19.3.1正方形的判定
一．選擇題（共8小題）
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）
A．選①② B．選②③ C．選①③ D．選②④
2．下列說法中，正確的是（ �。�
A．相等的角一定是對頂角
B．四個角都相等的四邊形一定是正方形
C．平行四邊形的對角線互相平分
D．矩形的對角線一定垂直
3．下列命題中是假命題的是（ �。�
A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形
C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．一組鄰邊相等的矩形是正方形
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（ �。�
①當(dāng)AB=BC時，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形；③當(dāng)∠ABC=90°時，它是矩形；④當(dāng)AC=BD時，它是正方形．
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
5．四邊形ABCD的對角線AC=BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（ �。�
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四邊形
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進一步證明（ �。�
A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分
7．下列命題中，真命題是（ ）
A．對角線相等的四邊形是矩形
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（ �。�
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
二．填空題（共6小題）
9．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是 _________�。ㄌ钌弦粋�符合題目要求的條 件即可）．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當(dāng)△ABC滿足條件 _________ 時，四邊形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求的條件）
11．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件： _________ ，使得該菱形為正方形．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是 _________ ．
13．已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 _________�。�
14．要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為 _________�。�
三．解答題（共8小題）
15．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點 E，DF⊥BC于點F．求證：四邊形DEBF是正方形．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．
18．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．
19．如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當(dāng)CD的值為 _________ 時，四邊形DECF是正方形．
20．如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．
21．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE _________ 是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）
22．已知：如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥AC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應(yīng)該滿足條件： _________ ，就能使矩形AECF變?yōu)檎叫危ㄖ苯犹砑訔l件，無需證明）
19.3.1正方形的判定
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（ �。�
A． 選①② B．選②③ C．選①③ D． 選②④
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
分析： 要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形．
解答： 解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；
B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；
C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；
D、由②得有一個角是直角的 平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意．
故選：B．
點評： 本題考查了正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．
2．下列說法中，正確的是（ �。�
A． 相等的角一定是對頂角
B． 四個角都相等的四邊形一定是正方形
C． 平行四邊形的對角線互相平分
D． 矩形的對角線一定垂直
考點： 正方形的判定；對頂角、鄰補角；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)對各選項分析判斷利用排除法求解．
解答： 解：A、相等的角一定是對頂角錯誤，例如，角平分線分成的兩個角相等，但不是對頂角，故本選項錯誤；
B、四個角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項錯誤；
C、平行四邊形的對角線互相平分正確，故本選項正確；
D、矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故本選項錯誤．
故選：C．
點評： 本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，對頂角的定義，熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．下列命題中是假命題的是（ ）
A． 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B． 一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形
C． 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D． 一組鄰邊相等的矩形是正方 形
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
專題： 證明題．
分析： 做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答．
解答： 解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（平行四邊形判定定理）；正確．
B、一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，錯誤．
C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確；
D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確．
故選B．
點評： 本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細(xì)心．
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（ �。�
①當(dāng)AB=BC時，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形；③當(dāng)∠ABC=90°時，它是矩形；④當(dāng)AC=BD時，它是正方形．
A． 1組 B．2組 C．3組 D． 4組
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定．
分析： 根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷①正確；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷②正確；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷③正確；根據(jù)
對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出④錯誤．
解答： 解：①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=BC時，它是菱形正確；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形，故②正確；
③根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知③正確；
④根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故④錯誤；
故不正確的有1個．
故選：A．
點評： 此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握三種特殊平行四邊形的判定定理．
5．四邊形ABCD的對角線AC=BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（ �。�
A． 正方形 B．菱形 C．矩形 D． 任意四邊形
考點： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，進而判斷即可．
解答： 證明：如圖所示：
∵分別過A、B、C、D作對角線的平行線，
∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，
∵對角線AC=BD，AC⊥BD，
∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，
∴四邊形EFMN是正方形．
故選：A．
點評： 此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握正方形的判定定理是解題關(guān)鍵．
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進一步證明（ �。�
A． AB=AD且AC⊥BD B． AB=AD且AC=BD C． ∠A=∠B且AC=BD D． AC和BD互相垂直平分
考點： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)正方形的判定對各個選項進行分析從而得到最后的答案．
解答： 解：A、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；
B、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；
C、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形；
D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形ABCD是正方形．
故選B．
點評： 本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．
7．下列命題中，真命題是（ �。�
A． 對角線相等的四邊形是矩形
B． 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C． 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D． 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命題與定理．
分析： A、根據(jù)矩形的定義作出判斷；
B、根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；
C、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；
D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．
解答： 解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；
C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；
D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤；
故選C．
點評： 本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系．
8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四 邊形BECF為正方形的是（ �。�
A． BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D． AC=BF
考點： 正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC進而得 出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進而分別分析得出即可．
解答： 解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形；
當(dāng)BC=AC時，
∵∠ACB=90°，
則∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故選項A正確，但不符合題意；
當(dāng)CF⊥BF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意；
當(dāng)BD=DF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C正確，但不符合題意；
當(dāng)AC=BF時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D錯誤，符合題意．
故選：D．
點評： 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定等知識，熟練掌握正方形的相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題）
9．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是 AC=BD且AC⊥BD （填上一個符合題目要求的條件即可）．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結(jié)合體是正方形．
解答： 解：可添加對角線相等且對角線垂直或?qū)蔷�相等，且一組鄰邊相等；或?qū)蔷�垂直，有一個內(nèi)角是90°．答案不唯一，此處填：AC=BD且AC⊥BD．
點評： 本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結(jié)合．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當(dāng)△ABC滿足條件 AC=BC 時，四邊形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求的條件）
考點： 正方形的判定．
專題： 計算題；開放型．
分析： 由已知可得四邊形的四個角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件．此題可從四邊形DECF是正方形推出．
解答： 解：設(shè)AC=BC，即△ABC為等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF= AC=CE，
DE= BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四邊形DECF是正方形，
故答案為：AC=BC．
點評： 此題考查的知識點是正方形的判定，解題的關(guān)鍵是可從四邊形DECF是正方形推出△ABC滿足的條件．
11．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件： AC=BD或AB⊥BC ，使得該菱形為正方形．
考點： 正方形的判定；菱形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正方形判定定理進行分析．
解答： 解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的條件為：AC=BD或AB⊥BC．
點評： 本題答案不唯一，根據(jù)菱形與正方形的關(guān)系求解．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是 AC=BD或AB⊥BC�。�
考點： 正方形的判定；菱形的判定．
專題： 開放型．
分析： 根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解答： 解：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四邊形ABCD是菱形
∴要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是：AC=BD或AB⊥BC．
點評： 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個角是直角的菱形是正方形．
13．已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 AB=AD或AC⊥BD等�。�
考點： 正方形的判定；矩形的判定與性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 由已知可得四邊形ABCD是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷�互相垂直的矩形是正方形添加條件．
解答： 解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四邊形ABCD是矩形，根據(jù)根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷�互相垂直的矩形是正方形，得到應(yīng)該添加的條件為：AB=AD或AC⊥BD等．
故答案為：AB=AD或AC⊥BD等．
點評： 本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．
14．要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為 有一個角是直角或?qū)蔷�相等�。�
考點： 正方形的判定；菱形的性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定進行分析，從而得到最后答案．
解答： 解：要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為：有一個角是直角或?qū)蔷�相等．
點評： 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理：
（1）有一個角是直角的菱形是正方形；
（2）對角線相等的菱形是正方形．
三．解答題（共8小題）
15．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F．求證：四邊形DEBF是正方形．
考點： 正方形的判定．
專題： 證明題．
分析： 由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先證明四邊形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F得出DE=DF判定四邊形DEBF是正方形．
解答： 解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形BEDF為矩形，
∵BD是∠ABC的平分線，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF為正方形．
點評： 本題考查正方形的判定、角平分線 的性質(zhì)和矩形的判定．要注意判定一個四邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
考點： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
解答： 證明：（1）∵對角線BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四邊形MPND是正方形．
點評： 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．
解答： （1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD，
∴四邊形BECD是菱形；
（3）當(dāng)∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D為BA中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴四邊形BECD是正方形，
即當(dāng)∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．
點評： 本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．
18．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定．
分析： （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四邊形ADCF是矩形．進而求出CD=AD即可得出答案．
解答： （1）證明：∵△CFE是由△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到，
∴點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，
且AE=CE，DE=FE，
故四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）解：當(dāng)∠ACB=90°，AC=BC時，四邊形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，
∴四邊形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴ ，
故四邊形ADCF是正方形．
點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形ADCF是矩形是解題關(guān)鍵．
19．如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧 交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D 、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當(dāng)CD的值為 1 時，四邊形DECF是正方形．
考點： 正方形的判定；全等三角形的判定．
分析： （1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CA=CB，AD=BD，由等邊對等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可證明△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當(dāng)CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，則∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE，從而得出矩形DECF是正方形．
解答： （1）證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，
∵C是直線MN上任意一點，MN交AB于點D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED與△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS）；
（2）解：若AB=2，當(dāng)CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD= AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴ △ACD與△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，∠CDE=90°?45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案為1．
點評： 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．
20．如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．
考點： 正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)AB是CD的垂直平分線，得到AC=AD，然后利用三線合一的性質(zhì)得到∠CAB= ∠DAB即可；
（2）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得ME=MF，利用鄰邊相等的矩形AEMF是正方形進行判定即可．
解答： （1）證明：∵AB是CD的垂直平分線，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三線合一）；
（2）證明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四邊形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
點評： 本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)的知識，綜合性較強，難度不大．
21．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE 不可能 是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）
考點： 正方形的判定；菱形的判定．
分析： （1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O(shè)為AC的中點，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時，可滿足其為正方形；
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．
解答： 解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）當(dāng)點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如圖，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= （∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
故答案為不可能．
點評： 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
22．已知：如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥AC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩 形？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應(yīng)該滿足條件： ∠ACB為直角的直角三角形 ，就能使矩形AECF變?yōu)檎叫危ㄖ苯犹砑訔l件，無需證明）
考點： 正方形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．
分析： （1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結(jié)論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．
解答： （1）證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠ECF= ×180°=90°；
（2）解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；
又∵當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
故答案為：∠ACB為直角的直角三角形．
點評： 此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識．解題的關(guān)鍵是由已知得出EO=FO，確定（2）（3）的條件．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chuer/258261.html
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