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徐州市、宿遷市高三年級第三次模擬考試 2013.05.02
數(shù)學Ⅰ
參考公式：樣本數(shù)據(jù) 的方差 ，其中 ；
錐體的體積公式： ，其中 為錐體的底面面積， 是高．
一、題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
1. 已知 是虛數(shù)單位，若 ，則 的值為 ▲ ．
2. 某射擊選手連續(xù)射擊 槍命中的環(huán)數(shù)分別為： , , , , ，
則這組數(shù)據(jù)的方差為 ▲ ．
3. 右圖是一個算法流程圖，則輸出的 的值是 ▲ ．
4. 若集合 ， ，則 ▲ ．
5. 方程 表示雙曲線的充要條件是 ▲ ．
6．在 中，已知 ， ，則 的值是 ▲ ．
7. 已知實數(shù) 滿足 則 的最小值是 ▲ ．
8. 已知 是等差數(shù)列 的前 項和，若 ， ，則數(shù)列 的前20項和為 ▲ ．
9. 已知三棱錐 的所有棱長都相等，現(xiàn)沿 ， ， 三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為 ，則三棱錐 的體積為 ▲ ．
10．已知 為 的外心，若 ，則 等于 ▲ ．
11. 已知數(shù)字發(fā)生器每次等可能地輸出數(shù)字 或 中的一個數(shù)字，則連續(xù)輸出的 個數(shù)字之和能被3整除的概率是 ▲ ．
12. 若 ，且 ，則 的最小值為 ▲ ．
13．已知函數(shù) 若 ，且 ，則 的取值范圍是 ▲ ．
14. 已知曲線 ： ，直線 ： ，在曲線 上有一個動點 ，過點 分別作直線 和 軸的垂線，垂足分別為 .再過點 作曲線 的切線，分別與直線 和 軸相交于點 ， 是坐標原點.若 的面積為 ，則 的面積為 ▲ ．
二、解答題: 本大題共6小題， 15~17每小題14分，18~20每小題16分，共計90分．請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖， ， 均為圓 的直徑， 圓 所在的平面， .求證：
⑴平面 平面 ；
⑵直線 平面 ．
16．已知 的面積為 ，角 的對邊分別為 ， ．
⑴求 的值；
⑵若 成等差數(shù)列，求 的值．
17．已知一塊半徑為 的殘缺的半圓形材料 ，O為半圓的圓心， ，殘缺部分位于過點 的豎直線的右側．現(xiàn)要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設計方案：如圖甲，以 為斜邊；如圖乙，直角頂點 在線段 上，且另一個頂點 在 上．要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．
18．如圖，在平面直角坐標系 中，已知橢圓 ： 的離心率 ， 分別是橢圓 的左、右兩個頂點，圓 的半徑為 ，過點 作圓 的切線，切點為 ，在 軸的上方交橢圓 于點 ．
⑴求直線 的方程；
⑵求 的值；
⑶設 為常數(shù)．過點 作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓 于點 ，分別交圓 于點 ，記 和 的面積分別為 ， ，求 的最大值．
19．已知數(shù)列 滿足： ， ， ．
⑴若 ，求數(shù)列 的通項公式；
⑵設 ，數(shù)列 的前 項和為 ，證明： ．
20．已知函數(shù) ， ．
⑴若函數(shù) 在其定義域內(nèi)是單調增函數(shù)，求 的取值范圍；
⑵設函數(shù) 的圖象被點 分成的兩部分為 （點 除外），該函數(shù)圖象在點 處的切線為 ，且 分別完全位于直線 的兩側，試求所有滿足條件的 的值．
徐州市、宿遷市高三年級第三次模擬考試
數(shù)學Ⅱ（附加題）
21.【選做題】本大題包括A、B、C、D共4小題，請從這4題中選做2小題．每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知圓 ，圓 都經(jīng)過點 ， 是圓 的切線，圓 交 于點 ，連結 并延長交圓 于點 ，連結 .求證 .
B．選修4-2：矩陣與變換
已知 ，若矩陣 所對應的變換把直線 ： 變換為自身，求 .
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，已知直線 被圓 截得的弦長為 ，求 的值.
D．選修4-5：不等式選講
已知 ，且 ，求 的最小值
22．【必做題】本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在正三棱柱 中，已知 ， ， 分別是棱 ， 上的點，且 ， .
⑴求異面直線 與 所成角的余弦值；
⑵求二面角 的正弦值.
23．【必做題】本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
已知函數(shù) , ．
⑴當 時，求函數(shù) 的極大值和極小值；
⑵是否存在等差數(shù)列 ，使得 對一切 都成立？并說明理由．
徐州市、宿遷市高三年級第三次模擬考試
數(shù)學參考答案與評分標準
一、題
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7.1；
8.55； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14.
二、解答題
15.⑴因為 圓 所在的平面， 圓 所在的平面，
所以 ，………………………………………………………………………………2分
因為 為圓 的直徑，點 在圓 上，所以 ， ……………………………3分
因為 ， 平面 ，
所以 平面 ，………………………………………………………………………5分
因為 平面 ，所以平面 平面 ．…………………………………7分
⑵由⑴ ，又因為 為圓 的直徑，
所以 ，
因為 在同一平面內(nèi)，所以 ，…………………………………………9分
因為 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．………………………11分
因為 ，同理可證 平面 ，
因為 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因為 平面 ，所以 平面 ．……………………………………………14分
16.⑴由 ，得 ，即 ．……………2分
代入 ，化簡整理得， ．……………………………………4分
由 ，知 ，所以 ．………………………………………6分
⑵由 及正弦定理，得 ，
即 ，………………………………………………………………8分
所以 ．①
由 及 ，得 ，……………………………………………10分
代入①，整理得 ．
代入 ，整理得 ，……………………………12分
解得 或 ．
因為 ，所以 ．…………………………………………………………14分
17．如圖甲，設 ， ………2分
所以 ………………………………………………………………………4分
，
當且僅當 時取等號， …………………………………………………6分
此時點 到 的距離為 ，可以保證點 在半圓形材料 內(nèi)部，因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為 ． …………………………………………………7分
如圖乙，設 ，則 ， ，
所以 ， ． …………………………………10分
設 ，則 ，
當 時， ，所以 時，即點 與點 重合時，
的面積最大值為 ． ………………………………………………………13分
因為 ，
所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為 ．…………14分
18．⑴連結 ，則 ，且 ，
又 ，所以 .
所以 ，所以直線 的方程為 .……………………………………3分
⑵由⑴知，直線 的方程為 ， 的方程為 ，
聯(lián)立解得 . ………………………………………………………………………5分
因為 ，即 ，所以 ， ，故橢圓 的方程為 .
由 解得 ，…………………………………………………………7分
所以 ． ………………………………………………………………8分
⑶不妨設 的方程為 ，
聯(lián)立方程組 解得 ，
所以 ；……………………………………………………………………10分
用 代替上面的 ，得 ．
同理可得， ， ．…………………………………………13分
所以 ．………………………14分
因為 ，
當且僅當 時等號成立，所以 的最大值為 ．………………………………16分
19．⑴若 時， ， ，所以 ，且 ．
兩邊取對數(shù)，得 ，……………………………………………………2分
化為 ，
因為 ，
所以數(shù)列 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列．……………………4分
所以 ，所以 ．………………………………………6分
⑵由 ，得 ，①
當 時， ，②
① ②，得 ，…………………………………………8分
由已知 ，所以 與 同號．…………………………………………10分
因為 ，且 ，所以 恒成立，
所以 ，所以 ．………………………………………………………12分
因為 ，所以 ，
所以
．…………………………………………………………16分
20．⑴ ，………………………………………2分
只需要 ，即 ，
所以 ．…………………………………………………………………………………4分
⑵因為 ．
所以切線 的方程為 ．
令 ，則 ．
．………………………………………6分
若 ，則 ，
當 時， ；當 時， ，
所以 ， 在直線 同側，不合題意；…………………………………8分
若 ， ，
若 ， ， 是單調增函數(shù)，
當 時， ；當 時， ，符合題意；…10分
若 ，當 時， ， ，
當 時， ， ，不合題意； …………………………12分
若 ，當 時， ， ，
當 時， ， ，不合題意； ……………………………14分
若 ，當 時， ， ，
當 時， ， ，不合題意．
故只有 符合題意． ………………………………………………………………16分
附加題
21．
A．由已知， ，因為 ，
， ，
所以 ， ，
因為 ，所以 ，
所以 .……………………………………………5分
延長 交 于點 ，連結 ，則 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，因為 ，
所以 .…………………………………………………………………10分
B．對于直線 上任意一點 ，在矩陣 對應的變換作用下變換成點 ，
則 ，
因為 ，所以 ， ………………………………………4分
所以 解得
所以 ， …………………………………………………………………………7分
所以 . ………………………………………………………………10分
C．直線的極坐標方程化為直角坐標方程為 ， …………………………3分
圓的極坐標方程化為直角坐標方程為 ，即 ，…………6分
因為截得的弦長為 ，所以圓心 到直線的距離為 ，
即 ，因為 ，所以 . ………………………………………10分
D．由柯西不等式，得 ，
即 ， ……………………………………………………5分
即 .
所以 ，即 的最小值為 . …………………………………10分
22．⑴以 的中點為原點 ，分別以 所在直線為 軸，建立空間直角坐標系 （如圖）. 則 ， ， ， ， ， ， ， .
所以 ， .
所以 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 .…………………………………………5分
⑵平面 的一個法向量為 .
設平面 的法向量為 ，因為 ， ，
由 得 令 ，則 .
所以 ，
所以二面角 的正弦值為 . ……………………………………………10分
23．（1） = ，
= ，
令 得 ，
因為 ，所以 ．…………………………………………………2分
當 為偶數(shù)時 的增減性如下表：
無極值
極大值
極小值
所以當 時， ；當 時， ．………4分
當 為奇數(shù)時 的增減性如下表：
極大值
極小值
無極值
所以 時， ；當 時， ．…………6分
（2）假設存在等差數(shù)列 使 成立，
由組合數(shù)的性質 ，
把等式變?yōu)?，
兩式相加，因為 是等差數(shù)列，所以 ，
故 ，
所以 ． …………………………………………………………………8分
再分別令 ，得 且 ，
進一步可得滿足題設的等差數(shù)列 的通項公式為 ．………10分


本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/75558.html

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