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13、（2013• 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．
其中正確的序號是�、佗冖堋。ò涯阏J(rèn)為正確的都填上）．

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC?BE=CD?DF，
∴CE=CF，
∴①說法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說法錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
設(shè)正方形的邊長為a，
在Rt△ADF中，
a2+（a? ）2=4，
解得a= ，
則a2=2+ ，
S正方形ABCD=2+ ，
④說法正確，
故答案為①②④．

點(diǎn)評：本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩．

14、（2013•黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=　 �。�

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．3481324
分析：根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD為中線，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中線，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD= = ，
即DE=BD= ，
故答案為： ．
點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長．

15、（2013•黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度．

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．
解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案為：15．
點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中．

16、(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于 軸，一頂點(diǎn)在 軸上．從內(nèi)到外，它們的邊長依次為 ，頂點(diǎn)依次用 表示，其中 與 軸、底邊 與 、 與 、 均相距一個單位，則頂點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ， 的坐標(biāo)是 ．
解析：考查正三角形的相關(guān)知識及找規(guī)律的能力。由圖知， 的縱坐標(biāo)為：
， ，而 的橫坐標(biāo)為： ，由題意知， 的縱坐標(biāo)為 ， ，容易發(fā)現(xiàn) 、 、 、 、 、 這些點(diǎn)在第四象限，橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)， 、 、 、 、 、 的下標(biāo)2、5、7、 、92、 有規(guī)律： ， 是第31個正三角形（從里往外）的右端點(diǎn)，

17、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個單位長度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對稱，則對稱軸是 ；△AOC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度；
（2）連結(jié)AD，交OC于點(diǎn)E，求∠AEO的度數(shù)．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．
專題：．
分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?2，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關(guān)于y軸對稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得△AOC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以O(shè)E為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?2，0），
∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD；
∴△AOC與△BOD關(guān)于y軸對稱；
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB．
（2）如圖，∵等邊△AOC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案為2；y軸；120．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．　
18、（2013•湖州）如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．
（1）求BC的長；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

考點(diǎn)：切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理．
分析：（1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．
解答：（1）解：連接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，
∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC=2；

（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
19、（2013•萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
分析：（1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；
（2）當(dāng)AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進(jìn)而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC= 或AB=2AC．
解答：（1）證明：連結(jié)CE．
∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CE=AB=AE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD．
在△ADE與△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB= ，sin30°= ，AC= 或AB=2AC．
∴當(dāng)AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)．
20、（2013•衢州）【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)A，以A為邊作等邊△AN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)A，以A為邊作等腰△AN，使頂角∠AN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
分析：（1）利用SAS可證明△BA≌△CAN，繼而得出結(jié)論；
（2）也可以通過證明△BA≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出∠BAC=∠AN，從而判定△ABC∽△AN，得到 = ，根據(jù)∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，得到∠BA=∠CAN，從而判定△BA∽△CAN，得出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵△ABC、△AN是等邊三角形，

∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，
∴∠BA=∠CAN，
∵在△BA和△CAN中，

∴△BA≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AN是等邊三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，
∴∠BA=∠CAN，
∵在△BA和△CAN中，

∴△BA≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，A=N，頂角∠ABC=∠AN，
∴底角∠BAC=∠AN，
∴△ABC∽△AN，
∴ = ，
又∵∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，
∴∠BA=∠CAN，
∴△BA∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．