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55、（2013•湖州）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點O，點PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．
（2）特殊位置，證明結(jié)論
若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．
（3）知識遷移，探索新知
若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程）

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD= x，即可得出答案．
解答：（1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO?∠1，∠4=∠2?∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

（3）解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′．
理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x?x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．

56、（2013•綏化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF
（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；
（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；
①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；
②若正方形ADEF的邊長為2 ，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．

考點：四邊形綜合題．
分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF?CD=BC；
（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長，則OC即可求得．
解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠DAC，∠CAF=90°?∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）CF?CD=BC；

（3）①CD?CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠BAF，∠CAF=90°?∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的邊長為2 且對角線AE、DF相交于點O．
∴DF= AD=4，O為DF中點．
∴OC= DF=2．
點評：本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證明三角形全等是關(guān)鍵．

57、（2013•煙臺）已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是　AE∥BF　，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式　QE=QF　；
（2）如圖2，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）如圖3，當(dāng)點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．
分析：（1）證△BFQ≌△AEQ即可；
（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；
（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如圖1，∵Q為AB中點，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF．

（2）QE=QF，
證明：如圖2，延長FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，
證明：如圖3，
延長EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜邊DE上的中線，
∴QE=QF．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．

58、（9-3全等與相似的綜合與創(chuàng)新•2013東營中考）(本題滿分10分) (1)如圖(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線經(jīng)過點A，BD⊥直線, CE⊥直線,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2)，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3) 拓展與應(yīng)用：如圖(3)，D、E是D、A、E三點所在直線上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.

23. (本題滿分10分)分析：（1）因為DE=DA+AE，故通過證 ，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE.
（2）成立，仍然通過證明 ，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.
（3）由 得BD=AE， ， 與 均等邊三角形，得 ，F(xiàn)B=FA，所以 ，即 ，所以 ，所以FD=FE， ，再根據(jù) ，得 ，即 ，故 是等邊三角形.
證明：(1)∵BD⊥直線,CE⊥直線
∴∠BDA＝∠CEA=90°
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD………………1分
又AB=AC
∴△ADB≌△CEA………………2分
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD= BD+CE ………………3分
(2)∵∠BDA =∠BAC= ，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—
∴∠DBA=∠CAE………………4分
∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC
∴△ADB≌△CEA………………5分
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA =∠CAE
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形
∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF
∴∠DBF=∠FAE………………8分
∵BF=AF
∴△DBF≌△EAF………………9分
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF為等邊三角形.………………10分

點撥：利用全等三角形的性質(zhì)證線段相等是證兩條線段相等的重要方法.

59、（2013•常德壓軸題）已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，是AF的中點，連接B、E．
（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：B∥CF；
（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求B，E的長；
（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：B=E．

考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．3718684
分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明B為△ADF的中位線即可；
證法二：如答圖1b所示，延長B交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BA=∠DF，根據(jù)中點定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EB=45°，從而得到∠EB=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明B∥CF即可，
（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線；
解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得B=D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得E⊥BD，求出△BE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線：B= DF，E= AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明B=E；
證法二：如答圖3b所示，延長B交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BA=∠DF，根據(jù)中點定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，B=D，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．
解答：（1）證法一：

如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點B為線段AD的中點，
又∵點為線段AF的中點，
∴B為△ADF的中位線，
∴B∥CF．
證法二：

如答圖1b，延長B交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BA=∠DF，
∵是AF的中點，
∴A=F，
∵在△AB和△FD中，
，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE?BC，DE=EF?DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EB=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EB=∠ECF，
∴B∥CF；

（2）解法一：
如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，
∴點B為AD中點，又點為AF中點，
∴B= DF．

分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，
∴點E為FG中點，又點為AF中點，
∴E= AG．
∵CG=CF= a，CA=CD= a，
∴AG=DF= a，
∴B=E= × a= a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE?CB=2a?a=a，
∵△AB≌△FD，
∴B=D，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BE是等腰直角三角形，
∴B=E= BE= a；

（3）證法一：
如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴點B為AD中點，又點為AF中點，∴B= DF．

延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴點E為FG中點，又點為AF中點，∴E= AG．
在△ACG與△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴B=E．
證法二：

如答圖3b，延長B交CF于D，連接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BA=∠DF，
∴是AF的中點，
∴A=F，
在△AB和△FD中， ，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，B=D，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵B=D，
∴B=E= BD，
故B=E．
點評：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．

60、（13年安徽省14分、23壓軸題）我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）。

（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證：
（3）在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，若EB=EC，請問當(dāng)點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）