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十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，數(shù)學(xué)已發(fā)展成為一門(mén)龐大的學(xué)科，經(jīng)典的數(shù)學(xué)部門(mén)已經(jīng)建立起完整的體系：數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)家開(kāi)始探訪一些基礎(chǔ)的問(wèn)題，例如什么是數(shù)？什么是曲線？什么是積分？什么是函數(shù)？……另外，怎樣處理這些概念和體系也是問(wèn)題。

經(jīng)典的方法一共有兩類(lèi)。一類(lèi)是老的公理化的方法，不過(guò)非歐幾何學(xué)的發(fā)展，各種幾何學(xué)的發(fā)展暴露出它的許多毛��；另一類(lèi)是構(gòu)造方法或生成方法，這個(gè)辦法往往有局限性，許多問(wèn)題的解決不能靠構(gòu)造。尤其是涉及無(wú)窮的許多問(wèn)題往往靠邏輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無(wú)法斷定的。

對(duì)于基礎(chǔ)概念的分析研究產(chǎn)生了一系列新領(lǐng)域—抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、測(cè)度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯特在1899年首先在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中做出的。

1初等幾何學(xué)的公理化

十九世紀(jì)八十年代，非歐幾何學(xué)得到了普遍承認(rèn)之后，開(kāi)始了對(duì)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的探討。當(dāng)時(shí)已經(jīng)非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學(xué)原始定義中的點(diǎn)、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學(xué)運(yùn)用許多直觀的概念，如“介于……之間”等沒(méi)有嚴(yán)格的定義；另外，對(duì)于公理系統(tǒng)的獨(dú)立性、無(wú)矛盾性、完備性沒(méi)有證明。

在十九世紀(jì)八十年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家巴士提出一套公理系統(tǒng)，提出次序公理等重要概念，不過(guò)他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒(méi)有，因此他公理系統(tǒng)不夠完美。而且他也沒(méi)有系統(tǒng)的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過(guò)理想元素的引進(jìn)，把度量幾何包括在射影幾何之中。

十九世紀(jì)八十年代末期起，皮亞諾和他的學(xué)生們也進(jìn)行了一系列的研究。皮亞諾的公理系統(tǒng)有局限性；他的學(xué)生皮埃利的“作為演繹系統(tǒng)的幾何學(xué)”(1899)，由于基本概念太少(只有“點(diǎn)”和“運(yùn)動(dòng)”)而把必要的定義和公理弄得極為復(fù)雜，以致整個(gè)系統(tǒng)的邏輯關(guān)系極為混亂。

希爾伯特的《幾何學(xué)基礎(chǔ)》的出版，標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化新時(shí)期的到來(lái)。希爾伯特的公理系統(tǒng)是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展，他這部著作重版多次，已經(jīng)成為一本廣為流傳的經(jīng)典文獻(xiàn)了。

希爾伯特的公理系統(tǒng)與歐幾里得及其后任何公理系統(tǒng)的不同之處，在于他沒(méi)有原始的定義，定義通過(guò)公理反映出來(lái)。這種思想他在1891年就有所透露。他說(shuō)：“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來(lái)代替點(diǎn)、線、面”。當(dāng)然，他的意思不是說(shuō)幾何學(xué)研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學(xué)中，點(diǎn)、線、面的直觀意義要拋掉，應(yīng)該研究的只是它們之間的關(guān)系，關(guān)系由公理來(lái)體現(xiàn)。幾何學(xué)是對(duì)空間進(jìn)行邏輯分析，而不訴諸直觀。

希爾伯特的公理系統(tǒng)包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個(gè)公理，為關(guān)聯(lián)公理（從屬公理）；第二組四個(gè)公理，為次序公理；第三組五個(gè)公理；第四組是平行公理；第五組二個(gè)，為連續(xù)公理。

希爾伯特在建立公理系統(tǒng)之后，首要任務(wù)是證明公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。這個(gè)要求很自然，否則如果從這個(gè)公理系統(tǒng)中推出相互矛盾的結(jié)果來(lái)，那么這個(gè)公理系統(tǒng)就會(huì)毫無(wú)價(jià)值。希爾伯特在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》第二章中證明了他的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術(shù)模型。

實(shí)際上，由解析幾何可以把點(diǎn)解釋為三數(shù)組(可以理解為坐標(biāo)(x、y、z))，直線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個(gè)公理的。因此，公理的推論若出現(xiàn)矛盾，則必定在實(shí)數(shù)域的算術(shù)中表現(xiàn)出來(lái)。這就把幾何學(xué)公理的無(wú)矛盾性變成實(shí)數(shù)算術(shù)的無(wú)矛盾性。

其次，希爾伯特考慮了公理系統(tǒng)的獨(dú)立性，也就是說(shuō)公理沒(méi)有多余的。一個(gè)公理如果由其他公理不能推出它來(lái)，它對(duì)其他公理是獨(dú)立的。假如把它從公理系統(tǒng)中刪除，那么有些結(jié)論就要受到影響。希爾伯特證明獨(dú)立性的方法是建造模型，使其中除了要證明的公理(比如說(shuō)平行公理)之外其余的公理均成立，而且該公理的否定也成立。

由于這些公理的獨(dú)立性和無(wú)矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變?yōu)榉穸ǎ�并由此得出新的幾何學(xué)。比如平行公理?yè)Q成其否定就得到非歐幾何學(xué)；阿基米德公理（大意是一個(gè)短線段經(jīng)過(guò)有限次重復(fù)之后，總可以超出任意長(zhǎng)的線段）換成非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學(xué)。希爾伯特在書(shū)中詳盡地討論了非阿基米德幾何學(xué)的種種性質(zhì)。

希爾伯特對(duì)初等幾何公理的無(wú)矛盾性是相對(duì)于實(shí)數(shù)的無(wú)矛盾性，因此自然要進(jìn)一步考慮實(shí)數(shù)系的公理化及其無(wú)矛盾性，于是首當(dāng)其沖的問(wèn)題是算術(shù)的公理化。

2算術(shù)的公理化

數(shù)學(xué)，顧名思義是一門(mén)研究數(shù)的科學(xué)。自然數(shù)和它的計(jì)算——算術(shù)是數(shù)學(xué)最明顯的出發(fā)點(diǎn)。歷史上不少人認(rèn)為，所有經(jīng)典數(shù)學(xué)都可以從自然數(shù)推導(dǎo)出來(lái)。可是，一直到十九世紀(jì)末，卻很少有人解釋過(guò)什么是數(shù)？什么是0？什么是1？這些概念被認(rèn)為是最基本的概念，它們是不是還能進(jìn)一步分析，這是一些數(shù)學(xué)家關(guān)心的問(wèn)題。因?yàn)橐坏┧阈g(shù)有一個(gè)基礎(chǔ)，其他數(shù)學(xué)部門(mén)也就可以安安穩(wěn)穩(wěn)建立在算術(shù)的基礎(chǔ)上。

什么東西可以做為算術(shù)的基礎(chǔ)呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數(shù)序數(shù)理論，他把自然數(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，并把自然數(shù)向無(wú)窮推廣；弗雷格和羅素把數(shù)完全通過(guò)邏輯詞匯來(lái)定義，把算術(shù)建立在純邏輯的基礎(chǔ)上；用公理化的方法通過(guò)數(shù)本身的性質(zhì)來(lái)定義，其中最有名的是皮亞諾公理。

在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是準(zhǔn)備向有理數(shù)、實(shí)數(shù)方面推廣，為數(shù)學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。他們也都注意到邏輯是基礎(chǔ)，但都有非邏輯公理。

1888年，戴德金發(fā)表《什么是數(shù)，什么是數(shù)的目的？》一文，闡述他的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。他把算術(shù)(代數(shù)、分析)看成邏輯的一部分，數(shù)的概念完全不依賴(lài)人對(duì)空間、時(shí)間的表象或直覺(jué)。他說(shuō)“數(shù)是人類(lèi)心靈的自由創(chuàng)造，它們做為一個(gè)工具，能使得許許多多事物能更容易、更精確地板掌握”。而創(chuàng)造的方法正是通過(guò)邏輯。他的定義是純邏輯概念——類(lèi)(system)，類(lèi)的并與交，類(lèi)之間的映射，相似映射(不同元素映到不同元素)等等。通過(guò)公理定義，戴德金證明數(shù)學(xué)歸納法。但是他沒(méi)有能夠直接從純邏輯名詞來(lái)定義數(shù)。

1889年，皮亞諾發(fā)表他的《算術(shù)原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件事：第一，把算術(shù)明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號(hào)來(lái)表達(dá)。后來(lái)皮亞諾刻劃數(shù)列也同弗雷格一樣是從0開(kāi)始，但是他對(duì)數(shù)的概念也同戴德金一樣，是考慮序數(shù)。

皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數(shù)學(xué)結(jié)果，他編制的數(shù)理邏輯符號(hào)（1894年發(fā)表于《數(shù)學(xué)論集》）也主要是如此，而不是為了哲學(xué)分析。1900年羅素從皮亞諾學(xué)習(xí)這套符號(hào)之后，才對(duì)邏輯、哲學(xué)同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大沖擊。

從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數(shù)學(xué)論集》的續(xù)集，每一次都把他提出的五個(gè)公理(只是用0代1)作為算術(shù)的基礎(chǔ)。但是皮亞諾除了邏輯符號(hào)之外，還有其他三個(gè)基本符號(hào)，即：數(shù)、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數(shù)完全建立在邏輯基礎(chǔ)上。

他的公理系統(tǒng)也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質(zhì)，因此須要對(duì)性質(zhì)或集合有所證明。有人把它改為可數(shù)條公理的序列，這樣一來(lái)，由公理系所定義的就不單純是自然數(shù)了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統(tǒng)購(gòu)非標(biāo)準(zhǔn)模型，這樣就破壞了公理系統(tǒng)的范疇性。

3其他數(shù)學(xué)對(duì)象的公理化

在十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初的公理化浪潮中，一系列數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行了公理化，這些公理化一般在數(shù)學(xué)中進(jìn)行。例如由于解代數(shù)方程而引進(jìn)的域及群的概念，在當(dāng)時(shí)都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀(jì)后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個(gè)元素相加(或相乘)仍對(duì)應(yīng)唯一的元素、運(yùn)算滿足結(jié)合律、有零元素及逆元素存在。

群在數(shù)學(xué)中是無(wú)處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀(jì)末才開(kāi)始。當(dāng)然，它與數(shù)理邏輯有密切的關(guān)系。有理數(shù)集體、實(shí)數(shù)集體、復(fù)數(shù)集體構(gòu)成抽象域的具體模型，域的公理很多。另外，環(huán)、偏序集合、全序集合、格、布爾代數(shù)，都已經(jīng)公理化。

另一大類(lèi)結(jié)構(gòu)是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，拓?fù)淇臻g在1914年到1922年也得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀(jì)抽象數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)。在模型論中，這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)成為邏輯語(yǔ)句構(gòu)成理論的模型。