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第19章矩形、菱形與正方形
一、選擇題
1.下列命題正確的是（     ）           
A. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形                                 B. 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形                          D. 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
2.若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,  則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為(   )           
A. 20                                         B. 16                                         C. 12                                         D. 10
3.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是（）           
A. 對(duì)角線互相平分            B. 對(duì)角線互相垂直            C. 對(duì)角線相等            D. 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角
4.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列條件：①AB∥CD； ②AB=CD； ③OA=OC；④OB=OD； ⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．則下列各組組合中，不能推出四邊形ABCD為菱形的是（   ）           
A. ①②④                                 B. ③④⑤                                 C. ①②⑤                                 D. ①②⑥
5.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1， ），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　　）
 
A. （ ， 1）                 B. （?1， ）                 C. （? ， 1）                 D. （? ， ?1）
6.已知：如圖，在▱ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接BE，DF∥BE交BC于點(diǎn)F，AF與BE交于點(diǎn)M，CE與DF交于點(diǎn)N，AF，BE分別平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分別平分∠BCD，∠ADC，則四邊形MFNE是（　�。�
 
A. 菱形                                 B. 矩形                                 C. 平行四邊形                                 D. 正方形
7.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（　�。�
 
A. 3                                          B. 5                                          C. 2.4                                          D. 2.5
8.正方形四邊中點(diǎn)的連線圍成的四邊形（最準(zhǔn)確的說(shuō)法）一定是（　　）           
A. 矩形                                 B. 菱形                                 C. 正方形                                 D. 平行四邊形
9.如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OM∥AB交AD于點(diǎn)M，若OM=3，BC=10，則OB的長(zhǎng)為（   ）
  
A. 5                                        B. 4                                        C.                                          D. 
10.如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=5，BD=8，AE⊥CD于E，則AE的長(zhǎng)為（   ）
 
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
11.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是（　�。�
 
A. 30                                         B. 34                                         C. 36                                         D. 40
12.如圖，正方形ABCD中，以對(duì)角線AC為一邊作菱形AEFC，則∠FAB等于（   ）  
A. 22.5°                                      B. 45°                                      C. 30°                                      D. 135°
二、填空題
13.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件________使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．
 
14.如圖，剪兩張等寬對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中的一張，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形是________．
 
15.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______
 
16.已知正方形的周長(zhǎng)是8  ，則對(duì)角線長(zhǎng)是________．   
17.如圖，BF平行于正方形ABCD的對(duì)角線AC，點(diǎn)E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，則∠BCF的度數(shù)為_(kāi)_______．
 
18.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA  ， 對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O  ， 若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是________
 
19.已知：如圖所示，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，若EC=AC，AE交CD于F，則∠AFC=________度．
 
20.如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，則DE的長(zhǎng)度是________ �。ńY(jié)果用根號(hào)表示）．
 
三、解答題
21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接對(duì)角線AC，E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，滿足AE=CF，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．  

22.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，求OH的長(zhǎng)？
23.如圖，在▱ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長(zhǎng)線上，且AE=AD，CF=CB．
 
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；   
（2）若去掉已知條件“∠DAB=∠60°”，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．    

24.四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．   
（1）如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與邊BC相交，連接AP，BN．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明；
 
（2）點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上，且∠APO=30°，連接OP，以O(shè)P為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與BC的延長(zhǎng)線恰交于點(diǎn)N，連接CM，若AB=2，求CM的長(zhǎng)（不必寫出計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述求CM長(zhǎng)的過(guò)程）   
 
參考答案
一、選擇題
 D  A  C  A  C  B  B  C  D  C  B  A 
二、填空題
13. AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC        14. 菱形         15. 3 
16. 4          17. 105° 
18. AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一） 
19. 112.5                   20. 
三、解答題
21. 證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，  ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA?AE=OC?CF，
即OE=OF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
 
22. 解：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=DC，AO=OC，
∵菱形的周長(zhǎng)為28，
∴AB=7，
∵H為AD邊的中點(diǎn)，
∴OH為△ABD的中位線，
∴OH= AB= ×7=3.5． 
23. （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，  ∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四邊形AFCE是平行四邊形
（2）解：上述結(jié)論還成立．  證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
 ，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四邊形EAFC是平行四邊形． 
24. （1）解：①補(bǔ)全圖形如圖1所示，
 
②結(jié)論：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延長(zhǎng)NB交AP于H，交OP于K．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2=90°，
∵四邊形OPMN是正方形，
∴OP=ON，∠PON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
 ，
∴△APO≌△BNO，
∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°，
∵∠7=∠6，
∴∠4+∠7=90°，
∴∠PHK=90°，
∴AP⊥BN．
（2）解：解題思路如下：
 
a．首先證明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由題意可知AT=TB=1，
c．由∠APO=30°，可得PT=  ，BN=AP=  +1，可得∠POT=∠MNS=60°．
d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，
可證，△OTP≌△NSM，
∴PT=MS=  ，
∴CN=BN?BC=  ?1，
∴SC=SN?CN=2?  ，
在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2  ，
∴MC的長(zhǎng)可求．