玉溪一中201屆試題班級 第卷（選擇題，共分）一、選擇題本大題共個(gè)小題，每小題分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.設(shè)集合{1，2}，則滿足A∪B＝{1，2，3}的集合B的個(gè)數(shù)是A. 1 B. 3 C. 4 D. 82.若復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A. －2 B. 6 C. 4 D. －63.下列命題中是假命題的是A.x∈(0，)，x＞sinx B. x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C.x∈R，3x＞0 D. x0∈R，lgx0＝04.函數(shù)f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內(nèi)A.沒有零點(diǎn) B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn) C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D.有無窮多個(gè)零點(diǎn)5.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.若a2?a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝A. 35 B. 33 C. 31 D. 296.如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分），隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是A. B. C. D. 7.函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0且φ＜）在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A. B. C. D. 8.設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)MN達(dá)到最小時(shí)t的值為A. 1 B. C. D. 9.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π10.已知橢圓C1：＋＝1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn).若C1恰好將線段AB三等分，則A. a2＝ B. a2＝13 C. b2＝ D. b2＝211.已知函數(shù)f(x)＝ex＋x.對于曲線y＝f(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.其中，正確的判斷是A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④12.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x).則f()＋f()＝A. B. C. 1 D. 第卷（非選擇題，共分）二、填空題本大題小題，每題分，共分 13.二項(xiàng)式(x3－)5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .14.若以雙曲線－y2＝1的右頂點(diǎn)為圓心的圓恰與雙曲線的漸近線相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .15.定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)f(x)＝的最小值是 .16.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .三、解答題本大題共小題，共分17.（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝ .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面積S.18.（本小題滿分12分）某地區(qū)舉行一次數(shù)學(xué)新課程骨干教師研討會(huì)，共邀請15名使用人教A版或人教B版的教師，數(shù)據(jù)如下表所示：版本人教A版人教B版性別男教師女教師男教師女教師人數(shù)6342（Ⅰ）從這15名教師中隨機(jī)選出2名教師，則這2名教師恰好是教不同版本的男教師的概率是多少？（Ⅱ）研討會(huì)中隨機(jī)選出2名代表發(fā)言，設(shè)發(fā)言代表中使用人教B版的女教師的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.（本小題滿分12分）如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝EB，點(diǎn)F在CE上，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.（Ⅰ）求函數(shù)f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.21.（本小題滿分12分）設(shè)a≥0，函數(shù)f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－ .（Ⅰ）當(dāng)a≥1時(shí)，求f(x)的最小值；（Ⅱ）假設(shè)存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)－g(x2)＜1成立，求a的取值范圍.請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分..（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C的方程是p＝4，直線l的方程是psin(θ＋)＝3，求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)＝x－2a，a∈R.（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集為{x1＜x＜3}，求a的值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范圍.玉溪一中201屆試題一、選擇題本大題共1個(gè)小題，每小題分，共分.二、填空題本大題個(gè)小題，每題分，共分.－10； 14. (x－2)2＋y2＝； 15.－； 16.(－∞，－]∪[，＋∞).三、解答題本大題共個(gè)小題，共分.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，設(shè)＝＝＝k，則＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.（Ⅱ）由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，從而c＝2.又因?yàn)閏osB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝ .18.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）從15名教師中隨機(jī)選出2名共有種選法，所以這2名教師恰好是教不同版本的男教師的概率是＝ .（Ⅱ）由題意知，ξ的所有可能取值為0，1，2.則P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝ .故ξ的分布列為ξ012P所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×＋1×＋2×＝ .19.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）∵ BF⊥平面AEC，∴ BF⊥AE，∵ 二面角D—AB—E為直二面角， ∴ 平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴ BC⊥平面ABE，∴ BC⊥AE，又BF∩BC＝B，∴ AE⊥平面BCE.（Ⅱ）連接BD交AC于點(diǎn)G，連接FG，∵ 四邊形ABCD為正方形，∴ BD⊥AC，∵ BF⊥平面ACE，∴ BF⊥AC，又BD∩BF＝B，∴ AC⊥平面BFG.∴ FG⊥AC，∠FGB為二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，∴ AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴ AE＝BE＝，在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝＝，在正方形ABCD中，BG＝，在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝＝＝ .即二面角B—AC—E的正弦值為 .（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，點(diǎn)D到平面ACE的距離等于點(diǎn)B到平面ACE的距離，而BF⊥平面ACE，則線段BF的長度就是點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為點(diǎn)D到平面ACE的距離.故點(diǎn)D到平面ACE的距離為＝ .20.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝，① 當(dāng)0＜t＜時(shí)，函數(shù)f(x)在(t，)上單調(diào)遞減，在(，t＋2)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋2]上的最小值為f()＝－；② 當(dāng)t≥時(shí)，函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋2]上的最小值為f(t)＝tlnt.（Ⅱ）由題意得，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且僅有一個(gè)根，即a＝lnx＋x＋在(0，＋∞)上有且僅有一個(gè)根，令h(x)＝lnx＋x＋，則h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)，易知h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.21.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）f′(x)＝[x2＋(a－1)x－a]ex＝(x＋a)(x－1)ex，∵ a≥1， ∴ 當(dāng)x∈(－∞，－a)時(shí)，f(x)遞增，當(dāng)x∈(－a，1)時(shí)，f(x)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)遞增.∴ 函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x1＝－a，極小值點(diǎn)為x2＝1，而f(1)＝(1－a)e≤0，f(－a)＝＞0，令h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3，則其圖象的對稱軸為x＝＞－a，h(－a)＝a＋3＞0，∴ 當(dāng)x≤－a時(shí)，h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3＞0，∴ f(x)＞0.當(dāng)x＞－a時(shí)，f(x)的最小值為f(1)＝(1－a)e≤0.∴ f(x)的最小值是(1－a)e.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上的值域是[(1－a)e，＋∞)，當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).而g(x)＝2－a－x－≤3－a－2＝－a－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立，故g(x)在(0，＋∞)上的值域?yàn)?－∞，－a－1]，∴ 當(dāng)a≥1時(shí)，令(1－a)e－(－a－1)＜1，并解得a＞，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令0－(－a－1)＜1，無解.因此，a的取值范圍是(，＋∞).22.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，易得圓C的直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝16，直線l的直角坐標(biāo)方程是y＋x－6＝0，圓心C(0，0)到直線l的距離d＝＝3，∴ 圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為3＋4＝7.23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講解：（Ⅰ）由題意可得x－2a＜1可化為2a－1＜x＜2a＋1，即，解得a＝1.（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋x＝x－2a＋x＝，所以函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的最小值為2a，根據(jù)題意可得2a＜3，即a＜，所以a的取值范圍為(－∞，).云南省玉溪一中2014屆高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)理
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