函數(shù)的思想是用運動和變化的觀點、集合與對應(yīng)的思想,去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，以下是函數(shù)與方程專題強(qiáng)化練習(xí)，希望對考生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)有幫助。
一、選擇題
1.(文)曲線y=xex+2x-1在點(0，-1)處的切線方程為()
A.y=3x-1 B.y=-3x-1
C.y=3x+1 D.y=-2x-1
[答案] A
[解析] k=y|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3，
切線方程為y=3x-1，故選A.
(理)(2014吉林市質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=2sinx(x[0，])在點P處的切線平行于函數(shù)g(x)=2(+1)在點Q處的切線，則直線PQ的斜率()
A.1B.
C. D. 2
[答案] C
[解析] f(x)=2cosx，x[0，]，f(x)[-2,2]，g(x)=+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立，
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由題意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1[0，]，
x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.
[方法點撥] 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k=f (x0).
2.求曲線y=f(x)的切線方程的類型及方法
(1)已知切點P(x0，y0)，求y=f(x)過點P的切線方程：
求出切線的斜率f (x0)，由點斜式寫出方程;
(2)已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程k=f (x0)解得x0，再由點斜式寫出方程;
(3)已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f (x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程.
3.若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由k=f (x0)求出切點坐標(biāo)(x0，y0)，最后寫出切線方程.
4.(1)在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上.
(2)過點Q的切線即切線過點Q，Q不一定是切點，所以本題的易錯點是把點Q作為切點.因此在求過點P的切線方程時，應(yīng)首先檢驗點P是否在已知曲線上.
2.已知f(x)為定義在(-，+)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)ef(0)，f(2016)e2016f(0)
B.f(1)e2016f(0)
C.f(1)ef(0)，f(2016)0，即F(x)在xR上為增函數(shù)，
F(1)F(0)，F(xiàn)(2016)F(0)，
即，
f(1)ef(0)，
f(2016)e2016f(0).
[方法點撥] 1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f (x)0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增.如果f (x)0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.
2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟.
(1)找出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求f
(3)在定義域內(nèi)解不等式f (x)0，f (x)0.
3.求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f (x)0或f (x)0.
4.若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍，只需轉(zhuǎn)化為不等式f (x)0或f (x)0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立的問題求解，解題過程中要注意分類討論;函數(shù)單調(diào)性問題以及一些相關(guān)的逆向問題，都離不開分類討論思想.
3.(2015新課標(biāo)理，12)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x0時，xf(x)-f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()
A.(-，-1)(0,1) B.(-1,0)(1，+)
C.(-，-1)(-1,0) D.(0,1)(1，+)
[答案] A
[解析] 考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
記函數(shù)g(x)=，則g(x)=，因為當(dāng)x0時，xf(x)-f(x)0，故當(dāng)x0時，g(x)0，所以g(x)在(0，+)上單調(diào)遞減;又因為函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-，0)上單調(diào)遞減，且g(-1)=g(1)=0.當(dāng)00，則f(x)當(dāng)x-1時，g(x)0，則f(x)0，綜上所述，使得f(x)0成立的x的取值范圍是(-，-1)(0,1)，故選A.
[方法點撥] 1.在研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象，方程與不等式的解，不等式的證明等問題中，根據(jù)解題的需要可以構(gòu)造新的函數(shù)g(x)，通過研究g(x)的性質(zhì)(如單調(diào)性、極值等)來解決原問題是常用的方法.如在討論f (x)的符號時，若f (x)的一部分為h(x)，f (x)的符號由h(x)所決定，則可轉(zhuǎn)化為研究h(x)的極(最)值來解決，證明f(x)g(x)時，可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，轉(zhuǎn)化為h(x)的最小值問題等等.
2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題，是多元問題中的常見題型，常見的解題思路有以下兩種：
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域)，然后求解.
(2)換元，將問題轉(zhuǎn)化為一次不等式、二次不等式或二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決.
3.有關(guān)二次方程根的分布問題一般通過兩類方法解決：一是根與系數(shù)的關(guān)系與判別式，二是結(jié)合函數(shù)值的符號(或大小)、對稱軸、判別式用數(shù)形結(jié)合法處理.
4.和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點
函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y0時轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0.
數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).
直線與二次曲線位置關(guān)系問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.
立體幾何中有關(guān)計算問題，有時可借助面積、體積公式轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)最值求解.
5.注意方程(或不等式)有解與恒成立的區(qū)別.
6.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略：
(1)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最大值.
(2)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最小值.
(3)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最小值.
(4)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最大值.
(5)x1[a，b]，當(dāng)x2[c，d]時，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域與g(x)在[c，d]上的值域交集非空.
(6)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
(7)x2[c，d]，x1[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
4.(文)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象是()
[答案] B
[解析] 本題考查原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，y=f(x)在[-1,0]上每一點處的切線斜率逐漸變大，而在[0,1]上則逐漸變小，故選B.
(理)(2016石家莊市質(zhì)檢)定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))為頂點的ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)S(x)的大致圖象為()
[答案] D
[解析] A、B為定點，|AB|為定值，ABC的面積S(x)隨點C到直線AB的距離d而變化，而d隨x的變化情況為增大減小0增大減小，ABC的面積先增大再減小，當(dāng)A、B、C三點共線時，構(gòu)不成三角形;然后ABC的面積再逐漸增大，最后再逐漸減小，觀察圖象可知，選D.
[方法點撥] 1.由導(dǎo)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)注意導(dǎo)函數(shù)圖象位于x軸上方的部分對應(yīng)f(x)的增區(qū)間，下方部分對應(yīng)f(x)的減區(qū)間，與x軸的交點對應(yīng)函數(shù)可能的極值點，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定函數(shù)f(x)增長的速度;
2.由函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點，它們依次對應(yīng)f(x)的正負(fù)值區(qū)間和零點，圖象上開或下降的快慢決定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.
5.已知常數(shù)a、b、c都是實數(shù)，f(x)=ax3+bx2+cx-34的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，f(x)0的解集為-23，若f(x)的極小值等于-115，則a的值是()
A.- B.
C.2 D.5
[答案] C
[解析] 依題意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是[-2，3]，于是有3a0，-2+3=-，-23=，
b=-，c=-18a，函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故選C.二、解答題
6.(文)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.
(1)求a;
(2)證明：當(dāng)k1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.
[分析] (1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可把斜率用a來表示，再由斜率公式可求出a的值;(2)把曲線與直線只有一個交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點作為本問的切入點，利用分類討論的思想和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)在每個區(qū)間的單調(diào)情況，進(jìn)而求出零點個數(shù)，解決本問.
[解析] (1)f(x)=3x3-6x+a，f(0)=a，
由題設(shè)得-=-2，所以a=1.
(2)由(1)知，f(x)=x3-3x2+x+2.
設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.
由題設(shè)知1-k0.
當(dāng)x0時，g(x)=3x2-6x+1-k0，g(x)單調(diào)遞增，g(-1)=k-10，g(0)=4，
所以g(x)=0在(-，0]上有唯一實根.
當(dāng)x0時，令h(x)=x3-3x2+4，則g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).
h(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，+)上單調(diào)遞增，所以
g(x)h(2)=0，
所以g(x)=0在(0，+)上沒有實根.
綜上，g(x)在R上有唯一實根，即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.
(理)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明：當(dāng)x0時，x21，轉(zhuǎn)化為證明x2lnx+lnk成立.構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-2lnx-lnk求解.
[解析] (1)由f(x)=ex-ax，得f(x)=ex-a.
又f(0)=1-a=-1，得a=2.
所以f(x)=ex-2x，f(x)=ex-2.
令f(x)=0，得x=ln2.
當(dāng)xln2時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增;
所以當(dāng)x=ln2時，f(x)有極小值.
且極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，
f(x)無極大值.
(2)令g(x)=ex-x2，則g(x)=ex-2x.
由(1)得，g(x)=f(x)f(ln2)=2-ln40，即g(x)0.
所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)=10，
所以當(dāng)x0時，g(x)0，即x20時x20時，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使exkx2成立，則只要xln(kx2)，只要x2lnx+lnk成立，
令h(x)=x-2lnx-lnk，則h(x)=1-=，所以當(dāng)x2時，h(x)0，h(x)在(2，+)內(nèi)單調(diào)遞增
取x0=16k16，所以h(x)在(x0，+)內(nèi)單調(diào)遞增
又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k
易知klnk，kln2,5k0，所以h(x0)0.
即存在x0=，當(dāng)x(x0，+)時，恒有x20.
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性;
(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+)內(nèi)有唯一解.
[解析] 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+)，
g(x)=f(x)=2(x-1-lnx-a)，
所以g(x)=2-=.
當(dāng)x(0,1)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x(1，+)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增.
(2)由f(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，
令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx，
則(1)=10，(e)=2(2-e)0，
于是，存在x0(1，e)，使得(x0)=0.
令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(x1)，
由u(x)=1-0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，+)上單調(diào)遞增，
故0=u(1)
即a0(0,1).
當(dāng)a=a0時，有f(x0)=0，f(x0)=(x0)=0
再由(1)知，f(x)在區(qū)間(1，+)上單調(diào)遞增.
當(dāng)x(1，x0)時，f(x)0，從而f(x)
當(dāng)x(x0，+)時，f(x)0，從而f(x)
又當(dāng)x(0,1]時，f(x)=(x-a0)2-2xlnx0，
故x(0，+)時，f(x)0.
綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+)內(nèi)有唯一解.
(理)(2016江蘇，19)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a，bR).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(-，-3)，求c的值.
[解析] 考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點.
(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，通過討論導(dǎo)函數(shù)零點求解;(2)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系求解.
(1)f(x)=3x2+2ax，令f(x)=0，解得x1=0，x2=-.
當(dāng)a=0時，因為f(x)=3x20，所以函數(shù)f(x)在(-，+)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a0時，x(0，+)時，f(x)0，x(-，0)時，f(x)0，
所以函數(shù)f(x)在，(0，+)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;
當(dāng)a0時，x(-，0)時，f(x)0，x時，f(x)0，
所以函數(shù)f(x)在(-，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)=b，f=a3+b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)f=ba3+b0，從而或.
又b=c-a，所以當(dāng)a0時，a3-a+c0，
或當(dāng)a0時，a3-a+c0.
設(shè)g(a)=a3-a+c，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(-，-3)，則在(-，-3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，
從而g(-3)=c-10，且g=c-10，因此c=1.
此時，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，
因函數(shù)有三個零點，則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個異于-1的不等實根，
所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30，且(-1)2-(a-1)+1-a0，
解得a(-，-3)1，，+.
綜上c=1.
[方法點撥] 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)綜合題的一般步驟：
第一步，將所給問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的問題.
若已給出函數(shù)，直接進(jìn)入下一步.
第二步，確定函數(shù)的定義域.
第三步，求導(dǎo)數(shù)f (x)，解方程f (x)=0，確定f(x)的極值點x=x0.
第四步，判斷f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值，若在x=x0左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f (x)不變號，則x=x0不是f(x)的極值點.
第五步，求f(x)的最值，比較各極值點與區(qū)間端點f(a)，f(b)的大小，最大的一個為最大值、最小的一個為最小值.
第六步，得出問題的結(jié)論.
8.濟(jì)南市兩會召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的環(huán)保提案對某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實地調(diào)研，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k0).現(xiàn)已知相距36km的A、B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值.
[解析] (1)設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k0.
從而點C處污染指數(shù)y=+(00，即f(x)0，故f(x)為增函數(shù);
當(dāng)xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù);
由f(x)在[3，+)上為減函數(shù)，知x2=3，
解得a-，
故a的取值范圍為.
[方法點撥] 1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的一般步驟
(1)求定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f (3)求極值，先解方程f (x)=0，驗證f (x)在根左右兩側(cè)值的符號確定單調(diào)性，若在x=x0左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f(x)的值不變號，則x=x0不是f(x)的極值點;(4)求最值，比較各極值點與區(qū)間[a，b]的端點值f(a)、f(b)的大小，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
2.已知f(x)在某區(qū)間上的極值或極值的存在情況，則轉(zhuǎn)化為方程f (x)=0的根的大小或存在情況.
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