高三第一輪復(fù)習(xí) 第五 功和能
第一節(jié) 功
基礎(chǔ)知識(shí) 一、功的概念
1、定義： 力和力的作用點(diǎn)通過位移的乘積．
2.做功的兩個(gè)必要因素：力和物體在力的方向上的位移
3、公式：W＝FScosα（α為F與s的夾角）．
說明：恒力做功大小只與F、s、α這三個(gè)量有關(guān)．與物體是否還受其他力、物體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度等其他因素?zé)o關(guān)，也與物體運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)．
4.單位：焦耳（J) 1 J＝1N•m.
5.物理意義：表示力在空間上的積累效應(yīng)，是能的轉(zhuǎn)化的量度
6.功是標(biāo)量，沒有方向，但是有正負(fù)．正功表示動(dòng)力做功，負(fù)功表示阻力做功，功的正負(fù)表示能的轉(zhuǎn)移方向．
①當(dāng)0≤a＜900時(shí)W＞0，力對(duì)物體做正功；
②當(dāng)α=900時(shí)W＝0，力對(duì)物體不做功；
③當(dāng)900＜α≤1800時(shí)W＜0，力對(duì)物體做負(fù)功或說成物腳體克服這個(gè)力做功，這兩種說法是從二個(gè)角度描述同一個(gè)問題．
二、注意的幾個(gè)問題
①F：當(dāng)F是恒力時(shí)，我們可用公式W＝Fscosθ運(yùn)算；當(dāng)F大小不變而方向變化時(shí)，分段求力做的功；當(dāng)F的方向不變而大小變化時(shí)，不能用W＝Fscosθ公式運(yùn)算（因數(shù)學(xué)知識(shí)的原因），我們只能用動(dòng)能定理求力做的功．
②S：是力的作用點(diǎn)通過的位移，用物體通過的位移表述時(shí)，在許多問題上學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生一些錯(cuò)覺，在后面的練習(xí)中會(huì)認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，另外位移S應(yīng)當(dāng)弄清是相對(duì)哪一個(gè)參照物的位移
③功是過程量：即做功必定對(duì)應(yīng)一個(gè)過程（位移），應(yīng)明確是哪個(gè)力在哪一過程中的功．
④什么力做功：在研究問題時(shí)，必須弄明白是什么力做的功．如圖所示，在力F作用下物體勻速通過位移S則力做功FScosθ，重力做功為零，支持力做功為零，摩擦力做功－Fscosθ，合外力做功為零．
例1．如圖所示，在恒力F的作用下，物體通過的位移為S，則力F做的功為
解析：力F做功W＝2Fs．此情況物體雖然通過位移為S．但力的作用點(diǎn)通過的位移為2S，所以力做功為2FS． 答案：2Fs
例2．如圖所示，把A、B兩球由圖示位置同時(shí)由靜止釋放（繩開始時(shí)拉直），則在兩球向左下擺動(dòng)時(shí)．下列說法正確的是
A、繩子OA對(duì)A球做正功
B、繩子AB對(duì)B球不做功
C、繩子AB對(duì)A球做負(fù)功
D、繩子AB對(duì)B球做正功
解析：由于O點(diǎn)不動(dòng)，A球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，OA對(duì)球A不做功。對(duì)于AB段，我們可以想象，當(dāng)擺角較小時(shí)．可以看成兩個(gè)擺長(zhǎng)不等的單擺，由單擺的周期公式就可以看出，A擺將先回到平衡位置．B擺將落后于A擺，AB繩對(duì)A球做負(fù)功，對(duì)B球做正功。答案：CD
擴(kuò)展與研究：一個(gè)力對(duì)物體做不做功，是正功還是負(fù)功，判斷的方法是：①看力與位移之間夾角，或者看力與速度方向之間的夾角：為銳角時(shí)，力對(duì)物體做正功，在上例中AB的拉力與B球的速度方向就是銳角；為鈍角時(shí)，力對(duì)物體做負(fù)功，上例中AB的拉力與A球的速度方向就是鈍角。為直角時(shí)，力對(duì)物體不做功，上例中OA與A球的拉力與A球速度方向就是直角。②看物體間是否有能量轉(zhuǎn)化。若有能量轉(zhuǎn)化，則必定有力做功。此法常用于相連的物體做曲線運(yùn)動(dòng)的情況。
練習(xí)1：如圖所示，一輛小車靜止在光滑水平導(dǎo)軌上，一個(gè)小球用細(xì)繩懸掛在車上，由圖中位置無(wú)初速釋放，則在小球下擺過程中，繩的拉力（）
A、對(duì)小球不做功
B、對(duì)小球做正功
C、對(duì)小球做負(fù)功
D、對(duì)小車做正功
規(guī)律方法 1、恒力功的計(jì)算方法
1.由公式W=Fs cosα求解
兩種處理辦法：
①W等于力F乘以物體在力F方向上的分位移scosα,即將物體的位移分解為沿F方向上和垂直F方向上的兩個(gè)分位移s1和s2，則F做的功 W＝F s1＝Fscosα.
②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物體的位移s，即將力F分解為沿s方向和垂直s方向的兩個(gè)分力F1和F2，則F做功W=F1s＝Fcosαs.
注意：這種方法只能用計(jì)算恒力做功（軌跡可以是直線也可以是曲線）
例3．如圖所示，質(zhì)量為m的物體，靜止在傾角為α的粗糙的斜面體上，當(dāng)兩者一起向右勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移為S時(shí)，斜面對(duì)物體m的彈力做的功是多少？物體m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面對(duì)物體m做功多少？
解析：物體m受力如圖所示，m有沿斜面下滑的趨勢(shì)，f為靜摩擦力，位移S的方向同速度v的方向．彈力N對(duì)m做的功W1＝N•scos（900＋α）＝－ mgscosαsinα，
重力G對(duì)m做的功W2＝G•s cos900=0．摩擦力f對(duì)m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα．斜面對(duì)m的作用力即N和f的合力，方向豎直向上，大小等于mg（m處于平衡狀態(tài)），則： w＝F合scos900＝mgscos900＝o
答案：－ mgscosαsinα，0， mgscosαsinα，0
點(diǎn)評(píng)：求功，必須清楚地知道是哪個(gè)力的功，應(yīng)正確地畫出力、位移，再求力的功．
2、多個(gè)力的總功求解
①用平行四邊形定則求出合外力，再根據(jù)w＝F合scosα計(jì)算功．注意α應(yīng)是合外力與位移s間的夾角．
②分別求各個(gè)外力的功：W1＝F1 scosα1， W2=F2scosα2……再求各個(gè)外力功的代數(shù)和．
例4．物體靜止在光滑水平面上，先對(duì)物體施一水平右的恒力Fl，經(jīng)ts后撤去F1，立即再對(duì)它施一水平向左的恒力F2，又經(jīng)ts后物體回到原出發(fā)點(diǎn)，在這一點(diǎn)過程中，F(xiàn)l、F2分別對(duì)物體做的功W1、W2間的關(guān)系是（）
A. W1 = W2 ；B. W2＝2 W1； C. W2＝3W1；D. W2=5 W1 ；
【解析】認(rèn)為F1和F2使物體在兩段物理過程中經(jīng)過的位移、時(shí)間都相等，故認(rèn)為W1 = W2而誤選A;
而認(rèn)為后一段過程中多運(yùn)動(dòng)了一段距離而誤選B。這都反映了學(xué)生缺乏一種物理思想：那就是如何架起兩段物理過程的橋梁？很顯然，這兩段物理過程的聯(lián)系點(diǎn)是“第一段過程的末速度正是第二段過程的初速度”。由于本題雖可求出返回時(shí)的速度，但如果不注意加速度定義式中ΔV的矢量性，必然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤得到其結(jié)果v2＝0，而誤選A,其原因就是物體的運(yùn)動(dòng)有折返。
解法1：如圖,A到B作用力為F1，BCD作用力為F2,由牛頓第二定律F=ma，及勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式S=vot－½at2,勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式v0=at，設(shè)向右為正，AB=S，可得：
一S＝v0t－½a2t2=（a1t）t－½a2t2，S=0＋½a1t2；∴－½a1t2=a1t2－½a2t2；即
∴F2=3 F1
A 到 B過程F1做正功，BCB/過程F2的功抵消，B/到D過程F2做正功，即W1＝F1 S, W2=F2S，∴W2＝3W1,
解法2：設(shè)F2的方向?yàn)檎较�，F(xiàn)1作用過程位移為S，F(xiàn)1對(duì)物體做正功，由動(dòng)能定理：F1S=½mv12。
在F2作用的過程中，F(xiàn)2的位移為一S，與F2同向，物體回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)速度為v2，由動(dòng)能定理得：F2S=½mv22－½mv12。 由牛頓第二定律得 ．∴v2＝2v1，∴W2＝3W1
拓展：若該物體回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為32J，則Fl、F2分別對(duì)物體做的功W1、W2是多少？
由動(dòng)能定理得：ΔE= W1＋W2=32J，W1/W2= F1/F2，∴W1=8J；W2=24J。
3、變力做功問題
①W＝F•scosα是用計(jì)算恒力的功，若是變力，求變力的功只有通過將變力轉(zhuǎn)化為恒力，再用W＝Fscosα計(jì)算．
例5． 如圖19-B-2所示，用恒力F拉繩，使物體沿水平地面從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，AB=s圖中αβ已知（繩不可伸長(zhǎng)；不計(jì)繩滑輪質(zhì)量和滑輪摩擦）求F對(duì)物體做的功。
②有兩類不同的力：一類是與勢(shì)能相關(guān)聯(lián)的力，比如重力、彈簧的彈力以及電場(chǎng)力等，它們的功與路徑無(wú)關(guān)，只與位移有關(guān)或者說只與始末點(diǎn)的位置有關(guān)；另一類是滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力等，在曲線運(yùn)動(dòng)或往返運(yùn)動(dòng)時(shí)，這類力（大小不變）的功等于力和路程（不是位移）的積．
例6．以一定的初速度豎直向上拋出一個(gè)小球，小球上升的最大高度為ｈ，空氣阻力的大小恒為F，則從拋出到落回到拋出點(diǎn)的過程中，空氣阻力對(duì)小球做的功為 ( )
A.．零 B．－Fh C．Fh D．－2 Fh?
（功的公式中F是恒力，W功是標(biāo)量，本題中F是恒力還是變力？考查學(xué)生的理解和應(yīng)變能力。）
③根據(jù)功和能關(guān)系求變力的功．如根據(jù)勢(shì)能的變化求對(duì)應(yīng)的力做的功，根據(jù)動(dòng)能定理求變力做的功，等等．
④根據(jù)功率恒定，求變力的功，W=Pt.
⑤求出變力F對(duì)位移的平均力計(jì)算，當(dāng)變力F是位移s的線性函數(shù)時(shí)，平均力 ．
例7、 如圖3所示，在光滑的水平面上，勁度系數(shù)為k的彈簧左端固定 在豎直墻上，右端系著一小球，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)，小球位于O點(diǎn)，今用外力壓縮彈簧，使其形變量為x，當(dāng)撤去外力后，求小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力所做的功。
練習(xí)2：某人用豎直向上的力勻速提起長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的置于地面上的鐵鏈，求將鐵鏈從提起到剛提離地面時(shí)，提力所做的功？
⑥作出變力F隨位移，變化的圖象，圖象與位移軸所圍均“面積”即為變力做的功．
量為:
例8.(08寧夏理綜18)一滑塊在水平地面上沿直線滑行,t=0時(shí)其速度為1 m/s.從此刻開始滑塊運(yùn)動(dòng)方向上再施加一水平面作用力F,力F和滑塊的速度v隨時(shí)間的變化規(guī)律分別如圖a和圖b所示。設(shè)在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)力F對(duì)滑塊做的功分別為W1、W2、W3,則以下關(guān)系式正確的是（ ）
A. W1=W2=W3 B.W1<W2<W3C. W1<W3<W2D. W1=W2<W3
答案 B
解析 由v-t圖象可知第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)的力和位移均為正方向,
所以：W1〈W2〈W3.
4、作用力和反作用力的做功
作用力與反作用力同時(shí)存在，作用力做功時(shí)，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做負(fù)功，不要以為作用力與反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功數(shù)值相等，一正一負(fù)．所以作用力與反作用力做功不一定相等，但沖量的大小相等．
例9．以下說法正確的是（ ）
A．摩擦力可以對(duì)物體做正功 B．摩擦力可以使物體的速度發(fā)生變化，但對(duì)物體不做功
C．作用力與反作用力做功一定相等 D．一對(duì)平衡力做功之和為零
解析：A．摩擦力可以對(duì)物體做正功，只要摩擦力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改變物體的速度，對(duì)物體有一個(gè)沖量作用，但物體在力的方向上沒有位移，因而不做功，如隨圓板一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體．由此可以認(rèn)識(shí)到：力對(duì)物體有沖量，但不一定對(duì)物體做功，相反只要力對(duì)物體做功，一定會(huì)有沖量．又可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)：力使物體動(dòng)量發(fā)生變化，其動(dòng)能不一定變化；但力使物體動(dòng)能發(fā)生變化時(shí)，其動(dòng)量一定發(fā)生變化．c．作用力與反作用力做功不一定相等，如一炸彈炸成質(zhì)量為m與 2 m的兩塊，根據(jù)動(dòng)量守恒mv1=2mv2， 則v1=2v2，作用力和反作用力做功為W1=½m(2v2)2與W2=½mv22，所以不相等�？烧J(rèn)識(shí)到：作用力和反作用力產(chǎn)生的沖量總是大小相等，但做功可能不相等．D．一對(duì)平衡力合力為零，所以二力合力做功為零．答案：ABD
5．摩擦力的做功
A、靜摩擦力做功的特點(diǎn)
（1）靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功。
（2）在靜摩擦力做功的過程中，只有機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)移（靜摩擦力起著傳遞機(jī)械能的作用），而沒有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能．
（3）相互摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和總為零。
B．滑動(dòng)摩擦力做功的特點(diǎn)
如圖所示，上面不光滑的長(zhǎng)木板，放在光滑的水平地面上，一小木塊以速度V0從木板的左端滑上木板，當(dāng)木塊和木板相對(duì)靜止時(shí)，木板相對(duì)地面滑動(dòng)了S，小木塊相對(duì)木板滑動(dòng)了d，則由動(dòng)能定理知：
滑動(dòng)摩擦力對(duì)木塊所做功為： W木塊=一f（d＋S）……①
滑動(dòng)摩擦力對(duì)木板所做功為： W木板=fs……②
所以，木塊動(dòng)能增量為： ΔE木塊=一f（d＋s）……③
木板動(dòng)能增量為： ΔE木板=fs………④
由③④得：ΔE木塊＋ΔE木板=一fd………⑤
⑤式表明木塊和木板組成的系統(tǒng)的機(jī)械能的減少量等于滑動(dòng)摩擦力與木塊相對(duì)木板的位移的乘積。這部分減少的能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。
故滑動(dòng)摩擦力做功有以下特點(diǎn)：
1）滑動(dòng)摩擦力可以對(duì)物體做正功，也可以對(duì)物體做負(fù)功，當(dāng)然也可以不做功。
2）一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的過程中，能量的轉(zhuǎn)化有兩個(gè)方面：一是相互摩擦的物體之間機(jī)械能的轉(zhuǎn)移；二是機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量值等于滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)位移的乘積。
3）滑動(dòng)摩擦力、空氣摩擦阻力等，在曲線運(yùn)動(dòng)或往返運(yùn)動(dòng)時(shí)等于力和路程（不是位移）的乘積
例10．如圖所示，半徑為R的孔徑均勻的圓形彎管水平放置，小球在管內(nèi)以足夠大的初速度v0在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球與管壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，設(shè)從開始運(yùn)動(dòng)的一周內(nèi)小球從A到B和從B到A的過程中摩擦力對(duì)小球做功分別為W1和W2，在這一周內(nèi)摩擦力做的總功為W3，則下列關(guān)系式正確的是（ ）
A．W1＞W(wǎng)2 B．W1＝W2 C． W3＝ 0 D． W3＝W1＋W2
解析：求某一力對(duì)物體所做的功值有多種思路，對(duì)于恒力（大小、方向均不變的力）做功的情況，通常由w＝Fscosα求解．對(duì)于變力（特別是方向發(fā)生變化的力）做功的情況，一般由功能轉(zhuǎn)換關(guān)系求解．對(duì)于后一種思路，一定要正確判斷哪些力做功，在外力做功的過程中，物體（或系統(tǒng)）的能量如何發(fā)生變化，變化了多少．
小球在水平彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滑動(dòng)摩擦力始終與速度方向相反，做負(fù)功，而小球在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由外管壁對(duì)小球的彈力N提供的，由于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R始終不變，摩擦力對(duì)小球做負(fù)功，小球運(yùn)動(dòng)的速率逐漸減小，向心力減小即N減小，而f＝μN(yùn)，滑動(dòng)摩擦力f也減小，即由下列關(guān)系：
N=Fn=mv2/R m，R不變，v減小，則N減小，
f＝μN(yùn) N減小，則f減小
W=－fπR f減小，則W減小
所以W1＞W(wǎng)2
W1．W2都為負(fù)功，因此W3＝W1＋W2．答案：AD
例11．如圖所示，PQ是固定在水平桌面上的固定擋板，質(zhì)量為m的小木塊N從靠近P以一定的初速度向Q運(yùn)動(dòng)，已知物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，P與Q相距為s，物塊與Q板碰撞n次后，最后靜止于 PQ的中點(diǎn)，則整個(gè)過程摩擦力所做的功為多少？（n為自然數(shù)）
解析：物塊與Q板碰撞n次后，最后停在PQ中點(diǎn)，會(huì)有兩種可能，一種可能是與Q板碰后向P板運(yùn)動(dòng)至中點(diǎn)而停止，設(shè)與Q板碰撞n次，則物體運(yùn)動(dòng)的路程為（2n一 ）s，摩擦力所做的功為Wf1=μmg（2n一 ）s
第二種可能是物塊與Q板碰后再與P板碰撞向Q板運(yùn)動(dòng)至中點(diǎn)而停止，在這種情況下，物體運(yùn)動(dòng)的路程為（2n＋ ）s ，摩擦力所做的功為 Wf2= μmg（2n＋ ）s，兩種情況下，摩擦力對(duì)物體均做負(fù)功。
擴(kuò)展與研究：兩類不同的力，一類是與勢(shì)能相關(guān)的力，如重力、彈簧的彈力、電場(chǎng)力等，它們的功與路程無(wú)關(guān)系，只與位移有關(guān)。另一類是滑動(dòng)摩擦力，空氣阻力等，這類力做功與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。在上例中，滑動(dòng)摩擦力是一個(gè)變力，方向在變化，可轉(zhuǎn)化為恒力做功，同時(shí)滑動(dòng)摩擦力做功要看物體運(yùn)動(dòng)的路程，這是摩擦力做功的特點(diǎn)，必須牢記。
點(diǎn)評(píng)：求功的思路共有四條:（1）由功的定義．恒力做功；（2）由能量關(guān)系求解；（3）由功率的定義；（4）由動(dòng)能定理求解．
后作業(yè)
1．討論力F在下列幾種情況下做功的多少．
（1）用水平推力F推質(zhì)量是m的物體在光滑水平面上前進(jìn)了s．
（2）用水平推力F推質(zhì)量為2m的物體沿動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平面前進(jìn)了s．
（3）斜面傾角為θ，與斜面平行的推力F，推一個(gè)質(zhì)量為2m的物體沿光滑斜面向上推進(jìn)了s．（ ）
A．（3）做功最多 B．（2）做功最多 C．做功相等 D．不能確定
2．如圖4-1-10所示，兩個(gè)物體與水平地面間的動(dòng)摩擦 因數(shù)相等，它們的質(zhì)量也相等．在甲圖用力 拉物體，在乙圖用力 推物體，夾角均為 ，兩個(gè)物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，通過相同的位移．設(shè) 和 對(duì)物體所做的功為 和 ，物體克服摩擦力做的功為 和 ，下面哪組表示式是正確的（）
A． B．
C． D．
2．如圖19-B-3，物體以一定的初速度沿水平面，由A點(diǎn)滑到B點(diǎn)，摩擦力做功為W1，若該物體從A/沿兩斜面滑到B/。摩擦力做功為W2，已知物體與各接觸面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)均相同，則：( )
A．W1=W2 B.W1>W2 C．W1<W2D．不能確定
3．（93年全國(guó)高考題）小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，如圖19-A-1，從地面上看在物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對(duì)物塊的作用力（ ）
A.垂直于繼承面，做功為零
B.垂直于接觸面，做功不為零
C.不垂直于接觸面，做功為零
D.不垂直于接觸面，做功不為零
（由于運(yùn)動(dòng)具有相對(duì)性，所以要注意物塊相對(duì)地面的位移的方向。）
4． 關(guān)于摩擦力對(duì)物體做功，說法正確的是( )
A.滑動(dòng)摩擦力總是做負(fù)功?
B.滑動(dòng)摩擦力可能做負(fù)功，也可能做正功?
C.靜摩擦力對(duì)物體一定做負(fù)功?
D.靜摩擦力對(duì)物體總是做正功
5．如圖19-A-4所示，電梯與水平地面成θ角，一人站在電梯上，電梯從靜止開始勻加速上升，到達(dá)一定速度后再勻速上升．若以N表示水平梯板對(duì)人的支持力，G為人受到的重力，f為電梯對(duì)人的靜摩擦力，則下列結(jié)論正確的是 ( )
A．加速過程中f≠0，f、N、G都做功
B．加速過程中f≠0，N不做功
C．加速過程中f＝0，N、G都做功
D．勻速過程中f＝0，N、G都不做功
（該題綜合考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律和功的知識(shí)）
6. 如圖19-B-4所示，木塊A放在木塊B的左上端，用恒力F將A拉至B的右端，第一次將B固定在地面上，F(xiàn)做的功為W1；第二次讓B可以在光滑地面上自由滑動(dòng)，F(xiàn)做的功為W2，比較兩次做功，應(yīng)有： ( )
A．W1<W2 B．W1=W2C．.W1>W2D．無(wú)法比較
7. 如圖19-B-5所示，站在汽車的人用手推車的力為F，腳對(duì)車向后的摩擦力為f，當(dāng)車向前運(yùn)動(dòng)時(shí)以下說法正確的是 ( )
A.當(dāng)車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)和f對(duì)車做功的代數(shù)和為零
B.當(dāng)車加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)和f對(duì)車做的總功為負(fù)功
C.當(dāng)車減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)和f對(duì)車做的總功為正功
D.不管車做何種運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)和f對(duì)車做功的總功率都為零
8．一個(gè)傾斜放置的皮帶運(yùn)輸機(jī)工作穩(wěn)定后，將一物體 緩慢放在運(yùn)動(dòng)的皮帶上，最終物體由A位置移到B位置（如圖19-B-7）。在這段過程中，物體所受各力中： ( )
A．只有摩擦力做正功B．摩擦力一定做負(fù)功
C．重力一定做正功 D．重力一定做負(fù)功
第二節(jié) 功率
基礎(chǔ)知識(shí)
一、功率的定義: 功跟完成這些功所用時(shí)間的比值叫做功率，它表示物體做功的快慢．
二、單位：瓦（w），千瓦（kw）；
三、功率是標(biāo)量
四、公式:P＝W／t＝Fv
1．P＝W／t 所求的是這段時(shí)間內(nèi)平均功率．
2．P＝Fv當(dāng)v為平均值時(shí)為平均功率，當(dāng)v為即時(shí)值時(shí)為即時(shí)功率．
3．P＝Fv應(yīng)用時(shí)，F(xiàn)、v必須同向，否則應(yīng)分解F或v，使二者同向．這里的P=Fv實(shí)際上是Fvcosθ、θ為F、v夾角．
4．我們處理問題時(shí)必須清楚是哪一個(gè)力的功率，如一個(gè)機(jī)械的功率為P，這里指的是牽引力的功率，不可認(rèn)為是機(jī)械所受合外力的功率．
五、發(fā)動(dòng)機(jī)銘牌上的功率，是額定功率，也就是說該機(jī)正常運(yùn)行時(shí)的最大輸出功率，該機(jī)工作時(shí)輸出功率要小于或等于此值．
規(guī)律方法 1、功率的計(jì)算方法
例1．如圖所示，質(zhì)量為lkg的物體與平面間摩擦系數(shù)μ=0．l（g取10m／s2），在2 N水平拉力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)了2s，求這段時(shí)間內(nèi)拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即時(shí)功率各為多少？
解析：a= =1m／s2．s＝½at2＝2m． v＝at＝2m/s
外力 F做功功率．平均值為：p1＝W/t=Fs/t=2W 2s末即時(shí)功率為：P1/=Fv＝4 W
摩擦力做功功率．平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即時(shí)功率為：P2/=fv= 2 W
重力與支持力N由P=Fvcosθ知：功率都為0．
答案：外力F平均功率和即時(shí)功率分別為2W、4W；摩擦力平均功率和即時(shí)功率分別為1W、2W；重力和支持力功率都為0．
點(diǎn)評(píng)：（1）明確是什么力做功功率； （2）清楚是平均功率還是即時(shí)功率．
例2．如圖所示，質(zhì)量為m的物體沿高為h的光滑斜面滑下到達(dá)底端時(shí)重力的即時(shí)功率為多少？
錯(cuò)解：由機(jī)械能守恒定律可知到達(dá)底端速度v= ，所以此時(shí)功率P＝mgv=mg ：提示：這里沒有注意到mg與v的夾角，應(yīng)當(dāng)為P= mgsinθ 點(diǎn)評(píng)：做題時(shí)注意力跟速度的夾角．
例3．一個(gè)小孩站在船頭，按應(yīng)當(dāng)為圖5—15兩種情況用同樣大小力拉繩，經(jīng)過相同的時(shí)間t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在時(shí)間t內(nèi)小孩拉繩的功率 P1、P2的關(guān)系為（ ）
A．W1＞W(wǎng)2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2
C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2
提示：兩種情況中拉力對(duì)人做的功一樣，第二種情況拉力除對(duì)人做功外，又對(duì)另一只小船也做了功，所以W2＞W(wǎng)1．由于所用時(shí)間一樣，所以P2＞P1． 答案：C
點(diǎn)評(píng)：應(yīng)弄清哪一個(gè)力對(duì)哪一個(gè)物體做功，其功率是什么
2、兩種功率
例4、質(zhì)量為2千克的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)。在下落過程中，頭2秒內(nèi)重力的功率是________J，第2秒末重力的功率是 ，第2秒內(nèi)重力的功率是_________W。(g取10m/s2)
例5．從空中以10m/s的初速度平拋一個(gè)質(zhì)量為1kg的物體，物體在空中運(yùn)動(dòng)了3s后落地，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s，求物體3s內(nèi)重力的平均功率和落地時(shí)的瞬時(shí)功率。
例6．（1994年上海高考題）跳繩是一種健身運(yùn)動(dòng)。設(shè)某運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量是50kg，他一分鐘跳繩180次。假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時(shí)間占跳躍一次所需時(shí)間的2/5，則該運(yùn)動(dòng)員跳繩時(shí)克服重力做功的平均功率是 （g取10m/s2）
解析：把運(yùn)動(dòng)員每次跳躍轉(zhuǎn)換成質(zhì)點(diǎn)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)模型。每次跳躍總時(shí)間
T＝60/180＝1/3s． 每次騰空的時(shí)間t= （l一 ）=0．02s。
每次騰空高度 h=½g（t/2）2=½×10×（0．02/2）2＝0．05m。
每次騰空上升時(shí)克服重力做的功 W=mgh=50×10×0．05＝25J。
把每次跳躍總時(shí)間T內(nèi)的觸地過程、下落過程舍棄，簡(jiǎn)化成在T內(nèi)就是單一豎直上升克服重力做功的過程，故可解出 P＝W/T＝25／（1/3）=75 W。
點(diǎn)評(píng)：綜上所述不難發(fā)現(xiàn)，靈活地轉(zhuǎn)換物理模型是一種重要的物理思想方法。學(xué)會(huì)這種方法，就會(huì)使我們?cè)诮鉀Q物理問題時(shí)變得從容自如，巧解速解物理問題，從而提高學(xué)習(xí)的效率。
例7．若某人的心臟每分鐘跳動(dòng)75次，心臟收縮壓為135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收縮一次輸出血量平均為70ml，那么心臟收縮時(shí)的平均功率有多大？
解析：心臟收縮一次做功：W=P•ΔV
∵P=135mmHg＝1．8×104Pa ΔV＝70ml＝7×10－5m3
∴W＝1．8×104Pa×7×10－5m3＝1．26J ∴每分鐘，心臟做功W/=75×1．26=94．5J
∴心臟收縮時(shí)平均功率為 =94．5/60=1．6W
3、汽車起動(dòng)問題分析
（1）以恒定功率起動(dòng)： 汽車從靜止開始以額定功率起動(dòng)，開始時(shí)由于汽車的速度很小，由公式P=Fv知：牽引力F較大，因而由牛頓第二定律F-f=ma知，汽車的加速度較大．隨著時(shí)間的推移，汽車的速度將不斷增大，牽引力F將減小，加速度減小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽車的速度仍在不斷增大，牽引力將繼續(xù)減小，直至汽車的牽引力F和阻力f相平衡為止． 汽車的牽引力F和阻力f平衡時(shí)，F(xiàn)-f=0，加速度a＝0，汽車的速度達(dá)到最大值vm ．汽車的運(yùn)動(dòng)形式是做加速度越越小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)．其速度-時(shí)間圖像如圖所示．
(2) 由于牽引力F恒定，根據(jù)牛頓第二定律F-f=ma，可知：加速度a恒定，汽車作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的推移，實(shí)際功率將不斷增大．由于汽車的實(shí)際功率不能超過其額定功率，汽車的勻加速直線運(yùn)動(dòng)只能維持到其實(shí)際功率等于其額定功率時(shí)，此時(shí)汽車的速度達(dá)到它勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段的最大速度v1m，其后汽車只能以額定功率起動(dòng)的方式進(jìn)行再加速，其運(yùn)動(dòng)方式和第一種起動(dòng)形式完全相同．即汽車?yán)^續(xù)做加速度越越小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，直至汽車進(jìn)入勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，速度達(dá)到最終的最大速度vm．汽車的起動(dòng)過程經(jīng)歷了兩階段：一是勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段，二是變加速直線運(yùn)動(dòng)階段，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)．其速度-時(shí)間圖像如圖4-1-4所示．
例8、額定功率為 的汽車在平直公路上行駛時(shí)，其最大速度可達(dá)到 ，汽車的質(zhì)量為 。如果從靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)中阻力不變，加速度為 ，求：
（1）汽車所受阻力；（2）這個(gè)勻加速過程能維持多長(zhǎng)時(shí)間；
（3）第3秒末汽車的瞬時(shí)功率；（4）汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，發(fā)動(dòng)機(jī)做的功。
例9．一輛汽車在平直的公路上以速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時(shí)間t，前進(jìn)了距離s，此時(shí)恰好達(dá)到其最大速度Vm.設(shè)此過程中汽車發(fā)動(dòng)機(jī)始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力恒定為F，則在這段時(shí)間里，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為（ ）
A、Fvmt；B、Pt；C、½mvm2＋Fs－½mv02；D、 ；
解析：汽車在恒定功率作用做變牽引力的加速運(yùn)動(dòng)，所以發(fā)動(dòng)機(jī)做功為變力做功，根據(jù)P=W/t可求得W=Pt，而P=F/v=Fvm，所以W= Fvm t；根據(jù)能量守恒：W＋½mv02=½mvm2＋Fs
所以W=½mvm2＋Fs－½mv02；答案：ABC
思考：為何用 得到 不正確？錯(cuò)在哪里？
4、實(shí)際問題中的功率
例10．推動(dòng)節(jié)水工程的轉(zhuǎn)動(dòng)噴水“龍頭”。如圖所示，龍頭距地面h，其噴灌半徑可達(dá)10h，每分鐘噴水質(zhì)量為m，所用水從地面下H的井中抽取，設(shè)水以相同的速率噴出，水泵的效率為η，水泵的功率P至少多大？
解析:水泵對(duì)水做功，用增大水的重力勢(shì)能和動(dòng)能．
設(shè)水噴出時(shí)速度為v，則h=½gt2,10h=vt;解得
每分鐘內(nèi)水泵對(duì)水做的功W＝mg（H＋h）＋½mv2=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴
后作業(yè)
1、一輛汽車從靜止開始做加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中汽車牽引力的功率保持不變，所受阻力恒定，行駛2min速度達(dá)到10m/s，那么該汽車在這段時(shí)間內(nèi)行駛的距離為
A、一定大于600m B、一定小于600m
C、一定等于600m D、可能等于1200m
2、（1998年上海市高考題）人的心臟每跳一次大約輸送體積8×10－5m3的血液，正常人的血壓為1.5×104Pa。若某人心跳70次/分鐘，則他的心臟工作的平均功率多大？
3、（1994年上海市高考題）某運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量50kg，一分鐘跳繩180次，每次跳躍中腳與地面接觸時(shí)間為一次跳躍時(shí)間的2/5，則該運(yùn)動(dòng)員跳繩是克服重力做功平均功率為多少。
4、（2008北京卷23題）風(fēng)能將成為21世紀(jì)大規(guī)模開發(fā)的一種可再生清潔能。風(fēng)力發(fā)電機(jī)是將風(fēng)能（氣流的動(dòng)能）轉(zhuǎn)化為電能的裝置，其主要部包括風(fēng)輪機(jī)、齒輪箱、發(fā)電機(jī)等，如圖所示。風(fēng)輪機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)所掃過的面積為風(fēng)力發(fā)電機(jī)可接受風(fēng)能的面積。設(shè)空氣密度為ρ，氣流速度為v，風(fēng)輪葉片長(zhǎng)度為r。求單位時(shí)間內(nèi)流向風(fēng)輪機(jī)的最大風(fēng)能Pm
5、汽車在平直公路上做加速運(yùn)動(dòng), 下列說法中正確的是
A．若汽車運(yùn)動(dòng)的加速度不變,則發(fā)動(dòng)機(jī)的功率不變.
B．若汽車運(yùn)動(dòng)的加速度不變,則發(fā)動(dòng)機(jī)的功率不斷增大.
C．若汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率不變, 則汽車運(yùn)動(dòng)的加速度不變.
D．若汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率不變, 則汽車運(yùn)動(dòng)的加速度不斷減小.
6、質(zhì)量為 m 的汽車，啟動(dòng)后沿平直路面行駛，如果發(fā)動(dòng)機(jī)的功率恒為P,且行駛過程中受到的摩擦阻力大小一定，汽車速度能夠達(dá)到的最大值為v，那么當(dāng)汽車的車速 為v/4時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度的大小為
A、P/mv B、2P/mv C、3P/mv D、4p/mv
7、質(zhì)量為2千克的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)。在下落過程中，頭2秒內(nèi)重力的功率是________J，第2秒內(nèi)重力的功率是_________W。(g取10m/s2)
8、升降機(jī)吊起重為1.4×104N的貨物，貨物以0.5m/s的速度勻速上升。這時(shí)升降機(jī)提升貨物做功的功率是____________W。
第三節(jié) 動(dòng)能 動(dòng)能定理
基礎(chǔ)知識(shí)一、動(dòng)能
如果一個(gè)物體能對(duì)外做功，我們就說這個(gè)物體具有能量．物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能． Ek＝½mv2，其大小與參照系的選取有關(guān)．動(dòng)能是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量．是相對(duì)量。
二、動(dòng)能定理
做功可以改變物體的能量．所有外力對(duì)物體做的總功等于物體動(dòng)能的增量．
W1＋W2＋W3＋……＝½mvt2－½mv02
1．反映了物體動(dòng)能的變化與引起變化的原因——力對(duì)物體所做功之間的因果關(guān)系．可以理解為外力對(duì)物體做功等于物體動(dòng)能增加，物體克服外力做功等于物體動(dòng)能的減�。哉κ羌犹�(hào)，負(fù)功是減號(hào)。
2．“增量”是末動(dòng)能減初動(dòng)能．ΔE＞0表示動(dòng)能增加，ΔE＜0表示動(dòng)能減小．
3、動(dòng)能定理適用單個(gè)物體，對(duì)于物體系統(tǒng)尤其是具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體系統(tǒng)不能盲目的應(yīng)用動(dòng)能定理．由于此時(shí)內(nèi)力的功也可引起物體動(dòng)能向其他形式能（比如內(nèi)能）的轉(zhuǎn)化．在動(dòng)能定理中．總功指各外力對(duì)物體做功的代數(shù)和．這里我們所說的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力等．
4．各力位移相同時(shí)，可求合外力做的功，各力位移不同時(shí)，分別求力做功，然后求代數(shù)和．
5．力的獨(dú)立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律的分量表達(dá)式．但動(dòng)能定理是標(biāo)量式．功和動(dòng)能都是標(biāo)量，不能利用矢量法則分解．故動(dòng)能定理無(wú)分量式．在處理一些問題時(shí)，可在某一方向應(yīng)用動(dòng)能定理．
6．動(dòng)能定理的表達(dá)式是在物體受恒力作用且做直線運(yùn)動(dòng)的情況下得出的．但它也適用于變?yōu)榧拔矬w作曲線運(yùn)動(dòng)的情況．即動(dòng)能定理對(duì)恒力、變力做功都適用；直線運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)也均適用．
7．對(duì)動(dòng)能定理中的位移與速度必須相對(duì)同一參照物．
三、由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推出動(dòng)能定理
設(shè)物體的質(zhì)量為m，在恒力F作用下，通過位移為S，其速度由v0變?yōu)関t，
則：根據(jù)牛頓第二定律F=ma……① 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式2as=vt2一v02……②
由①②得：FS=½mvt2－½mv02
四．應(yīng)用動(dòng)能定理可解決的問題
恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，凡不涉及加速度和時(shí)間的問題，利用動(dòng)能定理求解一般比用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解要簡(jiǎn)單的多．用動(dòng)能定理還能解決一些在中學(xué)應(yīng)用牛頓定律難以解決的變力做功的問題、曲線運(yùn)動(dòng)等問題．
例1.如圖所示，質(zhì)量為m的物體與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的摩擦系數(shù)為μ，物體與轉(zhuǎn)軸間距離為R，物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到某值時(shí)，物體開始在轉(zhuǎn)臺(tái)上滑動(dòng)，此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)已開始勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這過程中摩擦力對(duì)物體做功為多少？
解析：物體開始滑動(dòng)時(shí)，物體與轉(zhuǎn)臺(tái)間已達(dá)到最大靜摩擦力，這里認(rèn)為就是滑動(dòng)摩擦力μmg．
根據(jù)牛頓第二定律μmg=mv2/R……① 由動(dòng)能定理得：W=½mv2 ……②
由①②得：W=½μmgR，所以在這一過程摩擦力做功為½μmgR
點(diǎn)評(píng)：（1）一些變力做功，不能用 W＝ FScosθ求，應(yīng)當(dāng)善于用動(dòng)能定理．
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理解題時(shí)，在分析過程的基礎(chǔ)上無(wú)須深究物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過程中變化的細(xì)節(jié)，只須考慮整個(gè)過程的功量及過程始末的動(dòng)能．若過程包含了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的分過程．即可分段考慮，也可整個(gè)過程考慮．但求功時(shí)，有些力不是全過程都作用的，必須根據(jù)不同情況分別對(duì)待求出總功．計(jì)算時(shí)要把各力的功連同符號(hào)（正負(fù)）一同代入公式．
例2.如圖所示，質(zhì)量為m的鉛球從離地面h的高處由靜止開始下落，落到地面后陷入泥潭，下沉的深度是s，試求泥潭對(duì)鉛球的平均作用力。
解法一：運(yùn)動(dòng)公式結(jié)合牛頓第二定律
解法二：分段用動(dòng)能定理，引進(jìn)中間速度
解法三：整段用動(dòng)能定理
——一題多解，應(yīng)用動(dòng)能定理的基本思路和優(yōu)勢(shì)。
規(guī)律方法 1、動(dòng)能定理應(yīng)用的基本步驟
應(yīng)用動(dòng)能定理涉及一個(gè)過程，兩個(gè)狀態(tài)．所謂一個(gè)過程是指做功過程，應(yīng)明確該過程各外力所做的總功；兩個(gè)狀態(tài)是指初末兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能．
動(dòng)能定理應(yīng)用的基本步驟是：
①選取研究對(duì)象，明確并分析運(yùn)動(dòng)過程．
②分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個(gè)力是否做功？在哪段位移過程中做功？正功？負(fù)功？做多少功？求出代數(shù)和．
③明確過程始末狀態(tài)的動(dòng)能Ek1及E2
④列方程 W=E2一Ek1，必要時(shí)注意分析題目的潛在條，補(bǔ)充方程進(jìn)行求解．
例3．一質(zhì)量為lkg的物體被人用手由靜止向上提升1m時(shí)物體的速度是 ，下列說法中錯(cuò)誤的是(g取l0rn/s2)； ( )
A．提升過程中手對(duì)物體做功12J
B．提升過程中合外力對(duì)物體做功12J
C．提升過程中手對(duì)物體做功２Ｊ
D．提升過程中物體克服重力做功l０J
練習(xí)1。在離地面高度為h處豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量為m的物體，拋出時(shí)的速度為v0，當(dāng)它落到地面時(shí)的速度為v，用g表示重力加速度，則在此過程中物塊克服空氣阻力做的功為
A、 B、
C、 D、
例4. 2010•全國(guó)卷Ⅱ•24如圖，NP 為整直面內(nèi)一固定軌道，其圓弧段N與水平段NP相切于N、P端固定一豎直擋板。相對(duì)于N的高度為h，NP長(zhǎng)度為s.一木塊自端從靜止開始沿軌道下滑，與擋板發(fā)生一次完全彈性碰撞后停止在水平軌道上某處。若在N段的摩擦可忽略不計(jì)，物塊與NP段軌道間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求物塊停止的地方與N點(diǎn)距離的可能值。
【答案】物塊停止的位置距N的距離可能為 或
【解析】根據(jù)功能原理，在物塊從開始下滑到停止在水平軌道上的過程中，物塊的重力勢(shì)能的減少 與物塊克服摩擦力所做功的數(shù)值相等。
①
設(shè)物塊的質(zhì)量為m，在水平軌道上滑行的總路程為s′，則
②
③
連立①②③化簡(jiǎn)得
④
第一種可能是：物塊與彈性擋板碰撞后，在N前停止，則物塊停止的位置距N的距離為
⑤
第一種可能是：物塊與彈性擋板碰撞后，可再一次滑上光滑圓弧軌道，滑下后在水平軌道上停止，則物塊停止的位置距N的距離為
⑥
所以物塊停止的位置距N的距離可能為 或 。
練習(xí)2、（2004年遼寧）如圖所示，ABCD是一個(gè)盆式容器，盆內(nèi)側(cè)壁與盆底BC的連接處是一段與BC相切的圓弧，B、C為水平的，其距離d=0.50m。盆邊緣的高度為h=0.30m。在A處放一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊并讓其從靜止出發(fā)下滑。已知盆內(nèi)側(cè)壁是光滑的，而盆底BC因與小物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10。小物塊在盆內(nèi)回滑動(dòng)，最后停下，則停的地點(diǎn)到B的距離為（ ）
A. 0.50m B. 0.25m C. 0.10m D. 0
： 解決由摩擦的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，用動(dòng)能定理很便捷。
2、應(yīng)用動(dòng)能定理的優(yōu)越性
(1)由于動(dòng)能定理反映的是物體兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對(duì)由初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)這一過程中物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應(yīng)用動(dòng)能定理不受這些問題的限制．
(2)一般說，用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求解的問題，用動(dòng)能定理也可以求解，而且往往用動(dòng)能定理求解簡(jiǎn)捷．可是，有些用動(dòng)能定理能夠求解的問題，應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)卻無(wú)法求解．可以說，熟練地應(yīng)用動(dòng)能定理求解問題，是一種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強(qiáng)用動(dòng)能定理解題的主動(dòng)意識(shí)．
(3)用動(dòng)能定理可求變力所做的功．在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動(dòng)能定理求解．
例5．如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力為某個(gè)值F時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時(shí)，物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2R，則外力對(duì)物體所做的功的大小是:
解析:設(shè)當(dāng)繩的拉力為F時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v1，則有F=mv12/R……①
當(dāng)繩的拉力減為F/4時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v2,則有F/4=mv22/2R……②
在繩的拉力由F減為F/4的過程中，繩的拉力所做的功為W=½mv22－½mv12=－¼FR
所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4,A選項(xiàng)正確．
說明:用動(dòng)能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法．
練習(xí)3、如圖所示，一質(zhì)量為 的小球 ，用長(zhǎng)為 的輕繩懸掛于 點(diǎn)，小球在水平力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)，緩慢移動(dòng)到Q點(diǎn)，則力F所做的功為（ ）
A． B． C． D．
3、應(yīng)用動(dòng)能定理要注意的問題
注意1．由于動(dòng)能的大小與參照物的選擇有關(guān)，而動(dòng)能定理是從牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出，因此應(yīng)用動(dòng)能定理解題時(shí)，動(dòng)能的大小應(yīng)選取地球或相對(duì)地球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體作參照物確定．
例6．如圖所示質(zhì)量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上一塊原靜止在水平面上的木板，木板質(zhì)量為4kg，木板與水平面間動(dòng)摩擦因數(shù)是0.02，經(jīng)過2S以后，木塊從木板另一端以1m/s相對(duì)于地的速度滑出，g取10m／s，求這一過程中木板的位移．
解析：設(shè)木塊與木板間摩擦力大小為f1，木板與地面間摩擦力大小為f2．
對(duì)木塊：一f1t=mvt一mv0，得f1=2 N
對(duì)木板：（fl－f2）t＝v,f2＝μ（m＋ ）g
得v＝0．5m/s 對(duì)木板：（fl－f2）s=½v2，得 S=0•5 m 答案：0．5 m
注意2．用動(dòng)能定理求變力做功，在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscosα求出變力做功的值．此時(shí)可由其做功的結(jié)果——?jiǎng)幽艿淖兓笞優(yōu)镕所做的功．
例7．質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某一時(shí)刻小球通過軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg,此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周恰能通過最高點(diǎn)，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（）
A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR
解析:小球在圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)時(shí),設(shè)速度為v1,則7mg－mg=mv12/R……①
設(shè)小球恰能過最高點(diǎn)的速度為v2,則mg=mv22/R……②
設(shè)設(shè)過半個(gè)圓周的過程中小球克服空氣阻力所做的功為W,由動(dòng)能定理得:－mg2R－W=½mv22－½mv12……③
由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C
說明：該題中空氣阻力一般是變化的，又不知其大小關(guān)系，故只能根據(jù)動(dòng)能定理求功，而應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)初、末兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能又要根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)求得不能直接套用，這往往是該類題目的特點(diǎn)．
4、動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用
動(dòng)能定理和動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律的綜合應(yīng)用是力學(xué)問題的難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)，解決這類問題關(guān)鍵是分清哪一過程中動(dòng)量守恒，哪一過程中應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量定理
例8．某地強(qiáng)風(fēng)的風(fēng)速約為v=20m/s,設(shè)空氣密度ρ=1.3kg/m3,如果把通過橫截面積=20m2風(fēng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電能,則利用上述已知量計(jì)算電功率的公式應(yīng)為P=_________,大小約為_____W(取一位有效數(shù)字)
Ek=子 P=
例9。兩個(gè)人要將質(zhì)量＝1000 kg的小車沿一小型鐵軌推上長(zhǎng)L＝5 m,高h(yuǎn)＝1 m的斜坡頂端．已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0.12倍，兩人能發(fā)揮的最大推力各為800 N.水平軌道足夠長(zhǎng)，在不允許使用別的工具的情況下，兩人能否將車剛好推到坡頂？如果能應(yīng)如何辦？（要求寫出分析和計(jì)算過程）（g取10 m/s 2）
解析:小車在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力f
f＝μg＝0.12×1000×10N=1200 N
兩人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N
F＞f,人可在水平軌道上推動(dòng)小車加速運(yùn)動(dòng)，但小車在斜坡上時(shí)f＋gsinθ＝1200 N＋10000•1/5N＝3200 N＞F=1600 N
可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂．
若兩人先讓小車在水平軌道上加速運(yùn)動(dòng)，再?zèng)_上斜坡減速運(yùn)動(dòng)，小車在水平軌道上運(yùn)動(dòng)最小距離為s
（F一f）s十FL一fL一gh=0
答案:能將車剛好推到坡頂，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．
例10、（2010金華模擬）如圖，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩懸于O點(diǎn)，與O點(diǎn)處于同一水平線上的P點(diǎn)處有一個(gè)光滑的細(xì)釘，已知OP=L/2，在A點(diǎn)給小球一個(gè)水平向左的初速度v0，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達(dá)跟P點(diǎn)在同一豎直線上的最高點(diǎn)B。則：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率？
（2）若不計(jì)空氣阻力，則初速度v0為多少？
（3）若初速度v0=3gL ，則在小球從A到B的過程中克服空氣阻力做了多少功？
例11、（2008年西城二模，22）
后作業(yè)
1、（03上海）一個(gè)質(zhì)量為0.3kg的彈性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墻上，碰撞后小球沿相反的方向運(yùn)動(dòng)，反彈后的速度大小與碰撞前相同，則碰撞前后小球速度的變化量△v和碰撞過程中墻對(duì)小球的做功的大小W為
A、△v=0 B、△v=12m/s
C、 W=0 D、W=10.8J
2、如圖所示，光滑水平桌面上開了一個(gè)小孔，穿一根細(xì)繩．繩一端系一個(gè)小 球，另一端用大小為F的力拉繩，維持小球在水平面上作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)在緩慢地拉繩，使圓周半徑逐漸減�。�(dāng)拉力變?yōu)?F時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)半徑變?yōu)閞/2在此過程中拉力對(duì)小球所做的功是（ ）
A．零B． C． D．
3、（04北京）被豎直上拋的物體的初速度與回到拋出點(diǎn)時(shí)速度大小之比為 ，而空氣阻力在運(yùn)動(dòng)過程中大小不變，則重力與空氣阻力的大小之比為 （ ）
A． B． C． D．
4、（2000年全國(guó)高考題）如圖所示，DO是水平面，AB是斜面。初速度為 的物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DBA滑動(dòng)到頂點(diǎn)A時(shí)速度剛好為零；如果斜面改為AC，讓物體從D點(diǎn)出發(fā)剛好能沿DCA滑到A點(diǎn)，則物體具有的初速度（已知物體與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同且不為零，不計(jì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)B點(diǎn)或C點(diǎn)的機(jī)械能損失）（ ）
A． 大于 B． 等于
C． 小于 D．取決于斜面的傾角
5、質(zhì)量為 的汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率恒為 ，摩擦阻力恒為 ，牽引力為 。汽車由靜止開始，經(jīng)過時(shí)間 行駛了位移 時(shí)，速度達(dá)到最大值 ，則發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為 （ ）
A． B． C． D．
6、如圖所示，斜面傾角為θ，滑塊質(zhì)量為m，滑塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，從距擋板為s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行.設(shè)重力沿斜面的分力大于滑動(dòng)摩擦力，且每次與P碰撞前后的速度大小保持不變，斜面足夠長(zhǎng).求滑塊從開始運(yùn)動(dòng)到最后停止滑行的總路程s.
7、如圖所示，質(zhì)量為m的小球由光滑斜軌道自由下滑后，接著又在一個(gè)與斜軌道相連的豎直的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，阻力不計(jì)，求：⑴小球至少應(yīng)從多高的地方滑下，才能達(dá)到圓環(huán)頂端而不離開圓環(huán) ⑵小球到達(dá)圓環(huán)底端時(shí)，作用于環(huán)底的壓力
8、質(zhì)量為m的物塊從高為h的斜面上的A處下滑，又在同樣的水平面上滑行S后靜止于B處。已知斜面的傾角為θ，物塊由斜面到水平面時(shí)圓滑過渡。求物塊與接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。
9、某人質(zhì)量為m，從平臺(tái)上跳下，下落2m后雙腳觸地，接著曲腿使重心下降0.5m，問腳受到的地面的作用力是重力的多少倍？
10、一小球從H高處由靜止下落，與地面碰后又彈起。如球與地面碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，球下落和上升過程中所受空氣阻力都是球重的0.2倍，那么球由開始下落到最后靜止總共通過的路程是多少？
11、質(zhì)量為m=1kg的木塊靜止在高h(yuǎn)=1.2m的平臺(tái)上，木塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，用水平推力F=20N使木塊產(chǎn)生位移L1=3m，之后撤去推力，木塊又滑行L2=1m飛出平臺(tái)，求木塊落地時(shí)速度的大��？
12．質(zhì)量 的物體以50J的初動(dòng)能在粗糙的水平地面上滑行， 其動(dòng)能與位移關(guān)系如圖4－2－8所示，則物體在水平面上的滑行時(shí)間 為( )
A． B． C． D．2s
第四節(jié) 機(jī)械能守恒定律
基礎(chǔ)知識(shí)
一、重力勢(shì)能
1．由物體間的相互作用和物體間的相對(duì)位置決定的能叫做勢(shì)能．如重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、電勢(shì)能等．
（1）物體由于受到重力作用而具有重力勢(shì)能，表達(dá)式為 EP= mgh．式中h是物體到零重力勢(shì)能面的高度．
（2）重力勢(shì)能是物體與地球系統(tǒng)共有的．只有在零勢(shì)能參考面確定之后，物體的重力勢(shì)能才有確定的值。重力勢(shì)能的負(fù)號(hào)不表示方向，表示比零勢(shì)能參考面的勢(shì)能小，顯然零勢(shì)能參考面選擇的不同，同一物體在同一位置的重力勢(shì)能的多少也就不同，所以重力勢(shì)能是相對(duì)的．通常在不明確指出的情況下，都是以地面為零勢(shì)面的．但應(yīng)特別注意的是，當(dāng)物體的位置改變時(shí)，其重力勢(shì)能的變化量與零勢(shì)面如何選取無(wú)關(guān)．在實(shí)際問題中我們更會(huì)關(guān)心的是重力勢(shì)能的變化量．
（3）．重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系：重力做正功，重力勢(shì)能就減少；重力做負(fù)功，或者物體克服重力做功，重力勢(shì)能就增加
重力做的功等于重力勢(shì)能減少量 WG=ΔEP減=EP初一EP末
特別應(yīng)注意：重力做功只能使重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，不能引起物體機(jī)械能的變化．
二、彈性勢(shì)能：
1．定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量．
2．彈性勢(shì)能的變化與彈力做功的關(guān)系，與重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系相類似：彈力做正功，物體的彈性勢(shì)能就減少；彈力做負(fù)功，或者叫外力克服彈力做功，物體的彈性勢(shì)能就增加．（說明：物體的彈性勢(shì)能的大小與物體的、發(fā)生彈性形變的大小等有關(guān)．）
彈簧彈力做的功等于彈性勢(shì)能減少量
三、機(jī)械能：動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱機(jī)械能，即：機(jī)械能=動(dòng)能＋重力勢(shì)能＋彈性勢(shì)能
例1．如圖所示，桌面高地面高H，小球自離桌面高h(yuǎn)處由靜止落下，不計(jì)空氣阻力，則小球觸地的瞬間機(jī)械能為（設(shè)桌面為零勢(shì)面）（ ）
A．mgh； B．mgH；C．mg（H＋h）； D．mg（H－h(huán)）
解析：這一過程機(jī)械能守恒，以桌面為零勢(shì)面，E初=mgh，所以著地時(shí)也為mgh，有的學(xué)生對(duì)此接受不了，可以這樣想，E初=mgh ，末為 E末=½mv2－mgH，而½mv2=mg（H＋h）由此兩式可得：E末=mgh 答案：A
四、機(jī)械能守恒定律
1、內(nèi)容：在只有重力（或系統(tǒng)內(nèi)彈力）做功的情形下，物體的重力勢(shì)能（或彈性勢(shì)能）和動(dòng)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變。
2.機(jī)械能守恒的條
（1)對(duì)某一物體，若只有重力（或彈簧彈力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代數(shù)和為零），則該物體機(jī)械能守恒．
(2）對(duì)某一系統(tǒng)，物體間只有動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)和外界沒有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒有轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪�，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒．
3．表達(dá)形式：E1＋Epl=Ek2＋EP2
（1）我們解題時(shí)往往選擇的是與題目所述條或所求結(jié)果相關(guān)的某兩個(gè)狀態(tài)或某幾個(gè)狀態(tài)建立方程式．此表達(dá)式中EP是相對(duì)的．建立方程時(shí)必須選擇合適的零勢(shì)能參考面．且每一狀態(tài)的EP都應(yīng)是對(duì)同一參考面而言的．
（2）其他表達(dá)方式，ΔEP=一ΔE，系統(tǒng)勢(shì)能的增量等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少量．
（3）ΔEa=一ΔEb，將系統(tǒng)分為a、b兩部分，a部分機(jī)械能的增量等于另一部分b的機(jī)械能的減少量，
三、判斷機(jī)械能是否守恒
首先應(yīng)特別提醒注意的是，機(jī)械能守恒的條絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飛的子彈打入靜止在光滑水平面上的木塊內(nèi)的過程中，合外力的功及合外力都是零，但系統(tǒng)在克服內(nèi)部阻力做功，將部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，因而機(jī)械能的總量在減少．
（1)用做功判斷：分析物體或物體受力情況（包括內(nèi)力和外力），明確各力做功的情況，若對(duì)物體或系統(tǒng)只有重力或彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒；
(2）用能量轉(zhuǎn)化判定：若物體系中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無(wú)機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系機(jī)械能守恒．
（3）對(duì)一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除非題目的特別說明，機(jī)械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過程機(jī)械能不守恒
（4）大多數(shù)情況下勻速運(yùn)動(dòng)不守恒，有摩擦不守恒
例2．對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，下面說法正確的是（ ）
A．受到合外力為零時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．系統(tǒng)受到除重力彈力以外的力做功為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
C．只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力彈力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
D．除重力彈力以外的力只要對(duì)系統(tǒng)作用，則系統(tǒng)的機(jī)械能就不守恒
解析：A，系統(tǒng)受到合外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，但機(jī)械能就不一定守恒， 答案：C
【例3】如圖所示，在光滑的水平面上放一質(zhì)量為＝96．4kg的木箱，用細(xì)繩跨過定滑輪O與一質(zhì)量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長(zhǎng)AO＝8m，OA繩與水平方向成300角，重物距地面高度h=3m，開始時(shí)讓它們處于靜止?fàn)顟B(tài)．不計(jì)繩的質(zhì)量及一切摩擦，g取10 m／s2，將重物無(wú)初速度釋放，當(dāng)它落地的瞬間木箱的速度多大？
解析：本題中重物m和水箱動(dòng)能均于重物的重力勢(shì)能，只是m和的速率不等．
根據(jù)題意，m，和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選取水平面為零勢(shì)能面，有mgh＝½mv ＋½v
從題中可知，O距之間的距離為 h/＝Oasin300＝4 m
當(dāng)m落地瞬間，OA繩與水平方向夾角為α，則cosα= =4/5
而m的速度vm等于v沿繩的分速度，如圖5—55所示，則有 vm＝vcosα
所以，由式①一③得v= m/s 答案： m/ s
四．機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律的區(qū)別：
動(dòng)量守恒是矢量守恒，守恒條是從力的角度，即不受外力或外力的和為零。機(jī)械能守恒是標(biāo)量守恒，守恒條是從功的角度，即除重力、彈力做功外其他力不做功。確定動(dòng)量是否守恒應(yīng)分析外力的和是否為零，確定系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒應(yīng)分析外力和內(nèi)力做功，看是否只有重力、系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。還應(yīng)注意，外力的和為零和外力不做功是兩個(gè)不同的概念。所以，系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)動(dòng)量不一定守恒；動(dòng)量守恒時(shí)機(jī)械能也不一定守恒。
例4。如圖所示裝置，木塊B與水平面的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短．現(xiàn)將子彈、木塊和彈簧合在一起作為研究對(duì)象（系統(tǒng)），則此系統(tǒng)在子彈射入木塊到彈簧壓縮至最短的整個(gè)過程中（ ）
A．動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒 B．動(dòng)量不守恒，機(jī)械能不守恒
C．動(dòng)量守恒、機(jī)械能不守恒 D．動(dòng)量不守恒、機(jī)械能守恒
解析：在力學(xué)中，給定一個(gè)系統(tǒng)后，這個(gè)系統(tǒng)經(jīng)某一過程兵動(dòng)量和機(jī)械能是否守恒，要看是否滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒條．在這個(gè)過程中，只要系統(tǒng)不受外力作用或合外力為零（不管系統(tǒng)內(nèi)部相互作用力如何）動(dòng)量必然守恒．但在子彈、木塊、彈簧這個(gè)系統(tǒng)中，由于彈簧的壓縮，墻對(duì)彈簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，若選取子彈，木塊為系統(tǒng)，在子彈射入木塊過程中，因t很短，彈簧還不及壓縮，或認(rèn)為內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力（彈力），系統(tǒng)動(dòng)量守恒．在這個(gè)過程中，外力 F、N、 mg不做功．系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，子彈打入木塊的過程中，有摩擦力做功，有機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化．因此機(jī)械能不守恒（若取子彈打入B后，A、B一起壓縮彈簧的過程，系統(tǒng)只有彈力做功，機(jī)械能守恒）．答案：B
由上述分析可知，判定系統(tǒng)動(dòng)量，機(jī)械能是否守恒的關(guān)鍵是明確守恒條和確定哪個(gè)過程．
例5。兩個(gè)完全相同的質(zhì)量均為m的沿塊A和B，放在光滑水平面上，滑塊A與輕彈簧相連，彈簧另一端固定在墻上，當(dāng)滑塊B以v0的初速度向滑塊A運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示，碰A后不再分開，下述正確的是（ ）
A．彈簧最大彈性勢(shì)能為½mv02 B．彈簧最大彈性勢(shì)能為¼mv02
C．兩滑塊相碰以及以后一起運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．兩滑塊相碰以及以后一起運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒
解析：兩滑決的運(yùn)動(dòng)應(yīng)分兩階段，第一階段兩滑決相碰，由于碰后兩滑塊一起運(yùn)動(dòng)，有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．機(jī)械能不守恒，但動(dòng)量守恒．因此有： mv0=（m十m）v 所以v=½v0
第二階段，兩滑塊一起在彈簧力作用下回振動(dòng)，此時(shí)只有彈簧力做功，機(jī)械能守恒．但在此過程系統(tǒng)外力沖量不為零，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，因此有： EP＋½（m＋m）v2/2=½（m＋m）v2
所以彈性勢(shì)能最大為v/2＝0時(shí)，所以EP =¼mv ． 答案：B
五.機(jī)械能守恒定律與動(dòng)能定理的區(qū)別
機(jī)械能守恒定律反映的是物體初、末狀態(tài)的機(jī)械能間關(guān)系，且守恒是有條的，而動(dòng)能定理揭示的是物體動(dòng)能的變化跟引起這種變化的合外力的功間關(guān)系，既關(guān)心初末狀態(tài)的動(dòng)能，也必須認(rèn)真分析對(duì)應(yīng)這兩個(gè)狀態(tài)間經(jīng)歷的過程中做功情況．
規(guī)律方法
應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的基本步驟
（1）根據(jù)題意選取研究對(duì)象（物體或系統(tǒng)）．
（2）明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，分析對(duì)象在過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機(jī)械能是否守恒．
（3）恰當(dāng)?shù)剡x取零勢(shì)面，確定研究對(duì)象在過程中的始態(tài)和末態(tài)的機(jī)械能．
（4）根據(jù)機(jī)械能守恒定律的不同表達(dá)式列式方程，若選用了增（減）量表達(dá)式，（3）就應(yīng)成為確定過程中，動(dòng)能、勢(shì)能在過程中的增減量或各部分機(jī)械能在過程中的增減量列方程進(jìn)行求解．
例6、在高度為h=0.8m的水平光滑桌面上，有一輕彈簧左端固定，質(zhì)量為m=1.0kg的小球在外力作用下使彈簧處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)彈簧具有4.5J的彈性勢(shì)能時(shí)，由靜止釋放小球，將小球水平彈出，如圖，不計(jì)空氣阻力，求小球落地時(shí)的速度大��？
先用守恒思想求小球被彈出的初速度
解一：用平拋知識(shí)解
解二：用動(dòng)能定理
解三：用機(jī)械能守恒
解四：直接全過程對(duì)系統(tǒng)用機(jī)械能守恒，不求拋出時(shí)的初速度
1、單個(gè)物體在變速運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒問題
例7。從某高處平拋一個(gè)物體，物體落地時(shí)速度方向與水平方向夾角為θ，取地面處重力勢(shì)能為零，則物體落下高度與水平位移之比為 ．拋出時(shí)動(dòng)能與重力勢(shì)能之比為 ．
解析：設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t，則落地時(shí)， gt=v0tanθ即 gt2＝v0ttanθ
所以 2h＝stanθ所以h/s=tanθ/2
由于落地的速度v=v0/cosθ 又因?yàn)?frac12;m v02十mgh=½mv2
所以mgh=½m v02/cos2θ－½mv02 所以½mv02/mgh=cot2θ
例8．如圖所示，一個(gè)光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接，其中圖軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R，B為最低點(diǎn)，D為最高點(diǎn)．一個(gè)質(zhì)量為m的小球以初速度v0沿AB運(yùn)動(dòng)，剛好能通過最高點(diǎn)D，則（ ）
A．小球質(zhì)量越大，所需初速度v0越大
B．圓軌道半徑越大，所需初速度v0越大
C．初速度v0與小球質(zhì)量m、軌道半徑R無(wú)關(guān)
D。小球質(zhì)量m和軌道半徑R同時(shí)增大，有可能不用增大初速度v0
解析：球通過最高點(diǎn)的最小速度為v，有mg=mv2/R，v=
這是剛好通過最高點(diǎn)的條，根據(jù)機(jī)械能守恒，在最低點(diǎn)的速度v0應(yīng)滿足
½m v02=mg2R＋½mv2，v0= 答案：B
2、系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題
例9．如圖所示，總長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過一光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時(shí)底端相齊，當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí)，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？
解析：鐵鏈的一端上升，一端下落是變質(zhì)量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學(xué)物理大綱的要求．但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無(wú)機(jī)械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒，這個(gè)題目我們用機(jī)械能守恒定律的總量不變表達(dá)式E2=El，和增量表達(dá)式ΔEP=一ΔE分別給出解答，以利于同學(xué)分析比較掌握其各自的特點(diǎn)．
（1）設(shè)鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為P，且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面，則初態(tài)E1=0
滑離滑輪時(shí)為終態(tài)，重心離參考面距離L/4，EP/=－PLgL/4
Ek2=½Lv2即終態(tài)E2=－PLgL/4＋½PLv2
由機(jī)械能守恒定律得E2= E1有 －PLgL/4＋½PLv2=0，所以v=
（2）利用ΔEP=－ΔE，求解:初態(tài)至終態(tài)重力勢(shì)能減少，重心下降L/4，重力勢(shì)能減少－ΔEP= PLgL/4，動(dòng)能增量ΔE=½PLv2，所以v=
點(diǎn)評(píng)（1）對(duì)繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發(fā)生形變，其重心位置對(duì)物體說，不是固定不變的，能否確定其重心的位里則是解決這類問題的關(guān)鍵，順便指出的是均勻質(zhì)量分布的規(guī)則物體常以重心的位置確定物體的重力勢(shì)能．此題初態(tài)的重心位置不在滑輪的頂點(diǎn)，由于滑輪很小，可視作對(duì)折求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢(shì)能后求出代數(shù)和作為總的重力勢(shì)能．至于零勢(shì)能參考面可任意選取，但以系統(tǒng)初末態(tài)重力勢(shì)能便于表示為宜．
（2）此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時(shí)重力勢(shì)能減少，等效為一半鐵鏈至另一半下端時(shí)重力勢(shì)能的減少，然后利用ΔEP=－ΔE求解，留給同學(xué)們思考．
例10、如圖，一根輕質(zhì)細(xì)桿的兩端分別固定著A、B兩只質(zhì)量均為m的小球，O點(diǎn)是一光滑水平軸，已知AO=L，BO=2L�，F(xiàn)在使細(xì)桿從水平位置由靜止開始釋放，當(dāng)B球轉(zhuǎn)到O點(diǎn)正下方時(shí)，它對(duì)細(xì)桿的拉力大小是多少？
例11：如圖，輕桿AB長(zhǎng)2L，A端連在固定軸上，B端固定一個(gè)質(zhì)量為2m的小球，中點(diǎn)C固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球。AB桿可以繞A端在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將桿置于水平位置，然后由靜止釋放，不計(jì)各處摩擦與空氣阻力，試求：（1）AB桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，角速度ω多大？
（2）AB桿從水平轉(zhuǎn)到豎直位置過程中，B端小球的機(jī)械能增量多大?
后作業(yè)
1、(2002春全國(guó)) 圖四個(gè)選項(xiàng)中，木塊均在固定的斜面上運(yùn)動(dòng)，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的；圖A、B中的力F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運(yùn)動(dòng)，圖C中的木塊向上運(yùn)動(dòng)。在這四個(gè)圖所示的運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒的是（ ）
2、如圖，小球自a點(diǎn)由靜止自由下落，到b點(diǎn)時(shí)與彈簧接觸，到c點(diǎn)時(shí)彈簧被壓縮到最短，若不計(jì)彈簧質(zhì)量和空氣阻力，在小球由a→b→c的運(yùn)動(dòng)過程中（ ）
A．小球和彈簧總機(jī)械能守恒
B．小球的重力勢(shì)能隨時(shí)間均勻減少
C．小球在b點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大
D．到c點(diǎn)時(shí)小球重力勢(shì)能的減少量等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量
3. 一物體從高處勻加速下落，在下落過程中它的機(jī)械能（ ）
A．一定增加 B．一定減小
C．保持不變 D．條不足、無(wú)法確定
4．如圖，斜面置于光滑的水平面上，其光滑斜面上有一物體由靜止開始下滑，在物體下滑的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．物體的重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加
B．物體的機(jī)械能不變
C．斜面對(duì)物體的支持力垂直于支持面，不對(duì)物體做功
D．物體和斜面組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
5、如圖所示,通過定滑輪懸掛兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2的物體(m1>m2),不計(jì)繩子質(zhì)量、繩子與滑輪間的摩擦,在m1向下運(yùn)動(dòng)一段距離的過程中,下列說法中正確的是 ( ). (A)m1勢(shì)能的減少量等于m2動(dòng)能的增加量 (B)m1勢(shì)能的減少量等于m2勢(shì)能的增加量 (C)m1機(jī)械能的減少量等于m2機(jī)械能的增加量 (D)m1機(jī)械能的減少量大于m2機(jī)械能的增加量
4、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，使其長(zhǎng)度的L／4垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛離開桌邊時(shí)的速度大小為多少？
第五節(jié) 功能問題的綜合應(yīng)用
基礎(chǔ)知識(shí) 一、功能關(guān)系
1．能是物體做功的本領(lǐng)．也就是說是做功的根．功是能量轉(zhuǎn)化的量度．究竟有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，用功量度，二者有根本的區(qū)別，功是過程量，能是狀態(tài)量．
2．我們?cè)谔幚韱栴}時(shí)可以從能量變化求功，也可以從物體做功的多少求能量的變化．不同形式的能在轉(zhuǎn)化過程中是守恒的．
3、功和能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系
①合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量． W合=Ek2一Ek1（動(dòng)能定理）
②只有重力做功（或系統(tǒng)內(nèi)彈力）做功，物體的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，物體的機(jī)械能守恒。
③重力功是重力勢(shì)能變化的量度,即WG=－ΔEP重＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
④彈力功是彈性勢(shì)能變化的量度，即：W彈＝一△EP彈＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
⑤除了重力，彈力以外的其他力做功是物體機(jī)械能變化的量度，即：W其他=E末一E初
⑥一對(duì)滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做總功是系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度，即：f•S相＝Q
⑦電場(chǎng)力功是電勢(shì)能變化的量度，即：WE=qU=一ΔE =-(E末一E初）=E初一E末
例1。在水平地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質(zhì)量為m，厚度為h，如將磚一塊一塊地疊，需要做多少功？
解析：這是一道非常典型變質(zhì)量與做功的題，很多同學(xué)不知怎樣列功能關(guān)系式才求出功的大小，我們先畫清楚草圖．根據(jù)功能關(guān)系可知：只要找出磚疊放起時(shí)總增加的能量 ΔE，就可得到W人＝ΔE，而ΔE＝E末－E初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2
因此，用“功能關(guān)系”解題，關(guān)鍵是分清物理過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么能增加或減少，列出這些變化了的能量即可．
答案：n（n－1）mgh/2
4、對(duì)繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除題目特別說明，必定有機(jī)械能損失，碰撞后兩物體粘在一起的過程中一定有機(jī)械能損失。
二、能的轉(zhuǎn)化和守恒
能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，它只能從一種形式的能轉(zhuǎn)化為另一種形式的能，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，能的總量保持不變。
1．應(yīng)用能量守恒定律的兩條思路：
（1）某種形式的能的減少量，一定等于其他形式能的增加量．
（2）某物體能量的減少量，一定等于其他物體能量的增加量．
例2。如圖所示，一輕彈簧一端系在墻上的O點(diǎn)，自由伸長(zhǎng)到B點(diǎn)，今將一質(zhì)量m的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到A點(diǎn)，然后釋放，小物體能在水平面上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止，AC距離為S；若將小物體系在彈簧上，在A由靜止釋放，小物體將做阻尼運(yùn)動(dòng)到最后靜止，設(shè)小物體通過總路程為l，則下列答案中可能正確的是（ ）
A．l=2S； B．l＝S ；C．l＝0．5S ；D．l＝0
解析：若物體恰好靜止在B．則彈簧原具有的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，應(yīng)有l(wèi)＝S．若物體最后靜止在B點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)時(shí)，彈簧仍具有一定的彈性勢(shì)能，在這種情況下，物體移動(dòng)的總路程就會(huì)小于S．
答案：BC
例3．如圖5—20所示，木塊A放在木塊B上左端，用力F將A拉至B的右端，第次將B固定在地面上，F(xiàn)做功為W1，生熱為Q1；第二次讓B可以在光滑地面上自由滑動(dòng)，這次F做的功為W2，生熱為Q2，則應(yīng)有（ ）
A． W1＜W2， Q1= Q2 B． W1= W2， Q1＝Q2
C． W1＜W2， Q1＜Q2 D． W1＝W2， Q1＜Q2
解析：設(shè)B的長(zhǎng)度為d，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的數(shù)量Q1＝Q2=μmAgd，所以 C、D都錯(cuò)．
在兩種情況下用恒力F將A拉至B的右端的過程中．第二種情況下A對(duì)地的位移要大于第一種情況下A對(duì)地的位移，所以 W2＞W(wǎng)1，B錯(cuò)
答案：A
3．用能量守恒定律解題的步驟
①確定研究的對(duì)象和范圍，分析在研究的過程中有多少種不同形式的能（包括動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能、電能等）發(fā)生變化．
②找出減少的能并求總的減少量ΔE減，找出增加的能并求總的增加量ΔE增
③由能量守恒列式，ΔE減=ΔE增。
④代入已知條求解．
例4。如圖半徑分別為R和r的甲、乙兩圓形軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，現(xiàn)有一小球從斜面上高為3R處的A點(diǎn)由靜止釋放，要使小球能滑上乙軌道并避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，試設(shè)計(jì)CD段可取的長(zhǎng)度。小球與CD段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其作各段均光滑。
{解析}：有兩種情況，一種是小球恰過乙軌道
最高點(diǎn)，在乙軌道最高點(diǎn)的mg=mv2/r，從開始運(yùn)
動(dòng)到乙軌道最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
mg（3R-2r）-μmgCD=½mv2-0聯(lián)立解得
CD=（6R-5r）/2μ，故應(yīng)用CD＜（6R-5r）/2μ。
另一種是小球在乙軌道上運(yùn)動(dòng)¼圓周時(shí)，速度變?yōu)榱�，由mg（3R-r）=μmgCD解出CD=（3R-r）/μ，故應(yīng)有CD＞（3R-r）/μ
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