2018-2019學(xué)年湖北省黃岡市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
2．（3分）下列關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（ �。�
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2?x+1=0 D．x2?x?1=0
3．（3分）如圖，⊙O的直徑AB= 4，點C在⊙O上，∠ABC=30°，則AC的長是（ �。�
A．1 B． C． D．2
4．（3分）已知x1，x2分別為方程2x2+4x?3=0的兩根，則x1+x2的值等于（ ）
A．2 B．?2 C． D．?
5．（3分）若b＜0，則二次函數(shù)y=x2+2bx?1的圖象的頂點在（ �。�
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k?2）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ �。�
A．k＜6 B．k≤6且k≠2 C．k＜6且k≠2 D．k＞6
7．（3分）P為⊙O內(nèi)一點，且OP=2，若⊙O的半徑為3，則過點P的最短的弦是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
8．（3分）當(dāng)k取任意實數(shù)時，拋物線y=?9（x?k）2?3k2的頂點所在的曲線的解析式是（ ）
A．y=3x2 B．y=9x2 C．y=?3x2 D．y=?9x2
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）若點（?m，n+3）與點（2，?2m）關(guān)于原點對稱，則m= ，n= �。�
10．（3分）如圖，已知平行四邊形ABCD的兩條對角線交于平面直角坐標(biāo)系的原點，點A的坐標(biāo)為（?3，4），則點C的坐標(biāo)為 �。�
11．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在拋物線y=x2?6x+17上運動，過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，則對角線BD的最小值為 �。�
12．（3分）如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠α=96°，那么∠A等于 ．
13．（3分）等腰三角形三邊長分別為a、b、2，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+n?1=0的兩根，則n的值為 �。�
14．（3分）已知拋物線y=2x2?x?7與x軸的一個交點為（m，0），則?8m2+4m?7的值為 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=62°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)是 �。�
16．（3分）已知A（m，n）、B（m+8，n）是拋物線y=?（x?h）2+2018上兩點，則n= �。�
三、解答題（每小題12分，共72分）
17．（12分）根據(jù)要求解方程
（1）x2+3x?4=0（公式法）；
（2）x2+4x?12=0（配方法）；
（3）（x+3）（x?1）=5；
（4）（x+4）2=5（x+4）．
18．（6分）如圖，射線AM交⊙O于點B、C，射線AN交⊙O于點D、E，且 = ，求證：AB=AD．
19．（7分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售量，增加利潤，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，那么商場平均每天可多售出2件，若商場想平均每天盈利達1200元，那么買件襯衫應(yīng)降價多少元？
20．（7分）已知⊙O的半徑為13，弦AB=24，弦CD=10，AB∥CD，求這兩條平行弦AB，CD之間的距離．
21．（8分） 如圖，臺風(fēng)中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風(fēng)移動的速度為50千米/時，受影響區(qū)域的半徑為260千米，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P480千米處．
（1）說明本次臺風(fēng)會影響B(tài)市； �。�2）求這次臺風(fēng)影響B(tài)市的時間．
22．（8分）若關(guān)于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0有實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1，x2是關(guān)于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=39，求k的值．
23．（12分）為了“創(chuàng)建文明城市，建設(shè)美麗家園”，我市某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1000m2的空地進行綠化，一部分種草，剩余部分栽花，設(shè)種草部分的面積為x（m2），種草所需費用y1（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為 ，其圖象如圖所示：栽花所需費用y2（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為y2=?0.01x2?20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）請直接寫出k1、k2和b的值；
（2）設(shè)這塊1000m2空地的綠化總費用為W（元），請利用W與x的 函數(shù)關(guān)系式，求出綠化總費用W的最大值；
（3）若種草部分的面積不少于700m2，栽花部分的面積不少于100m2，請求出綠化總費用W的最小值．
24．（12分）如圖，拋物線經(jīng)過A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2018-2019學(xué)年湖北省黃岡市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
故選：B．
2．（3分）下列關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（ �。�
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2?x+1=0 D．x2?x?1=0
【解答】解：A、這里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2?4ac=?4＜0，
∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；
B、這里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2?4ac=1?4=?3＜0，
∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；
C、這里a=1，b=?1，c=1，
∵△=b2?4ac=1?4=?3＜0，
∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；
D、這里a=1，b=?1，c=?1，
∵△=b2?4ac=1+4=5＞0，
∴方程有兩個不相等實數(shù)根，本選項符合題意；
故選D
3．（3分）如圖，⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，∠ABC=30°，則AC的長是（ �。�
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4；
∴AC= AB=2．
故選D．
4．（3分）已知x1，x2分別為方程2x2+4x?3=0的兩根，則x1+x2的值等于（ ）
A．2 B．?2 C． D．?
【解答】解 ：x1+x2=? =?2．
故選C．
5．（3分）若b＜0，則二次函數(shù)y=x2+2bx?1的圖象的頂點在（ �。�
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y=x2+2bx?1=（x+b）2?b2?1，
∴二次函數(shù)y=x2+2bx?1的圖象的頂點坐標(biāo)為（?b，?b2?1）．
∵b＜0，
∴?b＞0，?b2?1＜0，
∴當(dāng)b＜0時，二次函數(shù)y=x2+2bx?1的圖象的頂點在第四象限．
故選D．
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k?2）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ �。�
A．k＜6 B．k≤6且k≠2 C．k＜6且k≠2 D．k＞6
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k?2）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴ ，
解得：k＜6且k≠2．
故選C．
7．（3分）P為⊙O內(nèi)一點，且OP=2，若⊙O的半徑為3，則過點P的最短的弦是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【解答】解：
過P作弦AB⊥OP，則AB是過P點的最短弦，連接OB，
由勾股定理得：BP= = = ，
∵OP⊥AB，OP過圓心O，
∴AB=2BP=2 ，
故選D．
8．（3分）當(dāng)k取任意實數(shù)時，拋物線y=?9（x?k）2?3k2的頂點所在的曲線的解析式是（ ）
A．y=3x2 B．y=9x2 C．y=?3x2 D．y=?9x2
【解答】解：拋物線y=?9（x?k）2?3k2的頂點是（k，?3k2），
可知當(dāng)x=k時，y=?3k2，即y=?3x2，[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
所以（k，?3k2）在拋 物線y=?3x2的圖象上．
故選C．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）若點（?m，n+3）與點（2，?2m）關(guān)于原點對稱，則m= 2 ，n= 1�。�
【解答】解：∵點（?m，n+3）與點（2，?2m）關(guān)于原點對稱，
∴?m=?2，n+3=2m，
解得：m=2，n=1
故答案為：2，1．
10．（3分）如圖，已知平行四邊形ABCD的兩條對角線交于平面直角坐標(biāo)系的原點，點A的坐標(biāo)為（?3，4），則點C的坐標(biāo)為�。�3，?4）�。�
【解答】解：∵在平行四邊形ABCD中，A點與C點關(guān)于原點對稱，
∴C點坐標(biāo)為（3，?4）．
故答案為：（3，?4）．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
11．（3分）如圖 ，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在拋物線y=x2?6x+17上運動，過點A 作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，則對角線BD的最小值為 8 ．
【解答】解：∵y=x2?6x+17=（x?3）2+8，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，8）．
∴AC的最小值為8．
∴BD的最小值為8．
故答案為：8．
12．（3分）如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠α=96°，那么∠A等于 132°�。�
【解答】解：如圖所示：
∵∠α=96°，
∴∠D =48°．
∴∠A=180°?∠D=132°．
故答案為：132°．
13．（3分）等腰三角形三邊長分別為a、b、2，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+n?1=0的兩根，則n的值為 10�。�
【解答】解：當(dāng)a=2或b=2時，把x=2代入x2?6x+n?1=0得4?12+n?1=0，解得n=9，此時方程的根為2和4，而2+2=4，故舍去；
當(dāng)a=b時，△=（?6）2?4×（n?1）=0，解得n=10，
所以n為10．
故答案為10．
14．（3分）已知拋物線y=2x2?x?7與x軸的一個交點為（m，0），則?8m2+4m?7的值為 ?35�。�
【解答】解：把（m，0）代入拋物線解析式得：2m2?m?7=0，即2m2?m=7，
則原式=?4（2m2?m）?7=?28?7=?35，
故答案為：?35
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=62°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)是 121°�。�
【解答】解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，
∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= （180°?∠A）= （180°?62°）=59°，
∴∠BOC=180°?（∠1+∠3）=180°?59°=121°．
故答案是：121°．
16．（3分）已知A（m，n）、B（m+8，n）是拋物線y=?（x?h）2+2018上兩點，則n= 2002 ．
【解答】解：∵A（m，n）、B（m+8，n）是拋物線y=?（x?h）2+2018上兩點，
∴A（h?4，0），B（h+4，0），
當(dāng)x=h+4時，n=?（h+4?h）2+2018=2002，
故答案為2002．
三、解答題（每小題12分，共72分）
17．（12分）根據(jù)要求解方程
（1）x2+3x?4=0（公式法）；
（2）x2+4x?12=0（配方法）；
（3）（x+3）（x?1）=5；
（4）（x+4）2=5（x+4）．
【解答】解：（1）x2+3x?4=0，
△=32?4×1×（?4）=25＞0，
則x= ，
解得x1=?4，x2=1；
（2）x2+4x?12=0，
x2+4x=12，
（x+2）2=16，
x+2=±4，
解得x1=?6，x2=2；
（3）（x+3）（x?1）=5，
x2+2x?3=5，
x2+2x?8=0，
（x+4）（x?2）=0，
解得x1=?4，x2=2；
（4）（x+4）2=5（x+4），
（x+4）2?5（x+4）=0，
（x+4?5）（x+4）=0，
（x?1）（x+4）=0，
解得x1=1，x2=?4．
18．（6分）如圖，射線AM交⊙O于點B、C，射線AN交⊙O于點D、E，且 = ，求證：AB=AD．
【解答】證明：連BD、CE．
∵ = ，
∴ + = ，∴ = ，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵ = ，
∴BC=DE．
∴AC?BC=AE?DE，
即AB=AD．
19．（7分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售量，增加利潤，盡快減少庫 存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，那么商場平均每天可多售出2件，若商場想平均每天盈利達1200元，那么買件襯衫應(yīng)降價多少元？
【解答】解：設(shè)買件襯衫應(yīng)降價x元，
由題意得：（40?x）（20+2x）=1200，
即2x2?60x+400=0，
∴x2?30x+200=0，
∴（x?10）（x?20）=0，
解得：x=10或x=20
為了減少庫存，所以x=20．
故買件襯衫應(yīng)應(yīng)降價20元．
20．（7分）已知⊙O的半徑為13，弦AB=24，弦CD=10，AB∥CD，求這兩條平行弦AB，CD之間的距離．
【解答】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖1，
∵AB=24，CD=10，
∴AE=12，CF=5，
∵OA=OC=13，
∴EO=5，OF=12，
∴EF=12?5=7；
②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖2，
∵AB=24，CD=10，
∴AE=12，CF=5，
∵OA=OC=13，
∴EO=5，OF=12，
∴EF=OF+OE=17．
∴AB與CD之間的距離為7或17．
21．（8分）如圖，臺風(fēng)中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風(fēng)移動的速度為50千米/時，受影響區(qū)域的半徑為260千米，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P480千米處．
（1）說明本次臺風(fēng)會影響B(tài)市； �。�2）求這次臺風(fēng)影響B(tài)市的時間．
【解答】解：（1）作BH⊥PQ于點H．
在Rt△BHP中，[來源:Zxxk.Com]
由條件知，PB=480，∠BPQ=75°?45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260 ，
∴本次臺風(fēng)會影響B(tài)市．
（2）如圖，以點B為圓心，以260為半徑作圓交PQ于P1，P2，
若臺風(fēng)中心移動到P1時，臺風(fēng)開始影響B(tài)市，臺風(fēng)中心移動到P2時，臺風(fēng)影響結(jié)束．
由（1）得BH=240，由條件得BP1=BP2=260，
∴P1P2=2 =200，
∴臺風(fēng)影響的時間t= =4（小時）．
故B市受臺風(fēng)影響的時間為4小時．
22．（8分）若關(guān)于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0有實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1，x2是關(guān)于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=39，求k的值．
【解答】解：
（1）∵關(guān)于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0有實數(shù)根，
∴△≥0，即[?（2k+1）]2?4×1×（k2+5k+9）≥0，
解得k≤? ；
（2）根據(jù)題意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴（x1+x2）2?2x1x2=39，
∴（2k+1）2?2（k2+5k+9）=39，解得k=7或k=?4，
∵k≤? ，
∴k=?4．
23．（12分）為了“創(chuàng)建文明城市，建設(shè)美麗家園”，我市某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1000m2的空地進行綠化，一部分種草，剩余部分栽花，設(shè)種草部分的面積為x（m2），種草所需費用y1（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為 ，其圖象如圖所示：栽花所需費用y2（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為y2=?0.01x2?20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）請直接寫出k1、k2和b的值；
（2）設(shè)這塊1000m2空地的綠化總費用為W（元），請利用W與x的函數(shù)關(guān)系式，求出綠化總費用W的最大值；[來源:學(xué)科網(wǎng)]
（3）若種草部分的面積不少于700m2，栽花部分的面積不少于100m2，請求出綠化總費用W的最小值．
【解答】解：（1）將x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
將x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得： ，
解得： ；
（2）當(dāng)0≤x＜600時，
W=30x+（?0.01x2?20x+30000）=?0.01x2+10x+30000，
∵?0.01＜0，W=?0.01（x?500）2+32500，
∴當(dāng)x=500時，W取得最大值為32500元；
當(dāng)600≤x≤1000時，
W=20x+6000+（?0.01x2?20x+30000）= ?0.01x2+36000，
∵?0.01＜0，
∴當(dāng)600≤x≤1000時，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=600時，W取 最大值為32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值為32500元；
（3）由題意得：1000?x≥100，解得：x≤900，
由x ≥700，
則700≤x≤900，
∵當(dāng)700≤x≤900時，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=900時，W取得最小值27900元．
24．（12分）如圖，拋物線經(jīng)過A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三點在拋物線上，
∴ ，
解得 ．
∴拋物線的解析式為：y= x2?2x? ；
（2）∵拋物線的解析式為：y= x2?2x? ，
∴其對稱軸為直線x=? =? =2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，? ），
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直線BC的解析式為y= x? ，
當(dāng)x=2時，y=1? =? ，
∴P（2，? ）；
（3）存在．[來源:學(xué)科網(wǎng)]
如圖2所示，
①當(dāng)點N在x軸下方時，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，? ），
∴N1（4，? ）；
②當(dāng)點N在x軸上方時，
如圖，過點N2作N2D⊥x軸于點D，
在△AN2D與△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC= ，即N2點的縱坐標(biāo)為 ．
∴ x2?2x? = ，
解得x=2+ 或x=2? ，
∴N2（2+ ， ），N3（2? ， ）；
當(dāng)AC為對角線時，N4（4，? ）．
綜上所述，符合條件的點N的坐標(biāo)為（4，? ），（2+ ， ）或（2? ， ）．
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