本題考查了正多邊形和圓，只需讓周角除以30°的倍數(shù)即可．
4、（2013•資陽）一個正多邊形的每個外角都等于36°，那么它是（ ）
A．正六邊形B．正八邊形C．正十邊形D．正十二邊形
考點：多邊形內(nèi)角與外角．
分析：利用多邊形的外角和360°，除以外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．
解答：解：360÷36=10．
故選C．
點評：本題考查了多邊形的外角和定理，理解任何多邊形的外角和都是360度是關(guān)鍵．
5、（2013•紹興）小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時，先做了如下幾個步驟：
（1）作⊙O的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點，如圖1；
（2）以為圓心，B長為半徑作圓弧，交CA于點D，連結(jié)BD，如圖2．若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長BD的等式是（ �。�
A．BD2= ODB．BD2= ODC．BD2= ODD．BD2= OD
考點：正多邊形和圓．
分析：首先連接B，根據(jù)題意得：OB=OA=1，AD⊥OB，B=D，然后由勾股定理可求得B與OD的長，繼而求得BD2的值．
解答：解：如圖2，連接B，
根據(jù)題意得：OB=OA=1，AD⊥OB，B=D，
∵OA的垂直平分線交OA于點，
∴O=A= OA= ，
∴B= = ，
∴D= ，
∴OD=D?O= ? = ，
∴BD2=OD2+OB2= = = OD．
故選C．
點評：此題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及分母有理化的知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6、（2013•濱州）若正方形的邊長為6，則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（ �。�
A．6， B． ，3C．6，3D． ，
考點：正多邊形和圓．
分析：由正方形的邊長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個直角三角形，從而求得它們的長度．
解答：解：∵正方形的邊長為6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO= =3
故選B．
點評：此題考查了正多邊形和圓，重點是了解有關(guān)概念并熟悉如何構(gòu)造特殊的直角三角形，比較重要．
7、（2013•呼和浩特）只用下列圖形中的一種，能夠進行平面鑲嵌的是（ �。�
A．正十邊形B．正八邊形C．正六邊形D．正五邊形
考點：平面鑲嵌（密鋪）．
分析：根據(jù)密鋪的知識，找到一個內(nèi)角能整除周角360°的正多邊形即可．
解答：解：A、正十邊形每個內(nèi)角是180°?360°÷10=144°，不能整除360°，不能單獨進行鑲嵌，不符合題意；
B、正八邊形每個內(nèi)角是180°?360°÷8=135°，不能整除360°，不能單獨進行鑲嵌，不符合題意；
C、正六邊形的每個內(nèi)角是120°，能整除360°，能整除360°，可以單獨進行鑲嵌，符合題意；
D、正五邊形每個內(nèi)角是180°?360°÷5=108°，不能整除360°，不能單獨進行鑲嵌，不符合題意；
故選：C．
點評：本題考查了平面密鋪的知識，注意幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．
8、（2013•咸寧）如圖，過正五邊形ABCDE的頂點A作直線l∥BE，則∠1的度數(shù)為（ �。�
A．30°B．36°C．38°D．45°
考點：平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角．
分析：首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計算公式計算出每一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出∠AEB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．
解答：解：∵ABCDE是正五邊形，
∴∠BAE=（5?2）×180°÷5=108°，
∴∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，
∵l∥BE，
∴∠1=36°，
故選：B．
點評：此題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和定理，以及三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n?2）．180° （n≥3）且n為整數(shù)）．
9、（2013•六盤水）下列圖形中，單獨選用一種圖形不能進行平面鑲嵌的是（ �。�
A．正三角形B．正六邊形C．正方形D．正五邊形
考點：平面鑲嵌（密鋪）．
分析：幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．360°為正多邊形一個內(nèi)角的整數(shù)倍才能單獨鑲嵌．
解答：解：A、正三角形的一個內(nèi)角度數(shù)為180?360÷3=60°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；
B、正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180?360÷6=120°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；
C、正方形的一個內(nèi)角度數(shù)為180?360÷4=90°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；
D、正五邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180?360÷5=108°，不是360°的約數(shù)，不能鑲嵌平面，符合題意．
故選：D．
點評：本題考查了平面密鋪的知識，注意掌握只用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案．
10、(2013年南京)△OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A、B與它的中心O為頂點的三角形。若△OAB的 一個內(nèi)角為70，則該正多邊形的邊數(shù)為 。
答案：9
解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，則∠BOA＝40°，邊數(shù)為： ＝9；
若∠BOA＝70°，則邊數(shù)為： 不可能，因此，邊數(shù)為9。
11、（2013•徐州）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，四邊形BCFG的面積為20c2，則正八邊形的面積為 40 c2．
考點：正多邊形和圓．
分析：根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出正八邊形每個內(nèi)角以及表示出四邊形ABGH面積進而求出答案即可．
解答：解：連接HE，AD，
在正八邊形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于點，AD⊥BG于點N，
∵正八邊形每個內(nèi)角為： =135°，
∴∠HG=45°，
∴H=G，
設(shè)H=G=x，
則HG=AH=AB=GF= x，
∴BG×GF=2（ +1）x2=20，
四邊形ABGH面積=（AH+BG）×H=（ +1）x2=10，
∴正八邊形的面積為：10×2+20=40（c2）．
故答案為：40．
點評：此題主要考查了正八邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出四邊形ABGH面積是解題關(guān)鍵．
12、（2013•內(nèi)江）如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2c，則正六邊形的中心O運動的路程為 4π c．
考點：正多邊形和圓；弧長的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：每次滾動正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)60°，然后計算出弧長，最后乘以六即可得到答案．
解答：解：根據(jù)題意得：每次滾動正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)60°，
正六邊形的中心O運動的路程∵正六邊形的邊長為2c，
∴運動的路徑為： = ；
∵從圖1運動到圖2共重復進行了六次上述的移動，
∴正六邊形的中心O運動的路程6× =4πc
故答案為4π．
點評：本題考查了正多邊形和圓的、弧長的計算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是弄清正六邊形的中心運動的路徑．
13、（2013福省福州4分、15）如圖，由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點．已知每個正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點都在格點上，則△ABC的面積是 ．
考點：正多邊形和圓．
分析：延長AB，然后作出C所在的直線，一定交于格點E，根據(jù)S△ABC=S△AEC?S△BEC即可求解．
解答：解：延長AB，然后作出C所在的直線，一定交于格點E．
正六邊形的邊長為1，則半徑是1，則CE=4，
相鄰的兩個頂點之間的距離是： ，則△BCE的邊EC上的高是： ，
△ACE邊EC上的高是： ，
則S△ABC=S△AEC?S△BEC=×4×（ ? ）=2 ．
故答案是：2 ．
點評：本題考查了正多邊形的計算，正確理解S△ABC=S△AEC?S△BEC是關(guān)鍵．
14、（2013福省福州4分、12）矩形的外角和等于 度．
考點：多邊形內(nèi)角與外角．
分析：根據(jù)多邊形的外角和定理解答即可．
解答：解：矩形的外角和等于360度．
故答案為：360．
點評：本題考查了多邊形的外角和，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．
15、（2013臺灣、31）如圖，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內(nèi)部找一點P，使得四邊形ABPE為平行四邊形，其作法如下：（甲） 連接BD、CE，兩線段相交于P點，則P即為所求
（乙） 先取CD的中點，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交A于P點，則P即為所求．
對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（ �。�
A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確
考點：平行四邊形的判定．
分析：求出五邊形的每個角的度數(shù)，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度數(shù)，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可．
解答：
解：甲正確，乙錯誤，
理由是：如圖，∵正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是 =108°，AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE= ×（180°?108°）=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°?36°=72°，
∴∠BPE=360°?108°?72°?72°=108°=∠A，
∴四邊形ABPE是平行四邊形，即甲正確；
∵∠BAE=108°，
∴∠BA=∠EA=54°，
∵AB=AE=AP，
∴∠ABP=∠APB= ×（180°?54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，
∴∠BPE=360°?108°?63°?63°≠108°，
即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四邊形ABPE不是平行四邊形，即乙錯誤；
故選C．
點評：本題考查了正五邊形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
16、（13年安徽省8分、18）我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖（1）所示基本圖的特征點，顯然這樣的基本圖共有7個特征點。將此基本圖不斷復制并平移，使得相鄰兩個基本圖的一邊重合，這樣得到圖（2）、圖（3），……。
（1）觀察以上圖形并完成下表：
圖形的名稱基本圖的個數(shù)特征點的個數(shù)
圖（1）17
圖（2）212
圖（3）317
圖（4）4
……
猜想：在圖（n）中，特征點的個數(shù)為 （用n表示）
（2）如圖，將圖（n）放在直角坐標系中，設(shè)其中第一個基本圖的對稱中心O1的坐標為（x1，2），則x1= ；圖（2013）的對稱中心的橫坐標為
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