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笛卡爾的故事

笛卡爾（René Descartes），17 世紀著名的法國哲學(xué)家，曾經(jīng)提出“我思故我在”的哲學(xué)觀點，有著“現(xiàn)代哲學(xué)之父”的稱號。笛卡爾對數(shù)學(xué)的貢獻也是功不可沒，中學(xué)時大家學(xué)到的平面直角坐標系就被稱為“笛卡爾坐標系”。

傳聞，笛卡爾曾流落到瑞典，邂逅美麗的瑞典公主克里斯蒂娜（Christina）。笛卡爾發(fā)現(xiàn)克里斯蒂娜公主聰明伶俐，便做起了 公主的數(shù)學(xué)老師， 于是兩人完全沉浸在了數(shù)學(xué)的世界中。國王知道了這件事后，認為笛卡爾配不上自己的女兒，不但強行拆散他們，還沒收了之后笛卡爾寫給公主的所有信件。后來，笛卡爾染上黑死病，在臨死前給公主寄去了最后一封信，信中只有一行字：r=a(1-sinθ)。

自然，國王和大臣們都看不懂這是什么意思，只好交還給公主。公主在紙上建立了極坐標系，用筆在上面描下方程的點，終于解開了這行字的秘密——這就是美麗的心形線�？磥�，數(shù)學(xué)家也有自己的浪漫方式啊。


a=1時的心形線

事實上，笛卡爾和克里斯蒂娜的確有過交情。不過，笛卡爾是 1649 年 10 月 4 日應(yīng)克里斯蒂娜邀請才來到的瑞典，并且當時克里斯蒂娜已經(jīng)成為了瑞典女王。并且，笛卡爾與克里斯蒂娜談?wù)摰闹饕�是哲學(xué)問題。有資料記載，由于克里斯蒂娜女王時間安排很緊，笛卡爾只能在早晨五點與她探討哲學(xué)。天氣寒冷加上過度操勞讓笛卡爾不幸患上肺炎，這才是笛卡爾真正的死因。

心形線的故事究竟幾分是真幾分是假，還是留給大家自己判斷吧。

伽羅瓦的故事

伽羅瓦（évariste Galois），19 世紀最偉大的法國數(shù)學(xué)家之一，唯一被我稱為“天才數(shù)學(xué)家”的人。他 16 歲時就參加了巴黎綜合理工學(xué)院的入學(xué)考試，結(jié)果面試時因為解題步驟跳躍太大，搞得考官們不知所云，最后沒能通過考試。

在數(shù)學(xué)歷史上，伽羅瓦毫無疑問是最富傳奇色彩與浪漫色彩的數(shù)學(xué)家，沒有“之一”。18 歲時，伽羅瓦漂亮地解決了當時數(shù)學(xué)界的頂級難題：為什么五次及五次以上的多項式方程沒有一般的解。他把這一研究成果提交給了法國科學(xué)院，由大數(shù)學(xué)家柯西 （Augustin-Louis Cauchy）負責(zé)審稿；然而，柯西建議他回去仔細潤色一下（此前一直認為柯西把論文弄丟了或者私藏起來，最近的法國科學(xué)院檔案研究才讓柯西平反昭雪）。后來伽羅瓦又把論文交給了科學(xué)院秘書傅立葉（Joseph Fourier），但沒過幾天傅立葉就去世了，于是論文被搞丟了。1831年伽羅瓦第三次投稿，當時的審稿人是泊松，他認為伽羅瓦的論文很難理解，于是拒絕發(fā)表。


因為一些極端的政治行動，伽羅瓦被捕入獄。即使在監(jiān)獄里，他也不斷地發(fā)展自己的數(shù)學(xué)理論。他在獄中結(jié)識了一名醫(yī)生的女兒，并很快墜入愛河；但好景不長，兩人的感情很快破裂。出獄后的第二個月，伽羅瓦決定替自己心愛的女孩與女孩的一個政敵進行決斗，不幸中槍，第二天便在醫(yī)院里死亡。伽羅瓦死前的最后一句話是對他的哥哥艾爾弗雷德（Alfred）說的：“不要哭，我需要足夠的勇氣在 20 歲死去�！�

仿佛是預(yù)感到了自己的死亡，在決斗的前一夜，伽羅瓦通宵達旦奮筆疾書寫下了自己所有的數(shù)學(xué)思想，并把它們和三篇論文手稿一同交給 了他的好友謝瓦利埃（Chevalier）。在信的末尾，伽羅瓦留下遺囑，希望謝瓦利埃能把論文手稿交給當時德國的兩位大數(shù)學(xué)家雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）和高斯（Carl Friedrich Gauss），讓他們就這些數(shù)學(xué)定理公開發(fā)表意見，以便讓更多的人意識到這個數(shù)學(xué)理論的重要性。

謝瓦利埃遵照伽羅瓦的遺愿，將論文手稿寄給了雅可比和高斯，不過都沒有收到回音。直到 1843 年，數(shù)學(xué)家劉維爾（Joseph Liouville）才肯定了伽羅瓦的研究成果，并把它們發(fā)表在了他自己主辦的《純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上。人們把伽羅瓦的整套數(shù)學(xué)思想總結(jié)為了“伽羅瓦理論”。伽羅瓦用群論的方法對代數(shù)方程的解的結(jié)構(gòu)做出了獨到的分析，多項式方程的 根、尺規(guī)作圖的不可能性等一系列代數(shù)方程求解問題都可以用伽羅瓦理論得到一個簡潔而完美的解答。伽羅瓦理論對今后代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了決定性的作用。

塞凱賴什夫婦的故事

1933 年，匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·塞凱賴什（George Szekeres）還只有 22 歲。那時，他常常和朋友們在匈牙利的首都布達佩斯討論數(shù)學(xué)。這群人里面還有同樣生于匈牙利的數(shù)學(xué)怪才——保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）大神。不過當時，埃爾德什只有 20 歲。

在一次數(shù)學(xué)聚會上，一位叫做愛絲特·克萊恩（Esther Klein）的美女同學(xué)提出了這么一個結(jié)論：在平面上隨便畫五個點（其中任意三點不共線），那么一定有四個點，它們構(gòu)成一個凸四邊形。塞凱賴什和埃爾德什等人想了好一會兒，沒想到該怎么證明。于是，美女同學(xué)得意地宣布了她的證明：這五個點的凸包（覆蓋整個點集的最小凸多邊形）只可能是五邊形、四邊形和三角形。前兩種情況都已經(jīng)不用再討論了，而對于第三種情況，把三角形內(nèi)的兩個點連成一條直線，則三角形的三個頂點中一定有兩個頂點在這條直線的同一側(cè)，這四個點便構(gòu)成了一個凸四邊形。


平面上五個點的位置有三種情況

眾人大呼精彩。之后，埃爾德什和塞凱賴什仍然對這個問題念念不忘，于是嘗試對其進行推廣。最終，他們于 1935 年發(fā)表論文，成功地證明了一個更強的結(jié)論：對于任意一個正整數(shù) n ≥ 3，總存在一個正整數(shù) m，使得只要平面上的點有 m 個（并且任意三點不共線），那么一定能從中找到一個凸 n 邊形。埃爾德什把這個問題命名為了“幸福結(jié)局問題”（Happy Ending problem），因為這個問題讓喬治·塞凱賴什和美女同學(xué)愛絲特·克萊恩之間迸出了火花，兩人越走越近，最終在 1937 年 6 月 13 日結(jié)了婚。

對于一個給定的 n ，不妨把最少需要的點數(shù)記作 f(n)。求出 f(n) 的準確值是一個不小的挑戰(zhàn)。由于平面上任意不共線三點都能確定一個三角形，因此 f(3) = 3 。愛絲特·克萊恩的結(jié)論則可以簡單地表示為 f(4) = 5 。利用一些稍顯復(fù)雜的方法，我們可以證明 f(5) 等于 9 。2006 年，利用計算機的幫助，人們終于證明了 f(6) = 17。對于更大的 n，f(n) 的值分別是多少？ f(n) 有沒有一個準確的表達式呢？這是數(shù)學(xué)中懸而未解的難題之一。幾十年過去了，幸福結(jié)局問題依舊活躍在數(shù)學(xué)界中。

不管怎樣，最后的結(jié)局真的很幸福。結(jié)婚后的近 70 年里，他們先后到過上海和阿德萊德，最終在悉尼定居，期間從未分開過。 2005 年 8 月 28 日，喬治和愛絲特相繼離開人世，相差不到一個小時。


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