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一、教材內(nèi)容解析

由于正整數(shù)無法窮盡的特點(diǎn)，有些關(guān)于正整數(shù)n的命題,難以對n進(jìn)行一一的驗(yàn)證，從而需要尋求一種新的推理方法，以便能通過有限的推理來證明無限的結(jié)論.這是數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源.

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的重要方法。它的獨(dú)到之處便是運(yùn)用有限個步驟就能證明無限多個對象，而實(shí)現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想。

設(shè)p(n)表示與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明主要有兩個步驟：（1）證明p(1)為真；（2）證明若p(k)為真，則p(k+1)為真；有了這兩步的保證,就可實(shí)現(xiàn)以下的無窮動態(tài)的遞推過程：

P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->… -> P(k)真-> P(k+1)真-> …

因此得到對于任何正整數(shù)n，命題p(n)都為真.

數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據(jù)，即驗(yàn)證由任意一個整數(shù)n過渡到下一個整數(shù)n+1時命題是否成立.這兩個步驟都非常重要，缺一不可.第一步確定了n=1時命題成立，n=1成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)，沒有它遞推成了無源之水；第二步確認(rèn)了一種遞推關(guān)系，借助它，命題成立的范圍就能從1開始，向后面一個數(shù)一個數(shù)的無限傳遞到1以后的每一個正整數(shù)，從而完成證明.因些遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無限飛躍的關(guān)鍵，沒有它我們就只能停留在對有限情況的把握上.

在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時，第一步中的起點(diǎn)1可以恰當(dāng)偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可證明命題對n=n0以后的每個正整數(shù)都成立;而第二步的遞推方式也可作靈活的變動，如跳躍式前進(jìn)等，但必須保證第一步中必須含有實(shí)現(xiàn)第二步遞推時的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)歸納法名為歸納法，實(shí)質(zhì)上與歸納法毫無邏輯聯(lián)系.按波利亞的說法“這個名字是隨便起的”.[1]歸納法是一種以特殊化和類比為工具的推理方法，是重要的探索發(fā)現(xiàn)的手段，是一種似真結(jié)構(gòu)；而數(shù)學(xué)歸納法是一種嚴(yán)格的證明方法，一種演繹法，它的實(shí)質(zhì)是“把無窮的三段論納入唯一的公式中”(龐加萊)，它得到的結(jié)論是真實(shí)可靠的.在皮亞諾提出“自然數(shù)公理”后，數(shù)學(xué)歸納法以歸納公理為理論基礎(chǔ)，得到了廣泛的確認(rèn)和應(yīng)用.而自然數(shù)中的“最小數(shù)原理”，則從反面進(jìn)一步說明了數(shù)學(xué)歸納法證題的可靠性.

數(shù)學(xué)歸納法雖不是歸納法，但它與歸納法有著一定程度的關(guān)聯(lián).在數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程中，往往先通過對大量個別事實(shí)的觀察，通過歸納形成一般性的結(jié)論，最終利用數(shù)學(xué)歸納法的證明解決問題.因此可以說論斷是以試驗(yàn)性的方式發(fā)現(xiàn)的，而論證就像是對歸納的一個數(shù)學(xué)補(bǔ)充[1]，即“觀察”+“歸納”+“證明”=“發(fā)現(xiàn)”.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.       通過對具體問題的解決思路探尋，了解數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上歸納概括出數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟.

2.       體會數(shù)學(xué)歸納法的思想，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的恒等式.

3.       了解通過“觀察”“歸納”“證明”來發(fā)現(xiàn)定理的基本思路.

三、教學(xué)問題診斷

認(rèn)知基礎(chǔ)：

（1）       對正整數(shù)的特點(diǎn)的感性認(rèn)識；

（2）       對“無窮”的概念有一定的認(rèn)識和興趣；

（3）       在數(shù)列的學(xué)習(xí)中對遞推思想有一定的體會；

（4）       在生活經(jīng)驗(yàn)中接觸到一些具有遞推性質(zhì)的事實(shí)；

（5）       在“算法”循環(huán)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中有反復(fù)試用“循環(huán)體”的體會,雖然算法實(shí)現(xiàn)的只能是有限步的循環(huán);(如下圖)

（6）       了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識的基礎(chǔ).

難點(diǎn)或疑點(diǎn)：

但數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結(jié)構(gòu)形式，運(yùn)用技巧，就是對其自身的可靠性，學(xué)生都有一定的疑慮，具體可能會體現(xiàn)在以下一些方面：

1.數(shù)學(xué)歸納法所要解決的是無窮多個命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問題，由此造學(xué)生在理解上的兩點(diǎn)困難：（1）對“無窮”的模糊認(rèn)知和神秘感；（2）對于一個關(guān)于正整數(shù)n的命題P(n)，會難以將其看作是一個隨自變量n變化的“命題值函數(shù)”.

2.為什么要引進(jìn)數(shù)學(xué)歸納法？驗(yàn)證為何不可行？

3.數(shù)學(xué)歸納法的兩步驟中，對第二步的認(rèn)識往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題，誤解為證明P(k+1)的真實(shí)性.由此造成對證明中何以用“假設(shè)”的不理解.

4.數(shù)學(xué)歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應(yīng)保證k從第一個值時的任意一個整數(shù)都能成立,由此只要第一個值成立，就能確保可以一直遞推下去.

5.數(shù)學(xué)歸納法中的遞推是一種無窮盡的動態(tài)過程，學(xué)生對于不斷反復(fù)地運(yùn)用步驟二來進(jìn)行推理的模式缺乏清晰的認(rèn)知.

數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用時對起點(diǎn)可作適當(dāng)?shù)钠�移，對第二步的證明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進(jìn)行深入分析，本課側(cè)重解決對數(shù)學(xué)歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.

突破的關(guān)鍵：

由于中學(xué)階段對數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)缺乏理論基礎(chǔ)，因此學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是通過對具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解。

(1)    借助遞推數(shù)列

    遞推數(shù)列通過相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系以及首項(xiàng)來確定數(shù)列，與數(shù)學(xué)歸納法的思想有著天然的聯(lián)系.

(2)    構(gòu)建直觀模型

上圖既有多米諾骨牌的形象又有數(shù)學(xué)的形式，加上命題式的推出符號更易理解若k則k+1的遞推語句，整體上又具有流程圖的程序結(jié)構(gòu)，能較好地反映出數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，可以使學(xué)生的思考有較形象直觀的載體.

（2）重視歸納概括

根據(jù)遞推思想，數(shù)學(xué)歸納法的證題過程可分解為以下無窮多個步驟：

第一步，P(1)真；

第二步，P(1)真->P(2)真；

第三步，P(2)真->P(3)真；

第四步，P(3)真->P(4)真；

…

用最少的步驟可概括為

第一步，P（1）真；

第二步以后各步都可歸納為一個命題的證明：P(k)真?P(k+1)真；即若P（k）真，則P（k+1）真.

同以上兩步，就可證得對任意的正整數(shù)n,都有P(n)為真.

對于這種抽象概括，學(xué)生在數(shù)列的學(xué)習(xí)以及算法的學(xué)習(xí)中是有經(jīng)驗(yàn)的和能力的.

四、教學(xué)支持條件

對于“無窮”與“遞推”的描述，僅靠語言及符號是蒼白的，借助于一些直觀形象的符號可以更有助于學(xué)生的想象與理解.

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）課前準(zhǔn)備

課前播放多米諾骨牌游戲的錄像，并將其類比遷移到對提問規(guī)則的制定:某個同學(xué)回答后，將話話筒傳遞給下一位同學(xué)回答問題.

設(shè)計意圖：一方面營造輕松的氛圍，另一方面滲透遞推思想，讓學(xué)生有感悟思想的機(jī)會.

（二） 方法的形成

問題：已知數(shù)列｛an｝：，求,.

師生活動：

學(xué)生進(jìn)行計算推理后，展示思考結(jié)果.

教師追問：

（1）根據(jù)遞推公式，可以由出發(fā)，推出，再由推出,由推出,說說你又是如何求得呢？

預(yù)設(shè)：由前四項(xiàng)歸納猜想.

（2）歸納猜想的結(jié)果并不可靠，你能否對給以嚴(yán)格的證明嗎？

   設(shè)計意圖：學(xué)生通過對的求解，體會到只需知道某一項(xiàng)，就可求出其下一項(xiàng)的值.通過直觀的框圖式結(jié)構(gòu)，可以使學(xué)生的思考有較形象直觀的載體.針對學(xué)生的回答情況，教師可進(jìn)行追問：

問1 :  利用遞推公式，命題中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。。。，由99可以推出100. 這樣要嚴(yán)格證明n=100結(jié)論成立，需要進(jìn)行多少個步驟的論證呢？

第一步，；                                     

第二步：；                 （由推）

第三步，；                （由推）

第四步， ；                （由推）

……

第99步，；   （由推）

第100步，. （由推）

問2： 你能否只用最少的步驟就能證明這個結(jié)論呢？

預(yù)設(shè)：除了第一步論證之外，其余99個步驟的證明都可以概括成一個命題的證明，即轉(zhuǎn)化為對以下命題的證明：

   若n取某一個值時結(jié)論成立，則n取其下一個值時結(jié)論也成立，即

若（），則.    （*）

（.）

 問3： 你能進(jìn)一步說明命題（*）的證明對原命題的證明起到什么作用嗎？

 問4： 有了命題（*）的證明，你能肯定嗎？你能肯定嗎？你能肯定嗎？甚至你能肯定嗎？…

問5：給定及命題（*），你能推出什么結(jié)論呢？

預(yù)設(shè)：通過步步遞推，可以證明對任意的正整數(shù)n，結(jié)論都成立.

問6：試寫出此命題的證明:

已知數(shù)列｛an｝：，求證：.

預(yù)設(shè)：證明:

(1)    當(dāng)n=1時，,所以結(jié)論成立.

(2)    假設(shè)當(dāng)n=k(k?N*)時，結(jié)論成立，即，

則當(dāng)n=k+1時

即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.

   由（1）(2)可得，對任意的正整數(shù)n都有成立.

問7： 你能否總結(jié)出這一證明方法的一般模式?

預(yù)設(shè)：

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）       證明當(dāng)n=1時命題成立；

（2）       假設(shè)當(dāng)n=k()時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.

則 P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->P(4)真->P(5)真->……

那么，對任意的正整數(shù)n，命題P(n)都成立.

設(shè)計意圖：方法的提煉事實(shí)是對一種模式的提煉，通過對多米諾骨牌、課堂提問方式的滲透，以及對這一數(shù)學(xué)問題的解決過程的體驗(yàn)，部分學(xué)生可能有能力對這一模式的特征進(jìn)行概括.

問8：這種解決問題的思想方法在生活中有應(yīng)用嗎？你能舉出一些例子說明嗎？

預(yù)設(shè)：多米諾骨牌游戲，課堂提問，傳真話，長城烽火臺的狼煙傳遞等等；

設(shè)計意圖：通過舉例子，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系和類比.增進(jìn)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

問9：對方法中的兩個步驟，你是如何理解的？

預(yù)設(shè)：一是歸納基礎(chǔ)，二是歸納遞推.兩者缺一不可。

    數(shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)上將對原問題的證明轉(zhuǎn)化為對兩個步驟的證明和判斷，由此可進(jìn)行無限的循環(huán),其結(jié)構(gòu)如下：

 設(shè)計意圖：通過從不同的角度審視，更有利于學(xué)生全面地了解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

（三）方法的應(yīng)用

例1  試一試，猜一猜 證一證

    我們都知道1+2+3+…+n=(n?N*)，那么13+23+33+…+n3=     ?        .

預(yù)設(shè)：

n=1     13                       =1      =12

n=2     13+23                   =9      =32

n=3     13+23+33               =25     =52

n=4     13+23+33+43           =100    =102

…….

猜想

       13+23+33+…+n3=

證明：   （由學(xué)生證明，略）

   設(shè)計意圖：通過實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、猜想、證明的全過程，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)歸納法的思想和步驟.

(四）       鞏固與深化

例2 明辨是非

n=n+1?

證明：假設(shè)n=k（）時結(jié)論成立，即

k=k+1，

在等式兩邊各加上1，得

      k+1=(k+1)+1

即當(dāng)n=k+1時，等式也成立.

所以n=n+1對任意的正整數(shù)n都成立.

設(shè)計意圖：從反面的實(shí)例中可進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的理解.

   例3 （1）如果要證明命題P(n)成立，即證P(3)，P(4)，P(5)，P(6)，P(7),......都成立,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的思想，你會如何證明？

    （2）如果要證明命題P(n)(n是正偶數(shù)）成立，即證明命題P(2)，P(4)，P(6), P(8), P(10),......都成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的思想，你會如何證明？

    設(shè)計意圖：方法是死的，思想是活的，通過這兩個問題，使學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的思想有進(jìn)一步的認(rèn)識.同時也可檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的遞推本質(zhì)的理解程度.

(五)小結(jié)與回顧

（1）數(shù)學(xué)歸納法能解決哪些問題？（與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明）

（2）數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是什么？（兩步驟一結(jié)論）

（3）它的核心思想是什么？（無窮遞推）

（4）在學(xué)習(xí)與思考中你還有哪些疑惑？

（5）想飛的蝸牛怎樣才能扶著天梯登上云端呢？(生：登上第一級；如果登上一級后，再努力一點(diǎn)，就能登上下一級.那么蝸牛就能想爬多高就能到多高.)

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的學(xué)后總結(jié)與反思，是知識得以內(nèi)化的必要過程.

【注：在對的證明過程中，學(xué)生也可能有以下的分析過程：

預(yù)設(shè)2：（分析法）要證，只需證，因?yàn)?/p>

  （1）

要證， 只需證，因?yàn)?/p>

（2）

……

要證， 只需證，因?yàn)?/p>

        （99）

而=1顯然成立，所以結(jié)論成立.

即只要滿足，可能式子（1）（2）…(99)都能成立，就可以得證.由此也可概括出數(shù)學(xué)歸納法的核心步驟.】

參考文獻(xiàn)：

1.（美）G.波利亞 著 《怎樣解題------數(shù)學(xué)思維新方法》  2007年12月 P95-100.

2. 羅增儒 著 《中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析》P246-275 課例14“數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計”.