2012版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：第八章 解析幾何
8.3圓錐曲線
【高考目標(biāo)導(dǎo)航】
一、曲線與方程
1．考綱點(diǎn)擊
(1)了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系;
(2)了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法;
(3)能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄�的軌跡方程.
2．熱點(diǎn)提示
（1）求軌跡方程是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)；
（2）常以解答題的第一問的形式出現(xiàn). 一般用直接法、定義法或相關(guān)點(diǎn)法求解，所求軌跡一般為圓錐曲線，屬中低檔題。
二、橢圓
1．考綱點(diǎn)擊
（1）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；
（2）了解橢圓的實(shí)際背景及橢圓的簡單應(yīng)用。
（3）理解數(shù)形結(jié)合的思想
2．熱點(diǎn)提示
（1）橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容；直線和橢圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)。
（2）定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)常以選擇題、填空題的形式考查，而直線與橢圓位置關(guān)系以及與向量、方程、不等式等的綜合題常以解答題的形式考查，屬中高檔題目。
三、雙曲線
1．考綱點(diǎn)擊
（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。
（2）了解雙曲線的實(shí)際背景及雙曲線的簡單應(yīng)用。
（3）理解數(shù)形結(jié)合的思想。
2．熱點(diǎn)提示
（1）雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率、漸近線等知識是高考考查的重點(diǎn)；雙曲線與其他圓錐曲線的交匯命題是熱點(diǎn)。
（2）主要以選擇、填空題的形式考查，屬于中低檔題。
四、拋物線
1．考綱點(diǎn)擊
（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)。
（2）理解數(shù)形結(jié)合的思想。
（3）了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。
2．熱點(diǎn)提示
（1）拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，拋物線與直線、橢圓、雙曲線的交匯綜合題是考查的熱點(diǎn)。
（2）多以選擇、填空題為主，多為中低檔題。有時也與直線、橢圓、雙曲線交匯考查的解答題，此時屬中高檔題。
【考綱知識梳理】
一、曲線與方程
1．一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：
（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解。
（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
注：如果中滿足第（2）個條件，會出現(xiàn)什么情況？（若只滿足“以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”），則這個方程可能只是部分曲線的方程，而非整個曲線的方程，如分段函數(shù)的解析式。
2．求動點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟
(1)建系??建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
(2)設(shè)點(diǎn)??設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y).
(3)列式??列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式.
(4)代換??依條件的特點(diǎn),選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式，并化簡。
(5)證明??證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程.
注:求軌跡和軌跡方程有什么不同?(求軌跡和軌跡方程的不同:后者只指方程(包括范圍)),而前者包含方程及所求軌跡的形狀、位置、大小等。
二、橢圓
1．對橢圓定義的理解：平面內(nèi)動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn) ， 的距離的和等于常數(shù)2a,當(dāng)2a> 時，動點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)2a= 時，軌跡為線段 ；當(dāng)2a< 時，軌跡不存在。
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖
形
性
質(zhì)范圍
對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸
對稱中心：原點(diǎn)對稱軸：坐標(biāo)軸
對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
軸長軸 的長為2a
短軸 的長為2b
焦距 =2c
離心率
a,b,c的關(guān)系
注：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度的關(guān)系（離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越接近于圓）。
3．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
三、雙曲線
1．雙曲線的定義
（1）平面內(nèi)動點(diǎn)的軌跡是雙曲線必須滿足兩個條件：
①與兩個定點(diǎn) ， 的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a.
② 。
（2）上述雙曲線的焦點(diǎn)是 ， ，焦距是 。
注：當(dāng)2a= 時，動點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a? 時，動點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a=0時，動點(diǎn)的軌跡是線段 的中垂線。
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖
形
性
質(zhì)范圍x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a
對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸
對稱中心：原點(diǎn)對稱軸：坐標(biāo)軸
對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：
頂點(diǎn)坐標(biāo)：
漸近線
離心率
實(shí)虛軸線段 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長 =2a；線段 叫做雙曲線的虛軸，它的長 =2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。
a,b,c的關(guān)系
注：離心率越大，雙曲線的“開口”越大。
3．等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，離心率 ，漸近線方程為
四、拋物線
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線 （ 不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線。
注：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線 時，動點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F與直線 垂直的直線。
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖
形
性
質(zhì)對稱軸x軸x軸y軸y軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
焦半徑
范圍
頂點(diǎn)
離心率
【要點(diǎn)名師解析】
一、曲線與方程
（一）用直接法求軌跡方程
※相關(guān)鏈接※
1．如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含 、 的等式，得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明五個步驟，但最后的證明可以省略。
2．用直接法求軌跡方程是近年來高考�？嫉念}型，有時題目以向量為背景，解題中需注意向量的坐標(biāo)化運(yùn)算。有時需分類討論。
※例題解析※
〖例〗如圖所示，設(shè)動直線 垂直于x軸，且與橢圓 交于A、B兩點(diǎn)，P是 上滿足 的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程。
思路解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y) 求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo) 代入 求P點(diǎn)軌跡 標(biāo)明x的范圍。
解答：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則由方程 ，得 ，∴ ，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，又 ，
∴ ，即 又直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，∴-2
※相關(guān)鏈接※
1．運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。
2．用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義，靈活應(yīng)用定義。同時用定義法求軌跡方程也是近幾年來高考的熱點(diǎn)之一。
※例題解析※
〖例〗如圖所示，
一動圓與圓 外切，同時與圓 內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的軸線。
思路解析：利用兩圓的位置關(guān)系一相切這一性質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再從關(guān)系分析滿足何種關(guān)系的定義。
解答：方法一
設(shè)動圓圓心為M（x,y）,半徑為R，設(shè)已知圓的加以分別為 、 ，
將圓的方程分別配方得： ，
當(dāng)動圓與圓 相外切時，有 M=R+2…………①
當(dāng)動圓與圓 相內(nèi)切時，有 M=R+2……………②
將①②兩式相加，得 M+ M=12> ，
∴動圓圓心M（x,y）到點(diǎn) （-3，0）和 （3，0）的距離和是常數(shù)12，
所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn) （-3，0）、 （3，0），長軸長等于12的橢圓。
∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6
∴
∴圓心軌跡方程為 ，軌跡為橢圓。
方法二：由方法一可得方程 移項再兩邊分別平方得：
兩邊再平方得： ，整理得
所以圓心軌跡方程為 ，軌跡為橢圓。
注：（1）平面向量知識融入解析幾何是高考命題的一大特點(diǎn)，實(shí)際上平面向量的知識在這里只是表面上的現(xiàn)象，解析幾何的實(shí)質(zhì)是坐標(biāo)法，就是用方程的思想研究曲線，用曲線的性質(zhì)研究方程，軌跡問題正是體現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式，我們只要能把向量所表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，這類問題就不難解決了。而與解析幾何有關(guān)的范圍問題也是高考�？嫉闹攸c(diǎn)。求解參數(shù)問題主要是根據(jù)條件建立含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，然后確定參數(shù)的值。
（2）回歸定義是解圓錐曲線問題十分有效的方法，值得重視。
（3）對于“是否存在型”探索性問題的求解，先假設(shè)結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。
（三）用相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求軌跡方程
※相關(guān)鏈接※
1．動點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點(diǎn)P（x,y）卻隨另一動點(diǎn) 的運(yùn)動而有規(guī)律的運(yùn)動，且動點(diǎn)Q的軌跡方程為給定或容易求得，則可先將 表示x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。
2．用代入法求軌跡方程的關(guān)鍵是尋求關(guān)系式： ，然后代入已知曲線。而求對稱曲線（軸對稱、中心對稱）方程實(shí)質(zhì)上也是用代入法（相關(guān)點(diǎn)法）解題。
※例題解析※
〖例〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上動點(diǎn)Q滿足 ，點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點(diǎn)，求動點(diǎn)P的軌跡方程。
思路解析：由已知易得動點(diǎn)Q的軌跡方程，然后找出P點(diǎn)與Q點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，代入即可。
解答：
設(shè)Q（x,y），則
故由 ，即
所以點(diǎn)Q的軌跡是以C（0，2）為圓心，以3為半徑的圓。
∵點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點(diǎn)。
∴動點(diǎn)P的軌跡是一個以 為圓心，半徑為3的圓，其中 是點(diǎn)C（0，2）關(guān)于直線y=2(x-4) 的對稱點(diǎn)，即直線y=2(x-4)過 的中點(diǎn)，且與 垂直，于是有
，
解得：
故動點(diǎn)P的軌跡方程為 。
（四）用參數(shù)法求軌跡方程
〖例〗設(shè)橢圓方程為 ，過點(diǎn) 的直線 交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ，當(dāng) 繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求：
（1）動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2） 的最小值與最大值。
解析：（1）直線 過點(diǎn) ，當(dāng)斜率存在時，設(shè)其斜率為 ，則 的方程為 記 由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo) 是方程組 的解，消去 得 于是
，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，則
消去參數(shù) 得 ①
當(dāng) 不存在時，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程①，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為 。
（2）由點(diǎn)P的軌跡方程知 即
又 故
當(dāng) 時， 取得最小值為 ；
當(dāng) 時， 取得最大值為 。
二、橢圓
（一）橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程
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求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義、待定系數(shù)法，有時還可根據(jù)條件用代入法。用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：
（1）作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能。
（2）設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程 。
（3）找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于 的方程組。
（4）得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求。
注：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，可設(shè) ，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設(shè)為 ，這種形式在解題時更簡便。
〖例〗已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5、3，過P且長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓的方程。
思路解析：設(shè)橢圓方程為 →根據(jù)題意求 →得方程。
解答：設(shè)所求的橢圓方程為 ，
由已知條件得
故所求方程為
（二）橢圓的幾何性質(zhì)
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1．橢圓的幾何性質(zhì)涉及一些不等關(guān)系，例如對橢圓 ，有 等，在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者求這些量的最大值時，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系。
2．求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形。當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。
3．求橢圓離心率問題，應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍。離心率e與 的關(guān)系：
※例題解析※
〖例〗已知橢圓 的長軸、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從橢圓上一點(diǎn)M（在x軸上方）向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn) ，向量 與 是共線向量。
求橢圓的離心率 ；
設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)， 、 分別是左、右焦點(diǎn)，求∠ 的取值范圍。
思路解析：由 與 是共線向量可知AB∥OM，從而可得關(guān)于 的等量關(guān)系，從而求得離心率 ；若求∠ 的取值范圍，即需求cos∠ 的范圍，用余弦定理即可。
解答：（1）設(shè) （-c,0）,則
（2）設(shè) = ， = ，∠ = ，∴ + =2 ， =2 ，
注：熟練掌握橢圓定義及性質(zhì)并且其解決相應(yīng)問題，在求離心率 時，除已知等式 外，還需一個關(guān)于 的等式，即可求得 。
（三）直線與橢圓的位置關(guān)系
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1．直線與橢圓位置關(guān)系的判定
把橢圓方程 與直線方程y=kx+b聯(lián)立消去y，整理成形如 的形式，對此一元二次方程有：
（1）?>0,直線與橢圓相交，有兩個公共點(diǎn)；
（2）?=0，直線與橢圓相切，有一個公共點(diǎn)；
（3）?<0，直線與橢圓相離，無公共點(diǎn)。
2．直線被橢圓截得的張長公式，設(shè)直線與橢圓交于 兩點(diǎn)，則
注：解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時常利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決。
※例題解析※
〖例1〗中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F1（0， ）的橢圓截直線 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，求橢圓的方程
思路解析：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F1（0， ）知，c= ， ，最后解關(guān)于a、b的方程組即可
解答：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，由F1（0， ）得
把直線方程 代入橢圓方程整理得： 。
設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為 ，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：
，又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，
，與方程 聯(lián)立可解出
故所求橢圓的方程為： 。
〖例2〗已知橢圓： ，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長
解答：a=3,b=1,c=2 ，則F（-2 ，0）。
由題意知： 與 聯(lián)立消去y得： 。
設(shè)A（ 、B（ ，則 是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理， ， ， 又因?yàn)锳、B、F都是直線 上的點(diǎn)，
所以AB=
（四）與橢圓有關(guān)的綜合問題
〖例〗如圖，
已知橢圓C： 經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)有直線 交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點(diǎn)。
（1）是否存在k，使對任意m>0,總有 成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若 ，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
思路解析：第（1）問為存在性問題，可先假設(shè)存在，然后由 可知M點(diǎn)為ON中點(diǎn)，用坐標(biāo)表示相關(guān)量可求。
第（2）問用坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，列式求解即可。
解答：橢圓C： ，直線AB的方程為：y=k(x-m).
由
消去y得
設(shè) ，則
則
若存在k,使 總成立，M為線段AB的中點(diǎn)，∴M為ON的中點(diǎn)，
∴
∴
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為 。
由N點(diǎn)在橢圓上，則
即
即
故存在k=±1,使對任意m>0，總有 成立。
（2）
由 得
即
注：探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求學(xué)生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決問題，它能很好地考查數(shù)學(xué)思維能力以及科學(xué)的探索精神。因此越來越受到高考命題者的青睞。
（1）本題第（1）問是一是否存在性問題，實(shí)質(zhì)上是探索結(jié)論的開放性問題。相對于其他的開放性問題來說，由于這類問題的結(jié)論較少（只有存在、不存在兩個結(jié)論有時候需討論），因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試命題者的青睞。解答這一類問題，往往從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性。探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素。
（2）第（2）問是參數(shù)范圍的問題，內(nèi)容涉及代數(shù)和幾何的多個方面，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。在歷年高考中占有較穩(wěn)定的比重。
三、雙曲線
（一）雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
※相關(guān)鏈接※
1．在運(yùn)用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支。
2．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
（1）定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng) 即可求得方程；
（2）待定系數(shù)法，其步驟是
①定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上；
②設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；
③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)。
注：若不能明確雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為： 。
※例題解析※
〖例〗已知動圓M與圓 外切，與圓 內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程。
思路解析：利用兩圓心、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出M點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解。
解答：設(shè)動圓M的半徑為r則由已知 。
又 （-4，0）， （4，0），∴ =8，∴ < 。
根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以 （-4，0）、 （4，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。
（二）雙曲線的幾何性質(zhì)
※相關(guān)鏈接※
1．雙曲線的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”（兩個焦點(diǎn)、兩個頂點(diǎn)、兩個虛軸的端點(diǎn)），“四線”（兩條對稱軸、兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形、雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形）研究它們之間的相互聯(lián)系。
2．在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程。同時要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：
（1）已知雙曲線方程，求它的漸近線；
（2）求已知漸近線的雙曲線的方程；
（3）漸近線的斜率與離心率的關(guān)系。
如
注：（1）已知漸近線方程為 則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 的形式，根據(jù)其他條件確定 的正負(fù)。若 >0，焦點(diǎn)在x軸上；若 <0，焦點(diǎn)在y軸上。
（2）與雙曲線 共漸近的雙曲線方程為 ；
與雙曲線 共焦點(diǎn)的圓錐曲線方程為 。
※例題解析※
〖例〗中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn) ，且 ，橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3：7。
（1）求這兩曲線方程；
（2）若P為這兩曲線的一個交點(diǎn)，求 的值。
思路解析：設(shè)橢圓方程為 ，雙曲線方程為 →分別求a,b,m,n的值→利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求得 。
解答：（1）由已知： ，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長分別為m、n，則
，
解得a=7,m=3.
∴b=6,n=2.
∴橢圓方程為 雙曲線方程為 。
（2）不妨設(shè) 分別為左右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個交點(diǎn)，則 所以 又 ，
∴ = =
（三）直線與雙曲線的位置關(guān)系
〖例〗（1）求直線 被雙曲線 截得的弦長；
（2）求過定點(diǎn) 的直線被雙曲線 截得的弦中點(diǎn)軌跡方程
解析：由 得 得 （*）
設(shè)方程（*）的解為 ，則有 得，
（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為 ，它被雙曲線截得的弦為 對應(yīng)的中點(diǎn)為 ，
由 得 （*）
設(shè)方程（*）的解為 ，則 ，
∴ ，
且 ，
∴ ，
得 或 。
方法二：設(shè)弦的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)為 ，弦中點(diǎn)為 ，則
得： ，
∴ ， 即 ， 即 （圖象的一部分）
注：圓錐曲線中參數(shù)的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力，所以成為高考的熱點(diǎn)。
在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題，這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)ふ�。對于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題或最值問題，解法通常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時?>0等），通過解不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域。
四、拋物線
（一）拋物線的定義及應(yīng)用
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1．拋物線的離心率 =1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化。
2．焦半徑 它們在解題中有重要作用，注意靈活運(yùn)用。
※例題解析※
〖例〗已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5。若將拋物線C向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點(diǎn)，求拋物線C的方程。
解答：設(shè)所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ①
由①的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，得 =5②
在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1,x2，則
x1-x2=2 。
將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為
(x-h)2=a(y-k-3)
令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則
x3-x4=2 。
依題意得2 = ?2 ，
即 4(ak+3a)=ak ③
將拋物線①向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),
由拋物線過原點(diǎn)，得(1-h)2=-ak ④
由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。
∴所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。
（二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
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1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法。利用題中已知條件確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p的值；
2．對于直線和拋物線有兩個交點(diǎn)問題，“點(diǎn)差法”是常用法。如若 是拋物線 上兩點(diǎn)，則直線AB的斜率 與 可得如下等式 。
注：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，所以判斷類型是關(guān)鍵，在方程類型已確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程。
※例題解析※
〖例〗已知如圖所示，拋物線 的焦點(diǎn)為 ， 在拋物線上，其橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方， 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5。過 作 垂直于y軸，垂足為 ， 的中點(diǎn)為 。
（1）求拋物線方程；
（2）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)。
思路解析：由拋物線定義求p→求直線 ，MN的方程→解方程組得N點(diǎn)坐標(biāo)。
解答：（1）拋物線 的準(zhǔn)線為 于是4+ =5，∴ =2．∴拋物線方程為y2=4x
（２）∵點(diǎn) 的坐標(biāo)是（４，４），由題意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴ .∵M(jìn)N⊥FA,∴ .則FA的方程為 ,MN的方程為y-2= x,解方程組 ,得
∴ .
(三)直線與拋物線的位置關(guān)系
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1.直線與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)拋線方程為 ,直線Ax+By+C=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x得到關(guān)于y的方程my2+ny+q=0,
(1)若m≠0,當(dāng)?＞0時,直線與拋物線有兩個公共點(diǎn);
當(dāng)?=0時,直線與拋物線只有一個公共點(diǎn);
當(dāng)?＜0時,直線與拋物線沒有公共點(diǎn).
(2)若m=0,直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),此時直線與拋物線的對稱軸平行.
2.焦點(diǎn)弦問題
已知AB是過拋物線 的焦點(diǎn)的弦,F為拋物線的焦點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),則
(1) y1?y2=-p2, ? = ;
（2）
（3） ；
（4）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。
※例題解析※
〖例〗已知拋物線方程為 ，直線 過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。
解析：設(shè) 與拋物線交于
由距離公式AB= =
由
從而 由于p>0，解得
（四）拋物線的實(shí)際應(yīng)用
〖例〗如圖， ， 是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程；
（Ⅱ）該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于 km．求 此廠離點(diǎn)0的最近距離．（注：工廠視為一個點(diǎn)）
解析：（1）分別以 、 為 軸、 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9）
設(shè)MN所在拋物線的方程為 ，則有
，解得
∴所求方程為 （2≤ ≤3）5分
（說明：若建系后直接射拋物線方程為 ，代入一個點(diǎn)坐標(biāo)求對方程，本問扣2分）
（2）設(shè)拋物線弧上任意一點(diǎn)P（ ， ）（2≤ ≤3）
廠址為點(diǎn)A（0， ）（5＜t≤8 ，由題意得 ≥
∴ ≥07分
令 ，∵2≤ ≤3，∴4≤ ≤9
∴對于任意的 ，不等式 ≥0恒成立（*）8分
設(shè) ，∵ ≤8
∴ ≤ .
要使（*）恒成立，需△≤0，即 ≤010分
解得 ≥ ，∴ 的最小值為
所以，該廠距離點(diǎn)O的最近距離為6.25km12分
注：對實(shí)際應(yīng)用問題，首先應(yīng)審清題意，找出各量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)的方法解答，并回到實(shí)際問題中驗(yàn)證其正確性。
【感悟高考真題】
1．（2011?新課標(biāo)全國高考文科?Ｔ4）橢圓 的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【思路點(diǎn)撥】通過方程確定 的值，離心率 .
【精講精析】選D 由題意
2．（2011?安徽高考理科?Ｔ2）雙曲線 的實(shí)軸長是
（Ａ）２ �。ǎ拢� （Ｃ）４ �。ǎ模�
【思路點(diǎn)撥】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而求得實(shí)半軸長.
【精講精析】選C. 將雙曲線 化成標(biāo)準(zhǔn)方程 ，則 ，所以實(shí)軸長2a=4.
3．（2011?廣東高考文科?Ｔ8）設(shè)圓C與圓x2+（y-3）2=1外切，與直線y =0相切，則C的圓心軌跡為
A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓
【思路點(diǎn)撥】先求圓x2+（y-3）2=1的圓心坐標(biāo)為（0，3），利用動圓圓心到點(diǎn)（0，3）與直線y=-1的距離相等得結(jié)論.
【精講精析】選A.由題意，C的圓心到點(diǎn)（0，3）與直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知C的圓心軌跡為拋物線，故選A.
4．（2011?福建卷理科?Ｔ17）(本小題滿分13分)已知直線 ：y=x+m，m∈R.
（I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線 相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；
（II）若直線 關(guān)于x軸對稱的直線為 ，問直線 與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由.
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓的半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由 的方程求得 的方程，將 的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，得一元二次方程，然后依據(jù)對應(yīng)判別式 的正負(fù)，來判定兩者能否相切.
【精講精析】解法1：（I）依題意，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
因?yàn)?所以
解得 ，即點(diǎn) 坐標(biāo)為 .
從而圓的半徑
故所求圓的方程為 .
(Ⅱ)因?yàn)橹本� 的方程為 ，所以直線 的方程為 .
由 得 .
當(dāng) ，即 時，直線 與拋物線C相切；
當(dāng) ，即 時，直線 與拋物線C不相切.
綜上，當(dāng) 時，直線 與拋物線 相切；當(dāng) 時，直線 與拋物線C不相切.
解法2：（I）設(shè)所求圓的半徑為 ，則圓的方程可設(shè)為 .
依題意，所求圓與直線 相切于點(diǎn) ，則
解得
所以所求圓的方程為 .
（II）同解法1.
5．（2011?山東高考理科?Ｔ8）已知雙曲線 （a>0,b>0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為
（A） （B） （C） （D）
【思路點(diǎn)撥】先求出圓C的圓心坐標(biāo)（3,0），半徑r=2，再求出漸近線方程，由圓心到漸近線的距離等于半徑即可得到a,b的關(guān)系，再由雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心知c=2，即可求出結(jié)果.
【精講精析】選A.雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0，圓心為（3,0），半徑r=2.由圓心到直線的距離為 所以4a2=5b2又因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4.
6．（2011?山東高考文科?Ｔ15）已知雙曲線 和橢圓 有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 .
【思路點(diǎn)撥】先求橢圓焦點(diǎn)，即雙曲線的焦點(diǎn)，再由雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍求出b，然后寫出雙曲線的方程.
【精講精析】由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為（- ，0）、（ ，0），即c= ，又因?yàn)殡p曲線的離心率為 ，所以a=2,故b2=3，所以雙曲線的方程為
7．（2011?新課標(biāo)全國高考理科?Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y = -3上，M點(diǎn)滿足 ， ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值.
【思路點(diǎn)撥】第（1）問，求 點(diǎn)的軌跡，可設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，然后利用條件 得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后將條件 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，得到 滿足的關(guān)系式，化簡整理即得 的方程；
第（2）問，設(shè)出點(diǎn) 的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線 的斜率，表示出 的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得 點(diǎn)到 距離的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識求出最值即可.
【精講精析】(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由題意可知（ + ）? =0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
所以曲線C的方程式為y= x -2.
(Ⅱ)設(shè)P(x ,y )為曲線C：y= x -2上一點(diǎn)，因?yàn)閥= x,所以 的斜率為 x
因此直線 的方程為 ，即 .
則O點(diǎn)到 的距離 .又 ，所以
當(dāng) =0時取等號，所以O(shè)點(diǎn)到 距離的最小值為2.
8．（2010?湖南理數(shù)）19．（本小題滿分13分）
為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）．在直線 的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過 km的區(qū)域；在直線 的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過 km的區(qū)域．
（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖6所示，設(shè)線段 ， 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間．
【解析】（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .當(dāng) ≥2時，由題意知
當(dāng)
，因而其方程為
故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P1，P2的直線為l1，點(diǎn)P2，P3的直線為l2，則直線l1，l2的方程分別為
【考點(diǎn)模擬演練】
一、選擇題
1．設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 平行，則 ( )
A、 B、 C、 D、
答案：A
2．設(shè)曲線 在點(diǎn)（1, ）處的切線與直線 平行,則 ( )
A．1 B． C． D．
答案：A
3．雙曲線 （a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且PF1=2PF2，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.（0，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
答案：B
4．若 ，則點(diǎn) 必在（ ）
A．直線 的左下方B．直線 的右上方
C．直線 的左下方D．直線 的右上方
答案：C
5．若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離之比為2：1，則稱此橢圓或雙曲線存在“F點(diǎn)”，下列曲線中存在“F點(diǎn)”的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
6．北京奧運(yùn)會主體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖所示，
內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線 、 ，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為 ，則外層橢圓方程可設(shè)為 .若 與 的斜率之積為 ，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
答案：A
7．已知橢圓 中，原點(diǎn) 為中心， 為左焦點(diǎn)， 為左頂點(diǎn)，橢圓的左準(zhǔn)線交 軸于點(diǎn) ， 、 為橢圓上兩動點(diǎn)， 垂直左準(zhǔn)線于點(diǎn) ， 軸，則橢圓的離心率為① ；② ；③ ；④ ；⑤ .上述離心率正確的個數(shù)有（ ）
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
答案：D
8．已知方程 ，它們所表示的曲線可能是（ ）
答案：B
9．若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓 長軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
10．以雙曲線 的一個焦點(diǎn)為圓心，離心率為半徑的圓的方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
11．如圖，有公共左頂點(diǎn)和公共左焦點(diǎn) 的橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸的長分別為 和 ，半焦距分別為 和 .則下列結(jié)論不正確的是 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
12．雙曲線 的漸近線與圓 相切，則 等于（ ）
A. B.2 C. 3 D. 6
答案：A
二、填空題
13．△ABC中，A為動點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－ ,0),C( ,0)（其中m＞0，且m為常數(shù)），且滿足條件sinC－sinB= sinA,則動點(diǎn)A的軌跡方程為____.
答案：
14．曲線 在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸、直線 所圍成的三角形的面積為 .
答案：-16
15．已知兩點(diǎn) ， ，若拋物線 上存在點(diǎn) 使 為等邊三角形，則 .
答案：5或
16．過雙曲線 的右焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線，交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，則PQ｜的值為__________.
答案：
三、解答題
17．（本題滿分15分）如圖，△ABC為直角三角形， 點(diǎn)M在y軸上， ，
點(diǎn)C在x軸上移動．
（1）求點(diǎn)B的軌跡E的方程；
（2）過點(diǎn) 的直線l與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)
的夾角為 ，若恒有 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（3）設(shè)以點(diǎn)N(0，m)為圓心，以 為半徑的圓與曲線E在第一象限的交點(diǎn)H，
若圓在點(diǎn)H處的切線與曲線E在點(diǎn)H處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)m的值．
解：（1） M是BC的中點(diǎn)
…………2分
（2）設(shè)直線l的方程為 ，
恒成立。 ………………9分
………………11分
（3）由題意知，NH是曲線C的切線，設(shè) 則
………………13分
又
得 …………15分
18．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．
已知點(diǎn) 是雙曲線M： 的左右焦點(diǎn)，其漸近線為 ，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3．
(1)求雙曲線M的方程；
(2) 過 的直線 與M相交于 、 兩點(diǎn)，直線 的法向量為 ，且 ，求k的值；
(3)在(2)的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點(diǎn)C滿足 ，求m的值及△ABC的面積 ．
解: (1) 由題意得 ．…………………………………………………………4分
(2) 直線 的方程為 ，由 得 （*）
所以 ………………………………………………………………6分
由 得
即
代入化簡，并解得 （舍去負(fù)值）……………………………………………9分
(3)把 代入（*）并化簡得 ，
此時 ，
所以 …………………………………11分
設(shè) ，由 得 代入雙曲線M的方程解得
（舍），m=2，所以 ，……………………………………14分
點(diǎn)C到直線AB的距離為 ，
所以 ．……………………………………………………16分
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