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高考在即，考生們都在緊張備考，關(guān)于數(shù)學(xué)，小編為大家精心準(zhǔn)備了高考數(shù)學(xué)數(shù)列題型精編匯總，供大家參考學(xué)習(xí)，希望對(duì)大家有所幫助!

題型一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1 已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105，且a10=2a5.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.

破題切入點(diǎn) (1)由已知列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解得a1和d，從而求出an.

(2)求出bm，再根據(jù)其特征選用求和方法.

解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Tn，

由T5=105，a10=2a5，

得5a1+5×(5-1)2d=105，a1+9d=2(a1+4d)，

解得a1=7，d=7.

因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).

(2)對(duì)m∈N*，若an=7n≤72m，則n≤72m-1.

因此bm=72m-1.

所以數(shù)列{bm}是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列，

故Sm=b1(1-qm)1-q=7×(1-49m)1-49=7×(72m-1)48

=72m+1-748.

題型二 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

例2 (1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，前20項(xiàng)和為100，則a7a14的最大值是()

A.25B.50C.100D.不存在

(2)在等差數(shù)列{an}中，a1=-，其前n項(xiàng)和為Sn，若S1212-S1010=2，則S的值為()

A.-2011B.-C.-2010D.-

破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a7+a14=a1+a20，S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14，然后利用基本不等式.

(2)等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，則Snn也成等差數(shù)列.

答案 (1)A (2)D

解析 (1)∵S20=a1+a202×20=100，∴a1+a20=10.

∵a1+a20=a7+a14，∴a7+a14=10.

∵an0，∴a7a14≤a7+a1422=25.

當(dāng)且僅當(dāng)a7=a14時(shí)取等號(hào).

故a7a14的最大值為25.

(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列Snn也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)S11=a1=-，公差d=1，故S=-+(-1)×1=-1，所以S=-.

題型三 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足條件2Sn=3(an-1)，其中n∈N*.

(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=log3an，若cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

破題切入點(diǎn) (1)利用an=Sn-Sn-1求出an與an-1之間的關(guān)系，進(jìn)而用定義證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

(2)由(1)的結(jié)論得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，求出cn的表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法求和.

(1)證明 由題意得an=Sn-Sn-1=32(an-an-1)(n≥2)，

∴an=3an-1，∴anan-1=3(n≥2)，

又S1=32(a1-1)=a1，解得a1=3，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.

(2)解 由(1)得an=3n，則bn=log3an=log33n=n，

∴cn=anbn=n3n，

設(shè)Tn=131+232+333+…+(n-1)3n-1+n3n，

3Tn=132+233+334+…+(n-1)3n+n3n+1.

∴-2Tn=31+32+33+…+3n-n3n+1

=3(1-3n)1-3-n3n+1，

∴Tn=(2n-1)3n+1+34.

總結(jié)提高 (1)關(guān)于等差、等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，一般是已知數(shù)列類型，根據(jù)條件，設(shè)出a1，an，Sn，n，d(q)五個(gè)量的三個(gè)，知三求二，完全破解.

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有很多相似的性質(zhì)，可以通過(guò)類比去發(fā)現(xiàn)、挖掘.

(3)等差、等比數(shù)列的判斷一般是利用定義，在證明等比數(shù)列時(shí)注意證明首項(xiàng)a1≠0，利用等比數(shù)列求和時(shí)注意公比q是否為1.

1.已知{an}為等差數(shù)列，其公差為-2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為()

A.-110B.-90

C.90D.110

答案 D

解析 ∵a3=a1+2d=a1-4，a7=a1+6d=a1-12，a9=a1+8d=a1-16，

又∵a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，

∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16)，

解得a1=20.

∴S10=10×20+12×10×9×(-2)=110.

2.(課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于()

A.n(n+1) B.n(n-1)

C.n(n+1)2D.n(n-1)2

答案 A

解析 由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a24=a2a8，

即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，

∴a1=2.

∴Sn=2n+n(n-1)2×2

=2n+n2-n=n(n+1).

3.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2S4=S5+S6，則數(shù)列{an}的公比q的值為()

A.-2或1B.-1或2

C.-2D.1

答案 C

解析 方法一 若q=1，

則S4=4a1，S5=5a1，S6=6a1，

顯然不滿足2S4=S5+S6，

故A、D錯(cuò).

若q=-1，則S4=S6=0，S5=a5≠0，

不滿足條件，故B錯(cuò)，因此選C.

方法二 經(jīng)檢驗(yàn)q=1不適合，

則由2S4=S5+S6，

得2(1-q4)=1-q5+1-q6，化簡(jiǎn)得

q2+q-2=0，解得q=1(舍去)，q=-2.

4.(大綱全國(guó))等比數(shù)列{an}中，a4=2，a5=5，則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和等于()

A.6B.5C.4D.3

答案 C

解析 數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和S8=lga1+lga2+…+lga8

=lg(a1a2…a8)=lg(a1a8)4

=lg(a4a5)4=lg(2×5)4=4.

5.(大綱全國(guó))設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=3，S4=15，則S6等于()

A.31B.32C.63D.64

答案 C

解析 在等比數(shù)列{an}中，S2、S4-S2、S6-S4也成等比數(shù)列，

故(S4-S2)2=S2(S6-S4)，

則(15-3)2=3(S6-15)，

解得S6=63.

6.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且AnBn=7n+45n+3，則使得anbn為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

答案 D

解析 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，

可得anbn=12(a1+a2n-1)12(b1+b2n-1)

=12(2n-1)(a1+a2n-1)12(2n-1)(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1

=7(2n-1)+45(2n-1)+3=14n+382n+2

=7n+19n+1=7+12n+1 (n∈N*)，

故n=1,2,3,5,11時(shí)，anbn為整數(shù).

即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.

7.(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=23an+13，則{an}的通項(xiàng)公式是an=________.

答案 (-2)n-1

解析 當(dāng)n=1時(shí)，a1=1;

當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，

故anan-1=-2，故an=(-2)n-1.

8.(江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，則a6的值是________.

答案 4

解析 因?yàn)閍8=a2q6，a6=a2q4，a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0，解得q2=2，a6=a2q4=1×22=4.

9.(安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=________.

答案 1

解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

則a3=a1+2d，a5=a1+4d，

∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1，

∴q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=1.

10.在數(shù)列{an}中，如果對(duì)任意n∈N*都有an+2-an+1an+1-an=k(k為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為等差比數(shù)列，k稱為公差比.現(xiàn)給出下列問題：

①等差比數(shù)列的公差比一定不為零;

②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;

③若an=-3n+2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列;

④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比.

其中正確命題的序號(hào)為________.

答案 ①③④

解析 若k=0，{an}為常數(shù)列，分母無(wú)意義，①正確;公差為零的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，②錯(cuò)誤;an+2-an+1an+1-an=3，滿足定義，③正確;設(shè)an=a1qn-1(q≠0)，則an+2-an+1an+1-an=a1qn+1-a1qna1qn-a1qn-1=q，④正確.

11.(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{an2n}的前n項(xiàng)和.

解 (1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3，

由題意得a2=2，a4=3.

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4-a2=2d，

故d=12，從而a1=32.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=12n+1.

(2)設(shè){an2n}的前n項(xiàng)和為Sn.

由(1)知an2n=n+22n+1，則

Sn=322+423+…+n+12n+n+22n+1，

12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2.

兩式相減得

12Sn=34+(123+…+12n+1)-n+22n+2

=34+14(1-12n-1)-n+22n+2.

所以Sn=2-n+42n+1.

12.(北京)已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，數(shù)列{bn}滿足b1=4，b4=20，且{bn-an}為等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得

d=a4-a13=12-33=3，

所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，…).

設(shè)等比數(shù)列{bn-an}的公比為q，由題意得

q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2.

所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.

從而bn=3n+2n-1(n=1,2，…).

(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，…).

數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為32n(n+1)，

數(shù)列{2n-1}的前n項(xiàng)和為1-2n1-2=2n-1.

所以，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為32n(n+1)+2n-1.

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