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方程是指含有未知數(shù)的等式，以下是江蘇屆高考復(fù)習(xí)曲線與方程專(zhuān)題練習(xí)，請(qǐng)考生認(rèn)真練習(xí)。

一、填空題

1.(蘇州模擬)如圖85，已知F1、F2分別是橢圓C：+=1(a0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______.

[解析] 由題意得OQ=b=PF1，則PF2=2a-PF1=2a-2b，QF2=a-b，所以(a-b)2+b2=c2，解得2a=3b，則4a2=9b2=9a2-9c2，得e=.

[答案]

2.(南師附中調(diào)研)已知拋物線y2=4x，點(diǎn)A(5,0).點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線l與線段OA相交但不過(guò)O，A兩點(diǎn)，且交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則AMN的面積的最大值為_(kāi)_______.

[解析] 設(shè)直線l的方程為y=x+b(-5c，直線PR的方程為(y0-b)x-x0y+x0b=0.

圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于PRN，則圓心(1,0)到直線PR的距離為1.

=1，注意到x02，上式化簡(jiǎn)得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，

同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.b，c為方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩根.

b+c=，bc=，(b-c)2=.

又y=2x0，b-c=，S△PRN=(b-c)x0==(x0-2)++48，

當(dāng)且僅當(dāng)x0=4時(shí)取等號(hào)，PRN面積的最小值為8.

專(zhuān)題突破五 高考解析幾何問(wèn)題的求解策略

(見(jiàn)學(xué)生用書(shū)第187頁(yè))

類(lèi)型1 曲線方程與性質(zhì)

直線方程、圓方程、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在課標(biāo)高考中占有十分重要的地位，由已知條件求曲線方程或已知曲線方程研究曲線性質(zhì)是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，求曲線方程最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法，橢圓與雙曲線的離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的又一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系，另外拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的漸近線，圓的切線也是命題的熱點(diǎn).

【典例1】 (南京質(zhì)檢)已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2=4y的焦點(diǎn).

(1)求橢圓方程;

(2)若直線y=x-1與拋物線相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

[思路點(diǎn)撥] (1)由橢圓與拋物線的性質(zhì)，求橢圓方程中待定參數(shù)a，b，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)聯(lián)立方程求出圓心和半徑.

[規(guī)范解答] (1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上.

設(shè)橢圓的方程為+=1(a0) ，

因?yàn)閽佄锞�x2=4y的焦點(diǎn)為(0,1)，

所以b=1.

由離心率e==，a2=b2+c2=1+c2，

從而得a=，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

(2)由解得所以點(diǎn)A(2,1).

因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線方程為y=-1，

所以圓的半徑r=1-(-1)=2，

所以圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.

【反思啟迪】 1.待定系數(shù)法求曲線方程，關(guān)鍵是方程的聯(lián)立求解，結(jié)合條件，求待定參數(shù)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

2.直線與圓相切，可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

【變式訓(xùn)練1】 (重慶高考)如圖51，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，A兩點(diǎn)，|AA|=4.

圖51

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，P，過(guò)P，P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求PPQ的面積S的最大值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

[解] (1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上，則+=1，從而e2+=1.

由e=，得b2==8，從而a2==16.

故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)Q(x0,0).

又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則

|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8

=(x-2x0)2-x+8(x[-4,4]).

設(shè)P(x1，y1)，由題意知，點(diǎn)P是橢圓上到點(diǎn)Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式中當(dāng)x=x1時(shí)取最小值.又因?yàn)閤1(-4,4)，所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取最小值，從而x1=2x0，且|QP|2=8-x.

由對(duì)稱(chēng)性知P(x1，-y1)，故|PP|=|2y1|，所以

S=|2y1||x1-x0|=2|x0|

==.

當(dāng)x0=時(shí)，PPQ的面積S取到最大值2.

此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(，0)，半徑|QP|==，因此，這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)2+y2=6，(x-)2+y2=6.

類(lèi)型2 解析幾何中的存在性探究問(wèn)題

近年高考命題經(jīng)常設(shè)計(jì)探究是否存在性的問(wèn)題，考查學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，求解這類(lèi)問(wèn)題要重視數(shù)形的轉(zhuǎn)化，善于從特殊發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能正確推理與計(jì)算.

【典例2】 已知橢圓C1：+=1(a0)的離心率為e，且b，e，為等比數(shù)列，曲線y=8-x2恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn).

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)雙曲線C2：-=1的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別是橢圓C1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是C1和C2上的點(diǎn)，問(wèn)是否存在A，B滿(mǎn)足=.請(qǐng)說(shuō)明理由.若存在，請(qǐng)求出直線AB的方程.

[思路點(diǎn)撥] (1)轉(zhuǎn)化已知，構(gòu)建方程，求出a，b，c即可求出方程.(2)先求出C2的方程，假設(shè)結(jié)論成立，可得O，A，B三點(diǎn)共線，得直線AB的方程為y=kx，與C1，C2的方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo).利用共線得到k的方程，看能否求出k的值，即可判斷假設(shè)是否成立.

[規(guī)范解答] (1)由y=8-x2=0，得x=2，

所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)即c=2.

又b，e，為等比數(shù)列，所以2=b.

又a2=b2+c2，解得a=2，b=2，

故橢圓C1的方程為+=1.

(2)假設(shè)存在A，B滿(mǎn)足=，則可知O，A，B三點(diǎn)共線且A，B必不在y軸上.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線AB的方程為y=kx.

由(1)可知C2的方程為-=1.

由得(1+3k2)x2=12，即x=，

由得(1-2k2)x2=8，即x=，

由=，得x=x，

即=，

解得k2=，即k=.

所以存在A，B滿(mǎn)足=，此時(shí)直線AB的方程為y=x.

【反思啟迪】 1.探索性問(wèn)題通常采用肯定順推法，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，且滿(mǎn)足題意，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在;否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.

2.反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.

【變式訓(xùn)練2】 (鎮(zhèn)江模擬)如圖52，已知橢圓E：+=1(a0)的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)F(-，0)且斜率為k的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線l：x+4ky=0交橢圓E于C，D兩點(diǎn).

圖52

(1)求橢圓E的方程;

(2)求證：點(diǎn)M在直線l上;

(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得BDM的面積是ACM面積的3倍?若存在，求出k的值;若不存在，說(shuō)明理由.

[解] (1)由題意可知e==，c=，

于是a=2，b=1.

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立直線AB的方程與橢圓方程，得

即(4k2+1)x2+8k2x+12k2-4=0，

所以x1+x2=，x0==，y0=k(x0+)=，

于是M.

因?yàn)?4k=0，所以M在直線l上.

(3)當(dāng)k=時(shí)，滿(mǎn)足條件.由(2)知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，

若BDM的面積是ACM面積的3倍，

則|DM|=3|CM|，因?yàn)閨OD|=|OC|，于是M為OC的中點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x3，y3)，則y0=.由解得y3=，

于是=，解得k2=(舍負(fù))，所以k=.類(lèi)型3 解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

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