作者：李樹臣
全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)在“基本理念”中，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須……向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們……獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”．在“設(shè)計(jì)思路”中，不僅使用了“了解(認(rèn)識(shí))、理解、掌握、靈活運(yùn)用”等刻畫知識(shí)技能的目標(biāo)動(dòng)詞，而且使用了“經(jīng)歷(感受)、體驗(yàn)(體會(huì))、探索”等刻畫數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的過(guò)程性目標(biāo)動(dòng)詞．這些“動(dòng)向”表明，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)過(guò)程化．所謂數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程化，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程．為此，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程、運(yùn)算法則及定律的歸納過(guò)程、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、解(證)數(shù)學(xué)題目時(shí)思路的分析過(guò)程等充分“暴露”給學(xué)生，以避免教學(xué)中過(guò)于注重結(jié)果的傾向．只有這樣，才能真正使學(xué)生從“被動(dòng)地接受”轉(zhuǎn)向“主動(dòng)地建構(gòu)”．在此，本文就數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程化的實(shí)施策略問(wèn)題做以探討，以期與同仁探討．
策略1：讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程
決定數(shù)學(xué)教學(xué)效果的首要因素、基礎(chǔ)因素和貫穿始終的因素，就是要明確概念．曹才翰先生曾說(shuō)：
“概念是思維的細(xì)胞”．由于受學(xué)習(xí)內(nèi)容、時(shí)間等多方面因素的影響，教材中不可能把每個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程都一一展現(xiàn)出來(lái)，許多概念都是以精煉的定義的形式呈現(xiàn)的，而略去了其“精彩”的形成過(guò)
程，僅為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了基本線索、基本內(nèi)容和主要的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)．因此，教學(xué)中，教師應(yīng)抓住一些典型的基本概念，關(guān)注它們的實(shí)際背景與形成過(guò)程，并充分地展現(xiàn)給學(xué)生，以幫助學(xué)生理解概念的“來(lái)龍去脈”，在經(jīng)歷概念的形成過(guò)程中加深對(duì)概念的理解，使學(xué)生記憶深刻、理解到位、應(yīng)用靈活．
案例1“銳角三角函數(shù)的概念”的教學(xué)．
“銳角三角函數(shù)的概念”這節(jié)課的內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探索精神是很好的素材，教師應(yīng)把三角函數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程充分地展示給學(xué)生．
(1)在計(jì)算“比值”的過(guò)程中，剖析概念的本質(zhì)，明確概念的外延．
對(duì)概念的深化，必須從概念的內(nèi)涵和外延人手，深入進(jìn)行剖析，抓住概念的本質(zhì)特征．對(duì)于三角函數(shù)，可抓住正弦函數(shù)進(jìn)行重點(diǎn)剖析：正弦函數(shù)涉及比的定義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識(shí)；正弦函數(shù)的值在本質(zhì)上是一個(gè)“比值”，為了突出這個(gè)比值，教師可結(jié)合圖1做如下引導(dǎo)．
�、僬液瘮�(shù)是一個(gè)比；
�、谶@個(gè)比是∠α的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo))，與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值；
�、圻@個(gè)比值隨∠α的確定而確定，與點(diǎn)在∠α的終邊上的位置無(wú)關(guān)(這一點(diǎn)可以利用相似三角形的原理來(lái)說(shuō)明)；
�、躭yl≤r，所以這個(gè)比值不會(huì)超過(guò)1．
以上就是正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性．教師在啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解上述本質(zhì)屬性的同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索、交流發(fā)現(xiàn)：∠α的終邊上的一點(diǎn)P(x，y)一旦確定，就涉及x、y、r這三個(gè)量，任取其中兩個(gè)量就可以確定一個(gè)比值，這樣的比值有且只有6個(gè)．因此，基本三角函數(shù)只有6個(gè)，這便是三角函數(shù)的外延，在初中，我們僅學(xué)習(xí)其中的4個(gè)．
(2)引導(dǎo)學(xué)生探索得到“比值就是函數(shù)”的結(jié)論．
緊扣函數(shù)這一概念，讓學(xué)生找出上述“比值”中的自變量、函數(shù)以及它們的對(duì)應(yīng)規(guī)律(這時(shí)，自變量是α，函數(shù)是“比”．之所以將這個(gè)“比”叫做∠α的函數(shù)，是因?yàn)閷?duì)于[僅的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的比值與之相對(duì)應(yīng))．有了這樣的一些認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)的理解就比較深刻了．
(3)展示三角函數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程．
我們知道，數(shù)學(xué)概念是用定義來(lái)敘述的，定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法．任何定義都由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)(是，叫做等)組成．屬加種差定義是數(shù)學(xué)概念最普遍和最常用的一種定義方式，其一般形式可用以下公式表示：
被定義項(xiàng)=鄰近的屬+種差．
例如，矩形可以用屬加種差的方式定義為：
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．
種差屬被定義項(xiàng)
發(fā)生定義是一種常見的特殊的屬加種差的定義方式，它是用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差
所作出的定義，即沒(méi)有直接說(shuō)明種差，而是將其放在一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程中．因此，發(fā)生定義是以概念的發(fā)生或形成的本質(zhì)屬性作為種差的定義．三角函數(shù)概念就是一個(gè)用發(fā)生定義方式定義的概念，它的種差就是三角函數(shù)的發(fā)生(形成)的過(guò)程，要給出它的定義，應(yīng)借助于圖形，揭示出三角函數(shù)概念的發(fā)生過(guò)程．對(duì)于三角函數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程，實(shí)質(zhì)上可以給出如下的構(gòu)造程序：
①建立坐標(biāo)系；
�、谟�(jì)算∠α終邊上一點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離r；
�、芊謩e給出四個(gè)比的名稱；
⑤給出三角函數(shù)的定義．
在具體引導(dǎo)時(shí)，應(yīng)揭示出三角函數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，以利于學(xué)生的接受和理解．例如，sin30?/SPAN>的產(chǎn)生過(guò)程是：建立如圖2所示的平面坐標(biāo)系，在30。角的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，顯然，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r=2y，所以sin ，
這樣，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷了三角函數(shù)概念的形成過(guò)程．在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意揭示概念的形成過(guò)程，并設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與到構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，以加深學(xué)生對(duì)概念的理解．
策略2：在解題教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“分析題意一探索解法一整理敘述”的過(guò)程
問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路的探索和對(duì)解題方法、規(guī)律的概括上，因?yàn)樗伎紗?wèn)題的過(guò)程本身，在很大程度上就體現(xiàn)出了這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)的過(guò)程．同時(shí)，教師應(yīng)注意讓學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析、判斷、推理、發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而解決問(wèn)題，不僅要講解“成形”的方法，還要把自己猜測(cè)、試探的心理過(guò)程告訴學(xué)生，這樣的教學(xué)，將有利于學(xué)生想象力、直覺(jué)思維能力的發(fā)展和靈感的產(chǎn)生．
實(shí)踐表明，按照波利亞的“解題表”進(jìn)行解題思維的展現(xiàn)是行之有效的．具體說(shuō)來(lái)，可按以下4個(gè)步驟進(jìn)行操作．
(1)弄清問(wèn)題．
拿到一個(gè)問(wèn)題，應(yīng)首先弄清它的條件和結(jié)論．所謂弄清條件，是指羅列明顯條件，挖掘隱含條件，弄清條件的等價(jià)說(shuō)法，對(duì)條件做適合解題需要的轉(zhuǎn)換．所謂弄清結(jié)論，是指羅列解題目標(biāo)，分析多目標(biāo)之間的層次關(guān)系，弄清目標(biāo)的等價(jià)說(shuō)法，追求目標(biāo)成立的充分條件，然后弄清它的結(jié)構(gòu)，辨明題型．
對(duì)照?qǐng)D3，首先明確此題為證明題．
(2)探索解法，擬訂計(jì)劃．
在弄清問(wèn)題之后，必須弄清已知的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，從而探索解題途徑，這是整個(gè)解題過(guò)程的中心環(huán)節(jié)．為了得到問(wèn)題的解法，應(yīng)該擬訂一個(gè)計(jì)劃．
對(duì)于此例，可以看到，目標(biāo)的特點(diǎn)非常突出，是中線和三邊的平方之問(wèn)的關(guān)系．那么，哪些知識(shí)與邊的平方有聯(lián)系呢?于是便很容易聯(lián)想到勾股定理．要使用勾股定理，只需作輔助線AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F(如圖4)，構(gòu)造直角三角形就可以了．
根據(jù)以上的分析，可以擬定此題的解題計(jì)劃：
�、僮鬏o助線A，上BC，垂足為點(diǎn)F；
�、诮㈥P(guān)系式①和②；
�、巯F，整理成目標(biāo)的形式．
(3)整理敘述，實(shí)行計(jì)劃．
探索得到解法之后，要認(rèn)真地加以整理，用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將解題過(guò)程表述出來(lái)．在表述的過(guò)程中，要求層次分明、條理清晰、文字精煉、格式規(guī)范、合乎邏輯，并仔細(xì)地檢查每一個(gè)步驟．
對(duì)于此例，在實(shí)行計(jì)劃時(shí)，應(yīng)分為兩種情況：
�、佼�(dāng)AB≠AC時(shí)，不妨設(shè)AB>AC作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F(如圖4)．
則在Rt△BFA和Rt△DFA中，由勾股定理，得
(4)回顧反思，檢查驗(yàn)算．
這是解題的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，檢查驗(yàn)算主要是看結(jié)果是否正確，推理是否合乎邏輯，步驟是否完整，以便及時(shí)地查漏補(bǔ)缺，糾正錯(cuò)誤．
回顧此例，因?yàn)槭亲C明題，所以只需保證每一步推理的正確性．檢查推理的每一步，依據(jù)都很充分，從討論上看，沒(méi)有遺漏的情況，因而是正確的．
在解題教學(xué)中，如果能長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的解題能力必將得到較大的提高．教師在解題教學(xué)中，可以依此策略，將重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探索解法上，在學(xué)生探索得到解法之后，要鼓勵(lì)他們進(jìn)行討論、相互交流，而不要直接由教師進(jìn)行講解，否則，就會(huì)出現(xiàn)“學(xué)生學(xué)得快，忘得更快”的現(xiàn)象．
策略3：在數(shù)學(xué)性質(zhì)(定理)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生分清它們的條件和結(jié)論，理解抽象、概括或證明的過(guò)程
在數(shù)學(xué)性質(zhì)(定理)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生弄清它們的來(lái)源，分清它們的條件和結(jié)論，理解抽象、概括或證明定理的過(guò)程，從而讓學(xué)生做到“既知其然，又知其所以然”．
在探求證明的過(guò)程中，可采用直觀操作和推理論證相結(jié)合的方式．
案例3“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程．
“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是平行四邊形的判定定理之一，是在學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)
的基礎(chǔ)上得到的，教學(xué)中，應(yīng)要求學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作(剪、拼、接三角形硬紙片)，并把論證作為學(xué)生探索活動(dòng)的自然延伸和必要的發(fā)展，讓學(xué)生在拼接三角形硬紙片的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)證明該定理的思路．
(1)剪兩個(gè)同樣大小的三角形硬紙片△ABC，△A’B’C’(三邊都不相等)；
(2)用這兩個(gè)三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點(diǎn)，你能得到怎樣的猜想?相互交流自己的想法；
(3)證明所得到的猜想，將其歸納成一般結(jié)論．
學(xué)生進(jìn)行的操作過(guò)程如圖5所示：
由上面的操作過(guò)程，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，如圖6，在四邊形ABCD中，已知AB=CD，且BC＝AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可．這個(gè)證明思路就是在拼接三角形紙片的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的．
在數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理的教學(xué)中，要把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探究性質(zhì)和定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、證明思路的猜測(cè)過(guò)程和證明方法的嘗試過(guò)程上，以避免出現(xiàn)學(xué)生所反映的“老師添設(shè)輔助線總是‘馬到成功’，演算證明總是簡(jiǎn)捷又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯(cuò)(或不會(huì))”的現(xiàn)象．
策略4：引導(dǎo)學(xué)生參與綜合實(shí)踐活動(dòng)
新課改重視讓學(xué)生參與綜合實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)自主探索和合作
交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系、具有一定挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，以發(fā)展他們解決問(wèn)題的能力．例如，在學(xué)習(xí)了全等三角形的知識(shí)后，可以引導(dǎo)學(xué)生實(shí)地測(cè)量不能到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離；在學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)后，可以測(cè)量某座高樓的高度；等等．
進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)，不同于直接解答給定的問(wèn)題，綜合實(shí)踐活動(dòng)用的時(shí)間比較長(zhǎng)，它是一種具有現(xiàn)實(shí)性、問(wèn)題性、實(shí)踐性、綜合性和探索性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，一般分為以下3個(gè)階段：
(1)進(jìn)入問(wèn)題情境階段；
(2)實(shí)踐體驗(yàn)階段；
(3)解決問(wèn)題階段．
這就要求學(xué)生必須參與以上3個(gè)階段的全部過(guò)程，而不是只參與其中的某些環(huán)節(jié)．
案例4調(diào)查某校八年級(jí)學(xué)生的視力情況．
此案例安排在學(xué)完統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)之后進(jìn)行，要求學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，通過(guò)調(diào)查學(xué)生的視
力情況，作出判斷，提出改進(jìn)建議，從而培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識(shí)．指導(dǎo)學(xué)生調(diào)查時(shí)，要以學(xué)生親身經(jīng)歷和體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)過(guò)程為主線，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ占驼頂?shù)據(jù)，用合適的圖表展示數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)做簡(jiǎn)單的分析，并對(duì)自己的分析、思考進(jìn)行交流和改進(jìn)．
綜合實(shí)踐活動(dòng)中，應(yīng)讓學(xué)生參與調(diào)查的全過(guò)程，仔細(xì)分析這個(gè)問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)調(diào)查活動(dòng)應(yīng)分為“提出問(wèn)題一收集、整理數(shù)據(jù)一分析判斷”3個(gè)階段進(jìn)行．
(1)提出問(wèn)題．
綜合實(shí)踐活動(dòng)的第一步(進(jìn)入問(wèn)題情境)，對(duì)本案例而言就是明確活動(dòng)的目標(biāo)，提出具體的問(wèn)題．
這個(gè)案例的目標(biāo)非常明確(調(diào)查某校八年級(jí)學(xué)生的視力情況)，范圍也相對(duì)較小(在某學(xué)校八年級(jí)
學(xué)生中進(jìn)行調(diào)查)，方法有兩種：一是普查；二是抽樣調(diào)查．如果該校八年級(jí)學(xué)生不是很多，可以采用普查的方法．如果學(xué)生較多，可以采用抽樣的方法，這時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意樣本選取的代表性和適當(dāng)?shù)臉颖救萘浚?br />
通過(guò)組織學(xué)生討論，決定采取抽樣的形式進(jìn)行調(diào)查，為了便于記錄和統(tǒng)計(jì)，很容易想到設(shè)計(jì)一個(gè)記錄表(如下頁(yè)表1)：
(2)收集、整理數(shù)據(jù)．
綜合實(shí)踐活動(dòng)的第二步(實(shí)踐體驗(yàn))，對(duì)本案例而言就是具體調(diào)查，把調(diào)查過(guò)程中得到的數(shù)據(jù)收集
起來(lái)并加以分析．從該校八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，收集到了100個(gè)數(shù)據(jù)(具
體數(shù)據(jù)略)，把這些數(shù)據(jù)填在表l中，為了便于分析，對(duì)這100個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)匯總．
�、儆已矍闆r：視力是0.1的1人；視力是0.2的1人；視力是0.3的2人；視力是0．4的2人；視力是0.5的2人；視力是0.6的3人；視力是0.7的4人；視力是0.8的5人；視力是1.0的9人；視力是1.2的10人；視力是1.5的11人．
�、谧笱矍闆r：視力是0.1的1人；視力是0.2的2人；視力是0．3的1人；視力是0．4的5人；視力是0.5的3人；視力是0.6的5人；視力是0.7的2人；視力是0.8的4人；視力是1.0的10人；視力是1.2的7人；視力是1.5的10人．
同時(shí)把上述收集匯總后的數(shù)據(jù)整理如下．
右眼情況(如表2)：
表2左眼情況(如表3)：
表3
(3)分析判斷．
綜合實(shí)踐活動(dòng)的第三步(解決問(wèn)題)，對(duì)本案例來(lái)說(shuō)就是通過(guò)對(duì)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到一些判斷，提出一些建設(shè)性的建議．本次調(diào)查可得到的判斷很多，列舉部分如下．
①只要是視力低于1．5的就算是近視眼，所以結(jié)論是該校八年級(jí)學(xué)生中視力情況不容樂(lè)觀．就右眼來(lái)說(shuō)有39人近視；就左眼來(lái)說(shuō)有40人近視．
�、谶@50名學(xué)生右眼視力的平均值為：
�、墼撔０四昙�(jí)學(xué)生右眼的視力好于左眼的視力．
④同學(xué)們應(yīng)加強(qiáng)體育鍛煉，注意看書的姿勢(shì)，減少看電視及上網(wǎng)的時(shí)間．
調(diào)查視力的活動(dòng)，讓學(xué)生既加深了對(duì)統(tǒng)計(jì)等有關(guān)知識(shí)的理解，又學(xué)會(huì)了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)
題的方法，還有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣，對(duì)于形成相互合作的團(tuán)隊(duì)意識(shí)也是非常必要的．
數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)過(guò)程化。布魯納指出：“我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個(gè)小型
書庫(kù)，而是要他們參與獲得知識(shí)的過(guò)程．學(xué)習(xí)是一種過(guò)程，而不是結(jié)果．”弗賴登塔爾曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過(guò)數(shù)學(xué)化來(lái)進(jìn)行．”因此，我們提出了以上4個(gè)常用策略，愿與廣大一線教師相互切磋，共同提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率和質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力和動(dòng)手操作能力．
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