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吳川四中2013屆高三8月摸底考試
數(shù) 學 (科）
參考公式：
錐體的體積公式： （ 是錐體的底面積， 是錐體的高）
球體體積公式： ( 是半徑)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）
1. 設(shè)集合 , ,則 （　�。�
A． B． C． D．
2．復平面上點P表示復數(shù) （其中i為虛數(shù)單位），點P坐標是
A.（1，0）　B.（一1，0）　C.（0，一1）　D.（0，1）
3.命題“ ”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
4．若 ，則“ ＝3”是“ 2＝9”的（　　）條件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
5、下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（　�。�
A． B． C． D．
6、若方程 在 內(nèi)有解，則 的圖象是（ ）
7．閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，
輸出的結(jié)果是（　　�。�．
A． B．13　
C．33 　D．123

9.設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）
A． B．
C． D．
10．若實數(shù) 滿足 ，則稱 是函數(shù) 的一個次不動點．設(shè)函數(shù) 與函數(shù) （其中 為自然對數(shù)的底數(shù)）的所有次不動點之和為 ，則
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.）
（一）必做題（第11至13題為必做題，每道試題考生都必須作答。）
11．已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a •b = 1,則x =＿＿＿
12．設(shè)函數(shù) ,則 ＿＿＿
13．目標函數(shù)z＝2x＋y在約束條件 下取得的最大值是＿＿＿＿＿
（二）選做題（14 ～15題，考生只能從中選做一題；兩道題都做的，只記第14題的分。）
14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知圓 的極坐標方程為 ，則圓 上點到直線 的最短距離為 。
15. (幾何證明選講選做題)如圖3，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，
若 PA=5，AB=7，CD=11， ，則BD等于 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列 中， ， ．
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）若數(shù)列 的前 項和 ，求 的值．

17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ )(A>0,0< < ),x R的最大值是1，其圖像經(jīng)過點 .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的值．

18.（本小題滿分14分）
在三棱錐 中， 和 是邊長為 的等邊三角形， ， 分別是
的中點．
（Ⅰ）求證： ∥平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）求三棱錐 的體積．

19．(本題滿分14分)
2012年春節(jié)前，有超過20萬名廣西、四川等省籍的外務(wù)工人員選擇駕乘摩托車沿321國道長途跋涉返鄉(xiāng)過年.為防止摩托車駕駛?cè)藛T因長途疲勞駕駛，手腳僵硬影響駕駛操作而引發(fā)交事故，肇慶市公安交警部門在321國道沿線設(shè)立了多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站，讓過往返鄉(xiāng)過年的摩托車駕駛?cè)藛T有一個停車休息的場所. 交警小李在某休息站連續(xù)5天對進站休息的駕駛?cè)藛T每隔50輛摩托車，就進行省籍詢問一次，詢問結(jié)果如圖4所示：
（1）問交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的是什么抽樣方法？
（2）用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進行抽樣，
若廣西籍的有5名，則四川籍的應(yīng)抽取幾名？
（3）在上述抽出的駕駛?cè)藛T中任取2名，求至少有1名駕駛
人 員是廣西籍的概率.

20．（本小題滿分14分）
設(shè) ，其中
（Ⅰ）當 時，求 的極值點；
（Ⅱ）若 為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。

21．（本題滿分14分）
已知函數(shù) ，且其導函數(shù) 的圖像過原點.
(1)當 時，求函數(shù) 的圖像在 處的切線方程;
(2)若存在 ，使得 ，求 的最大值；
(3)當 時，求函數(shù) 的零點個數(shù)。

參考答案與評分標準
一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1、A　2、C　3、C　4、A　5、D　6、D 7、B　8、C　9、D　10、B
二.填空題（本大題每小題5分，共20分，把答案填在題后的橫線上）
11、1　12、 　13、6 14. .； 15. 6
15.【解析】由 得 又
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)等差數(shù)列 的公差 ，則 ，
由題設(shè)， ，所以 ．
． …………………………… 6分
（2）因為 ，
所以 ，解得 或 ．
因為 ，所以 ． …………………………… 12分
17．解：（1）依題意有 ，則 ，將點 代入得 ，而 ， ， ，故 ；………5分
（2）由已知得 ， ．
則 ． ………8分
． ………12分

18. （本小題滿分 分）
（Ⅰ） 分別為 的中點，
∥
又 平面 ， 平面
∥平面 . ………………5分
（Ⅱ）連結(jié) ，
， 為 中點， ,
⊥ ， .
同理, ⊥ ， .
又 , ,
， ⊥ .
⊥ , ⊥ , ,
⊥平面 .
又 平面 ， 平面 ⊥平面 . ……………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 垂直平面
為三棱錐 的高，且
. …………………………14分
19．(本題滿分14分)
解：解：（1）交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的是系統(tǒng)抽樣方法.（3分）
（2）從圖中可知，被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T廣西籍的有: 人，（4分）
四川籍的有： 人，（5分）
設(shè)四川籍的駕駛?cè)藛T應(yīng)抽取 名，依題意得 ，（6分）
解得 ，即四川籍的應(yīng)抽取2名. （7分）
（3）（方法1）用 表示被抽取的廣西籍駕駛?cè)藛T， 表示被抽取的四川籍駕駛?cè)藛T，則所有基本事件的總數(shù)為： ， ， ，
， 共21個，（10分）
其中至少有1名駕駛?cè)藛T是廣西籍的基本事件的總數(shù)為：
，
， ，
， 共20個.（12分）
所以，至少有1名駕駛?cè)藛T是廣西籍的概率為 （14分）
（方法2）所有基本事件的總數(shù)同方法1，
其中，2名駕駛?cè)藛T都是四川籍的基本事件為： ，1個.（12分）
所以，抽取的2名駕駛?cè)藛T都是四川籍的概率為 （11分）
所以，至少有1名駕駛?cè)藛T是廣西籍的概率為 （14分）
20．解：對 求導得 ①……………2分
（Ⅰ）當 時，若
解得 ……………4分
綜合①,可知

+0－0+
?極大值?極小值?

所以, 是極小值點, 是極大值點. ……………8分
（II）若 為R上的單調(diào)函數(shù)，則 在R上不變號，
結(jié)合①與條件a>0，知 在R上恒成立，……………10分
因此 由此并結(jié)合 ，知 。
所以a的取值范圍為 ……………14分
21．解: ,
由 得 , . ---------------------2分
(1) 當 時, , ， ,
所以函數(shù) 的圖像在 處的切線方程為 ,即 ------------4分
(2) 存在 ,使得 ,
， ，
當且僅當 時， 所以 的最大值為 . --------------- -----------------9分


f(x) 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
(3) 當 時， 的變化情況如下表：

----11分
的極大值 ，
的極小值
又 ， .
所以函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)各有一個零點，
故函數(shù) 共有三個零點。--------------------14分
注：①證明 的極小值 也可這樣進行:
設(shè) ，
則
當 時, ,當 時, ,
函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù),在區(qū)間 上是減函數(shù),
故函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 ,
從而 的極小值 .
②證明函數(shù) 共有三個零點。也可這樣進行: 的極大值 ，
的極小值 ,
當 無限減小時， 無限趨于 當 無限增大時， 無限趨于
故函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)各有一個零點，故函數(shù) 共有三個零點。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/36660.html

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