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單元檢測五　四邊形
(時間：120分鐘　總分：120分)
一、(每小題3分，共30分)
1．如圖，小林從P點向西直走12米后，向左轉，轉動的角度為α，再走12米，如此重復，小林共走了108米回到點P，則α為(　　)

A．30° B．40° C．80° D．不存在
2．李明設計了下面四種正多邊形的瓷磚圖案，用同一種瓷磚可以平面密鋪的是(　　)

A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3．如圖所示，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AB≠AD，則下列式子不正確的是(　　)

A．A C⊥BD B．AB＝CDC．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD
4．已知菱形的邊長為6，一個內角為60°，則菱形較短的對角線長是(　　)
A．33 B．63 C．3 D．6
5．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，AC，BD相交于O點，∠BCD＝60°，則下列說法 不正確的是(　　)

A．梯形ABCD是軸對稱圖形 B．BC＝2AD
C．梯形ABCD是中心對稱圖形 D．AC平分∠DCB
6．如圖，矩形ABCD的周長為20 c，兩條對角線相交于O點，過點O作AC的垂線EF，分別 交AD，BC于E，F(xiàn)點，連接CE，則△CDE的周 長為(　　)

A．10 c B．9 c C．8 c D．5 c
7．如圖，在△ABC中，點E，D，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，則下列四個判斷中不正確的是(　　)

A．四邊形AEDF是平行四邊形
B．如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形
8．如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC＝3，則折痕CE的長為(　　)

A．23 B．332 C．3 D．6
9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45， BC＝10，則AB的值是(　　)

A．3 B．6 C．8 D．9
10．如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點D，F(xiàn)，BE⊥DF交DF的延長線于點E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是(　　)

A．23 B．33 C．4 D．43
二、題(每小題3分，共24分)
11．已知菱形的對角線長分別為16 c,12 c，則周長是__________．
12．如圖，在 ABCD中，E是BA延長線上一點，AB＝AE，連接CE交AD于點F，若CF平分∠BCD，AB＝3，則BC的長為__________．

13．矩形紙片ABCD的邊長AB＝4，AD＝2.將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色，則著色部分的面積為__________．

14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC＝8 c，BD＝6 c，則此梯形的高為__________c.

15．如圖，在邊長為2 c的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB，PQ，則△PBQ周長的最小值為__________c(結果不取近似值)．

16．如圖，任意一個凸四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是各邊的中點，圖中陰影部分的兩塊面積之和是四邊形ABCD的面積的_____ _____．

17. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當運動時間t=_________秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．

18．如圖，依次連接 第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個矩形的面積為1，則第n個矩形的面積為__________．

三、解答題(共66分)
19．(6分)如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.

(1)求證：△AFD≌△CEB；
(2)四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由．
20．(6分)如圖，已知E，F(xiàn)分別是 ABCD的邊BC，AD上的點，且BE＝DF.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；
(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長．
21．(8分)如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF.

(1)試說明AC＝EF；
(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
22．(8分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于 點E.

求證：(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝AE.
23. (9分)寫出下列命題的已知、求證，并完成證明過程．

命題：如果平行四邊形的一條對角線平分它的一個內角，那么這個平行四邊形是菱形．
已知：如圖，________________.
求證：__________________.
證明：
24．(9分) 如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′(此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上)，A′B′交AD于點E，連接AA′，CE.

求證：(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直線CE是線段AA′的垂直平 分線．
25．(10分)如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA，OD到點F，E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連接EF.將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E1OF1(如圖2)．

(1)探究AE1與BF1的數(shù)量關系，并給予證明；
(2)當α＝30°時，求證：△AOE1為直角三角形．
26．(10分)如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE ∥BC，過點D作DE∥AB，DE與AC，AE分別交于點O、點E，連接EC．

(1)求證：AD＝EC；
(2)當∠BAC＝90°時，求證：四邊形ADCE是菱形；
(3)在(2)的條件下，若AB＝AO，求tan∠OAD的值．

參考答案
一、1.B
2．A　③是正五邊形，幾個正五邊形的內角繞著一點不能拼成一個周角，所以正五邊形不可以密鋪．
3．A　4.D
5．C　∵AD∥BC，AB＝CD＝AD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠ADB，
∴梯形ABCD是軸對稱圖形，∠DBC＝12∠ABC.
∵∠BCD＝60°，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2AD.
∵梯形ABCD是軸對稱圖形，BD平分∠ABC，
∴AC平分∠DCB，故不正確的說法只有C.
6．A　∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∴CE＋CD＋ED＝AE＋ED＋CD＝AD＋CD
＝12(AB＋BC＋CD＋AD)＝12×20＝10(c)．
7．D　兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，A項正確；有一個角是直角的平行四邊形是矩形，B項正確；對角線平分對角的平行四邊形是菱形，C項正確；因此D項錯．
8．A　9.B　10.A
二、11.40 c　12.6　13.112
14．4.8　作DE∥AC交BC的延長線于E，

∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四邊形ACED為平行四邊形．
∴DE＝AC＝8 c.
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴△BDE為直角三角形．
∵BD＝6 c，DE＝8 c，
∴BE＝BD2＋DE2＝10 c.
作DF⊥BE于F，則12BD•DE＝12BE•DF，
即12×6×8＝12×10•DF，
∴DF＝4.8 c.
15．(5＋1)　如圖，連接QD交AC于P，連接BP，BD.

∵點D是點B關于直線AC的對稱點，而AC垂直平分BD，∴PB＝PD.
∴PB＋PQ＝PD＋PQ＝QD，此時所求周長最�。�
在Rt△DCQ中，QC＝1，DC＝2，∴QD＝5.
∴△PBQ周長的最小值為(5＋1) c.
16.12　17.2或143　18.14n－1
三、19.解：(1)證明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.
∵在△AFD和△CEB中，DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)．
(2)四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵△AFD≌△CEB，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE.
∴AD∥CB.
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
20．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.∴AF∥EC.
∵BE＝DF，∴AF＝EC.
∴四邊形AECF是平行四邊形．
(2)解：∵四邊形AECF是菱形，∴AE=EC.

∴∠1=∠2.
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1.
∴∠3=∠4.∴AE=BE.
∴BE=AE=CE=12BC=5.
21．解：(1)∵△ABE是等邊三角形，F(xiàn)E⊥AB交于F，
∴∠AEF＝30°，AB＝AE，∠EFA＝90°.
在Rt△AEF和Rt△BAC中，
∵∠AEF＝∠BAC，∠EFA＝∠ACB，AE＝AB，
∴△AEF≌△BAC(AAS)．∴AC＝EF.
(2)證明：∵△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD.
∴∠DAB＝60°＋30°＝90°.
又∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠DAB.
∴AD∥EF.
又∵AC＝EF(已證)，AC＝AD，
∴AD＝EF.∴四邊形ADFE是平行四邊形．
22．證明：(1)∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中，
BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，F(xiàn)C＝FC.
∴△BFC≌△DFC.
(2)如圖，連接BD.

∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF.
∴∠FBD=∠FDB.
∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又BD是公共邊，∴△BAD≌△BED.
∴AD=DE.
23．解：在 ABCD中　對角線AC平分∠DAB(或∠DCB)．
ABCD是菱形
證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC.
∴∠DAC＝∠BCA.
∵對角線AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠BCA＝∠BAC.
∴BA＝BC.
∴ ABCD是菱形．
24．證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°.
∴∠A′DE＝90°，
根據(jù)旋轉的方法可得，∠EA′D＝45°.
∴∠A′ED＝45°.∴A′D＝DE.
在△AA′D和△CED中，AD＝CD，∠ADA′＝∠EDC，A′D＝ED，
∴△AA′D≌△CED.
(2)∵AC＝A′C，
∴點C在AA′的垂直平分線上．
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠CAE＝45°.
∵AC＝A′C，CD＝CB′，
∴AB′＝A′D.
在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′＝∠EA′D，∠AEB′＝∠A′ED，AB′＝A′D，
∴△A EB′≌△A′ED，∴AE＝A′E.
∴點E也在AA′的垂 直平分線上．
∴直線CE是線段AA′的垂直平分線．
25．(1)解：AE1＝BF1.理由如下：
∵O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OD.
∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE＝OF.
∵將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E1OF1，
∴OE1＝OF1.
∵∠F1OB＝∠E1OA，OA＝OB，
∴△E1AO≌△F1BO，∴AE1＝BF1.
(2)證明：如圖，取OE1的中點G，連接AG，

∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E1OA=90 °-α=60°.
∵OE1=2OA，∴OA=OG，
∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE1，∴∠GAE1=∠GE1A=30°，
∴∠E1AO=90°，∴△AOE1為直角三角形．
26．(1)證明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD且AE＝BD.
又∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，
∴AE?CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AD＝EC.
(2)證明：∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的中線，
∴AD＝BD＝CD.
又∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是菱形．
(3)解：∵四邊形ADCE是菱形，
∴AO＝CO，∠AOD＝90°.又∵BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位線，則OD＝12AB.
∵AB＝AO，∴OD＝12AO.
∴在Rt△ABC中，tan∠OAD＝ODOA＝12.