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空間中具有大小和方向的量叫做空間向量，數(shù)學(xué)網(wǎng)整理了空間向量難點(diǎn)提分專練，幫助廣大高一學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)!

難點(diǎn) 1利用空間向量解立幾中的探索性問題

1.如圖11-23，PD面ABCD，ABCD為正方形，AB=2，E是PB的中點(diǎn)，且異面直線DP與AE所成的角的余弦為。

試在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使EF平面PCB。

2.如圖11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一個(gè)直角梯形，AB、CD為梯形的兩腰，且AB=AD=AA1=a。

()如果截面ACD1的面種為S，求點(diǎn)D到平面ACD1的距離;

()當(dāng)為何值時(shí)，平面AB1C平面AB1D1。證明你的結(jié)論。

難點(diǎn) 2利用空間向量求角和距離

已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。

(1)棱BC上是否存在點(diǎn)P，使A1PPD，說(shuō)明理由;

(2)若BC上有且僅有一點(diǎn)P，使A1PPD，試求此時(shí)的二面角P-A1D-A的大小。

【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn) 1求異面直線所成的角

1.如圖11-1，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

(1)證明：面PAD面PCD;

(2)求AC與PB所成的角;

(3)求面AMC與面BMC所成二面角A-CM-B的大小。

A-MC-B為鈍角，二面角A-CM-B的大小為。

2.如圖11-2，在直四棱術(shù)ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足為E。(1)求證BDA1C;

(2)求二面角A1-BD-C1的大小;

(3)求異面直線AD與BC1所成角的大小。

【特別提醒】

利用空間向量求異面直線所成的角，公式為cos關(guān)鍵是正確地建立坐標(biāo)系進(jìn)而寫出各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)會(huì)出現(xiàn)用三條

兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤，還會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點(diǎn)的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤。寫點(diǎn)的

坐標(biāo)也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)時(shí)要掌握一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，如x軸上的點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0，0)，xoz面上的點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0,b)等，其次還

應(yīng)學(xué)會(huì)把某個(gè)平面單獨(dú)分化出來(lái)，利用平面幾何的知識(shí)求解，如本節(jié)的例2，求B的坐標(biāo)。

【舉一反三】

1.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2a,高為b，求異面直線AC1和A1B所成的角。

2.如圖11-4，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在CD上，且CG=CD，H為C1G的中點(diǎn)。

(1)求證：EFB1C;

3.如圖11-5 四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。(1)求證：平面PAD平面PCD;

(2)若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值;

(3)在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)在平面PAG的距離為1，如果存在，求出BG的值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

易錯(cuò)點(diǎn) 2求直線與平面所成的角

1.如圖在三棱錐PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP底面ABC。

(1)當(dāng)k=時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小;

(2)當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心?

2.如圖11-7，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)。(1)求證EF平面PAB;

(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小。

【特別提醒】求直線與平面所成角的公式為：sin=,其中a為直線上某線段所確定的一個(gè)向量，n為平面的一個(gè)法向量，這個(gè)公式很容易記錯(cuò)，

關(guān)鍵是理解，有些學(xué)生從數(shù)形結(jié)合來(lái)看，認(rèn)為n應(yīng)過直線上某個(gè)點(diǎn)，如例4中n應(yīng)過C點(diǎn)，這是錯(cuò)誤的，這里n是平面的任意一個(gè)法向量，

再說(shuō)一個(gè)向量過某一個(gè)具體的點(diǎn)這種說(shuō)法也是錯(cuò)誤的。

【舉一反三】

1如圖11-9，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90AC=2，BC=6，D為A1B1的中點(diǎn)，異面直線CD與A1B垂直。

(1)求直三棱術(shù)ABC-A1B1C1的高;

2、如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F。(1)求證：A1C平面BED;

(2)求A1B與平面BDE所成的角是正弦值。

3、已知四棱錐P-ABCD(如圖)，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，M、N別為AD、BC的中點(diǎn)，MQPD于Q，直線PC與平面PBA所成角的正弦值為(1)求證：平面PMN平面PAD;

(2)求PA的長(zhǎng);

(3)求二面角P-MN-Q的余弦值。

易錯(cuò)點(diǎn) 3 求二面角的大小

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，如圖11-12。(1)證明：AB平面VAD;

(2)求二面角A-VD-B的大小。

如圖11-14，已知三棱錐P-ABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，ABC、PEF

都是正三角形，PFAB。(1)證明：PC平面PAB;

(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;

(3)若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12的球面上，求ABC的邊長(zhǎng)。

【特別提醒】

利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：(1)根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角;(2)根據(jù)兩法向量的方向判斷。實(shí)際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法(如三垂線定理作出二面角的平面角)簡(jiǎn)單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來(lái)解。

【舉一反三】

如圖，在三棱錐P-OAC中，OP、OA、OC兩兩互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B為OC的中點(diǎn)。(1)求異面直線PC與AB所成角的余弦值;

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