第一講 最不利原則
例1.盒子里有5支紅筆，3支藍筆，10支黑筆�，F在隨意抓一把筆要確保其中至少有1支紅筆，則一把必須不少于幾支？
分析：抓得巧，只要抓1支即可。然而并不能保證實現這種情況。最不利的情況是抓了13支，都是不想要的黑筆與藍筆。不過，只要再多抓1支就必定包含紅的了。
解：10＋3＋1＝14（支）
例2.一列2個小方格，每個方格中隨意涂紅黑兩種顏色中的一種，當涂畢第幾列時，至少有2列是相同的？（有一列與另一列重復）。
分析：不妨這樣想：要實現兩列所用顏色一樣，涂的順序也相同。然而，由于是任意選的，據最不利原則總是先考慮已涂各列沒有重復的。如：
紅 紅 黑 黑……
紅 黑 黑 紅……
實際上各不相同的列數總共只有4列。到第5列就必定重復前面涂過的4種中的某一種。如果并非遇到最不利情況，那么在前5列中重復的列數就不止2列。這與“至少2列”并不矛盾。
解：4＋1＝5（列）
練習一
1.盒子里有3支紅筆，6支藍筆，10支黑筆�，F在隨意抓一把筆要確保其中至少有1支紅筆，則一把必須不少于幾支？
2.魚池中有30條白鱗魚，50條黑鱗魚，50條金鱗魚。至少在多少名釣魚者中才可保證他們一次釣出的魚中，必有金鱗魚？
3.在一個口袋中有10個黑球、 6個白球、 4個紅球。問：至少從中取出多少個球，才能保證其中有白球？
4.口袋中有三種顏色的筷子各10根，問：至少取多少根才能保證三種顏色都取到？
5.在三個口袋中各有10個黑球、10個白球、10個紅球。問：至少從中取出多少個球，才能保證其中有白球？
第二講 抽屜原理
專題簡析：
如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2盒餅干。如果把4封信投到3個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2封信。如果把3本聯練習冊分給兩位同學，那么可以肯定其中有一位同學至少分到2本練習冊。這些簡單內的例子就是數學中的“抽屜原理”。
基本的抽屜原理有兩條：（1）如果把x＋k（k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m＋1個或更多個元素。
例.某校六年級有學生367人，請問有沒有兩個學生的生日是同一天？為什么？
分析與解：把一年中的天數看成是抽屜，把學生人數看成是元素。把367個元素放到366個抽屜中，至少有一個抽屜中有2個元素，即至少有兩個學生的生日是同一天。
平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數看做抽屜，共366個抽屜。把367個人分別放入366個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學生的生日是同一天。
練習二
1.某校有370名2002年出生的學生，其中至少有幾個學生的生日是同一天？
2.某校有30名學生是2月份出生的，至少有幾個學生生日是在同一天？
3.15個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？
4.小明家有5口人，小明媽媽至少要買幾個蘋果分給大家，才能保證至少有一人能得兩個蘋果？
第三講 巧算24點
同學們，看過王小丫主持的“開心辭典”節(jié)目嗎？我記得上臺答題者有3道必做題，其中有一道有關數學的是：用四個數，通過加減乘除計算出24。“巧算24點”是一種數學游戲，正如象棋、圍棋一樣是人們喜聞樂見的娛樂活動。它對于培養(yǎng)我們快捷的心算能力和反應能力很有幫助。相信你會很快喜歡上它的！
假如，你手中就只有兩張牌要算出24，你希望是哪兩張？3和8，4和6，12和2，11和13。
1.利用3×8＝24、4×6＝24求解。
現在我們有四張牌，該怎么辦呢？把牌面上的四個數想辦法湊成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可組成（10－6÷3）＝24等。又如2、3、3、7可組成（7＋（3－2）×3＝24等。實踐證明，這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法。
2.利用0、1的運算特性求解。
同數相減得0，0加任何數的原數。相同數相除的1，1乘任何數得原數等。如3、4、4、8可組成3×8＋4－4＝24等。又如4、5、J、K可組成11×（5－4）＋13＝24等。
練習三
3，3，5，6
2，2，4，8
1，4，4，5
6，8，8，9
5，7，12，12
2，2，6，9
2，6，9，9
1，4，4，7
2，2，5，7
第四講 相遇問題
例1.甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點32千米處相遇，東、西兩地相距多少千米?
分析與解答：從圖中可以看出，兩車相遇時，甲車比乙車多行了32×2＝64（千米）。兩車同時出發(fā)，為什么甲車會比乙車多行64千米呢？因為甲車每小時比乙車多行56－48＝8（千米）。64里包含8個8，所以此時兩車各行了8小時，東、西兩地的路程只要用（56＋48）×8就能得出。
32×2÷（56－48）＝8（小時）
（56＋48）×8＝832（千米）
答：東、西兩地相距832千米。
練習四
1.小玲每分鐘行100米，小平每分鐘行80米，兩人同時從學校和少年宮出發(fā)，相向而行，并在離中點120米處相遇。學校到少年宮有多少米？
2.一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出，汽車每小時行40千米，摩托車每小時行65千米，當摩托車行到離兩地中點處50千米時和汽車相遇。甲、乙兩地相距多少千米？
3.甲、乙二人同時從東、西村相向出發(fā)，甲每分鐘行120米，乙每分鐘行100米，甲和乙在過中點200米處相遇。東村到西村的路程是多少米？
4.兩車同時從甲乙兩地相對開出，甲每小時行48千米，乙車每小時行54千米，相遇時兩車離中點36千米，甲乙兩地相距多少千米？
第五講 追及問題
本周的主要問題是“追及問題” 。
追及問題一般是指兩個物體同方向運動，由于各自的速度不同，后者追上前者的問題。追及問題的基本數量關系是：
速度差×追及時間＝追及路程
解答追及問題，一定要懂得運動快的物體之所以能追上運動慢的物體，是因為兩者之間存在著速度差。抓住“追及的路程必須用速度差來追”這一道理，結合題中運動物體的地點、運動方向等特點進行具體分析，并借助線段圖來理解題意，就可以正確解題。
例.中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米。兩車同時從相距60千米的兩地同方向開出，且中巴在前。幾小時后小轎車追上中巴車？
分析與解：原來小轎車落后于中巴車60千米，但由于小轎車的速度比中巴車快，每小時比中巴車多行84－60＝24千米，也就是每小時小轎車能追中巴車24千米。60÷24＝2.5小時，所以2.5小時后小轎車能追上中巴車。
練習五
1.一輛摩托車以每小時80千米的速度去追趕前面30千米處的卡車，卡車行駛的速度是每小時65千米。摩托車多長時間能夠追上？
2.兄弟二人從100米跑道的起點和終點同時出發(fā)，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分鐘跑120米；哥哥在后，每分鐘跑140米。幾分鐘后哥哥追上弟弟？
3.小華從家里已走出200米，她的姐姐從家里騎自行車去追小華。已知小華每分鐘走70米，姐姐騎自行車每分鐘行120米。姐姐追上小華需要多少分鐘？
4.甲騎自行車從A地到B地，每小時行16千米。1小時后，乙也騎自行車從A地到B地，每小時行20千米，結果兩人同時到達B地。A、B兩地相距多少千米？
第六講 過橋問題
專題簡析：
有關火車過橋、火車過隧道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程問題。在考慮速度、時間和路程三種數量關系時，必須考慮到火車本身的長度。如果有些問題不容易一下子看出運動過程中的數量關系，可以利用作圖或演示的方法來幫助解題。
解答火車行程問題可記住以下幾點：
1.火車過橋（或隧道）所用的時間＝[橋（隧道長）＋火車車長]÷火車的速度；
2.兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間＝兩火車車身長度和÷兩車速度和；
3.兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間＝兩車車身長度和÷兩車速度差。
例1.甲火車長210米，每秒行18米；乙火車長140米，每秒行13米。乙火車在前，兩火車在雙軌車道上行駛。甲火車從后面追上到完全超過乙火車要用多少秒？
分析：甲火車從追上到超過乙火車，比乙火車多行了甲、乙兩火車車身長度的和，而兩車速度的差是18－13＝5米，因此，甲火車從追上到超過乙火車所用的時間是：（210＋140）÷（18－13）＝70秒。
練習六
1.一列火車長200米，它以每秒10米的速度穿過200米長的隧道，從車頭進入隧道到車尾離開隧道共需要多少秒？
2.某人沿著鐵路邊的便道步行，一列客車從身后開來，在身旁通過的時間是15秒，客車長105米，每秒速度為8米，求步行人每秒多少米?
3.一人以每分鐘60米的速度沿鐵路步行，一列長144米的客車對面開來，從他身邊通過用了8秒鐘，列車的速度是多少米/秒？
4.一列火車長700米，以每分鐘400米的速度通過一座長900米的大橋.從車頭上橋到車尾離要多少分鐘？
第七講 流水行船問題
當你逆風騎自行車時有什么感覺？是的，逆風時需用很大力氣，因為面對的是迎面吹來的風。當順風時，借著風力，相對而言用里較少。在你的生活中是否也遇到過類似的如流水行船問題。
解答這類題的要素有下列幾點：水速、流速、劃速、距離，解答這類題與和差問題相似。劃速相當于和差問題中的大數，水速相當于小數，順流速相當于和數，逆流速相當于差速。
順流船速＝劃速＋水速； 逆流船速＝劃速－水速；
劃速＝（順流船速＋逆流船速）÷2；
水速＝（順流船速－逆流船速）÷2；
順流船速＝逆流船速＋水速×2；逆流船速＝逆流船速－水速×2。
例：一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在靜水中的速度是每小時20千米，由A地到B地用了6小時，由B地到A地所用的時間是由A地到B地所用時間的1.5倍，求水流速度。
解：設水流速度為每小時x千米，則船由A地到B地行駛的路程為[（20＋x）×6]千米，船由B地到A地行駛的路程為[（20－x）×6×1.5]千米。列方程為（20＋x）×6＝（20－x）×6×1.5，x＝4
練習七
1.船行于120千米一段長的江河中，逆流而上用10小明，順流而下用6小時，求水速和船速。
2.一只船逆流而上，水速2千米，船速32千米，4小時行多少千米。(船速，水速按每小時算)
3.一只船靜水中每小時行8千米，逆流行2小時行12千米，求水速。
4.某船在靜水中的速度是每小時18千米，水速是每小時2千米，這船從甲地到乙地逆水行駛需15小時，則甲、乙兩地相距多少千米？
第八講 質數合數分解質因數
專題簡析：
一個自然數的因數中，為質數的因數叫做這個數的質因數。
把一個合數，用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例如：24＝2×2×2×3，75＝3×5×5。
我們數學課本上介紹的分解質因數，是為求最大公約數和最小公倍數服務的。其實，把一個數分解成質因數相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。
例1.把18個蘋果平均分成若干份，每份大于1個，小于18個。一共有多少種不同的分法？
分析：先把18分解質因數：18＝2×3×3，可以看出：18的約數是1、2、3、6、9、18，除去1和18，還有4個約數，所以，一共有4種不同的分法。
練習八
1.有60個同學分成人數相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人。有哪幾種分法？
2.195個同學排成長方形隊伍做早操，行數和列數都大于1，共有幾種排法？
3.甲數比乙數大9，兩個數的積是792，求甲、乙兩數分別是多少。
4.有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分法？
5.把462名學生分成人數相等的若干組去參加課外活動小組，每小組人數在10至25人之間，求每組的人數及分成的組數。
第九講 數的整除特征
1.若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。
2.若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
3.若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
4.若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
5.若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
6.若一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
5.若一個整數的末三位與前幾位的差或反差是7的倍數，這個數就是7的倍數。
6.若一個整數的末三位與前幾位的差或反差是11的倍數，這個數就是11的倍數。
7.若一個整數的末三位與前幾位的差或反差是13的倍數，這個數就是13的倍數。
8.若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
9.若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
10.若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除。
練習九
1.能被3整除的最小的兩位數是＿＿＿，能被3整除的最大的兩位數是＿＿＿。
2.一個兩位數，既能被3整除，又能被5整除，它的十位上的數是4，個位上的數是＿＿＿。
3.能同時被2，3，5整除的最小的兩位數是＿＿＿。
4.同時能被3，4，5整除的最小四位數是＿＿＿。
5.從 0，l，2，3這四個數中任選三個，組成能同時被2，3，5整除的三位數，這樣的三位數共有＿＿＿個。
6.一個六位數12□34□是88的倍數，那么這個數除以88所得的商是＿＿＿。
第十講 最大公約數和最小公倍數
常用的求最大公約數的方法是分解質因數法和短除法。幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個自然數的公倍數。公倍數中最小的一個大于零的公倍數，叫這幾個數的最小公倍數。下面討論幾個與最大公約數和最小公倍數有關的問題。
例1.將一塊長3.57米、寬1.05米、高0.84米的長方體木料，鋸成同樣大小的正方體小木塊。問當正方體的邊長是多少時，用料最省且小木塊的體積總和最大？（不計鋸時的損耗，鋸完后木料不許有剩余）
分析與解：假設鋸完后小木塊的邊長為a，那么把鋸得的所有小木塊堆起來，適當組合以后一定可以堆成原來長方體木料的形狀。這就是說3.57、1.05、0.84都是小木塊邊長a的倍數，反過來說a就是3.57、1.05、0.84的公約數。另外還要求小木塊體積最大，也就是要求小木塊的邊長a最大。所以a是3.57、1.05、0.84三個數的最大公約數。
因為3.57米＝357厘米，1.05米＝105厘米，0.84米＝84厘米，所以 a＝（357，105，84）＝3×7＝21。當小木塊邊長為21厘米時，其體積最大。
練習十
1.把1米3分米5厘米長、1米5厘米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方形，至少能裁多少塊？
2.一塊長45厘米、寬30厘米的長方形木板，把它鋸成若干塊正方形而無剩余，所鋸成的正方形的邊長最長是多少厘米？
3.將一塊長80米、寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，小正方形的面積最大是多少？
4.一個長方體木塊，長2.7米，寬1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，正方體的棱長最大是多少分米？
第十一講 分數和小數的互化
學完循環(huán)小數以后，有同學會產生以下問題：0.9和1誰大誰小？為解決這個問題就要研究分數與小數的互化問題。
有限小數是十進分數的另一種表現形式，如 ， 。
所以一個分數只要能變成十進分數就能化成有限小數。那么什么樣的分數能化成十進分數呢？就是分母分解質因數后只含有2、5這樣質因數的最簡分數。即一個最簡分數，如果分母除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數一定能化成有限小數，而且有限小數中小數部分的位數等于分母中質因數2、5個數中最大的那個數。那么什么樣的分數能化成純循環(huán)小數、混循環(huán)小數？它的不循環(huán)部分的位數與循環(huán)節(jié)的最少位數與分母又有什么關系呢？下面就來研究這一問題。
練習十
1.把下面的分數化成小數：
2.一個最簡分數，如果分母中只含有質因數____，這個分數一定能化成有限小數。
3.把下列分數化成小數：
4.把下列分數化成小數：
5.把下面的小數化成分數：
0.75＝______，1.39＝_______，1.625＝______。
6.把三個數： 和0.91，按從大到小的順序排列起來。
7.計算： －0.15
8.在下面的括號里填上適當的數：
第十二講 分數大小比較
專題簡析：解答這種類型的題目，需要將原題進行各種形式的轉化，再利用一些不等式的性質進行推理判斷。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么1a ＜1b ；如果ab ＞1，b＞0，那么a＞b等等。
比較大小時，如果要比較的分數都接近1時，可先用1減去原分數，再根據被減數相等（都是1），減數越小，差越大的道理判斷原分數的大小。
如果兩個數的倒數接近，可以先用1分別除以這兩個數。再根據被除數相等，商越小，除數越大的道理判斷原數的大小。
除了將比較大小轉化為比差、比商等形式外，還常常要根據算式的特點將它作適當的變形后再進行判斷。
例.比較777773777778 和888884888889 的大小。
因為1－777773777778 ＝5777778 ，1－888884888889 ＝5888889
5777778 ＞5888889
所以777773777778 ＜888884888889 。
練習十二
1.比較下面兩個分數的大�。�
2.分數
3.如果 那么A與B中較小的分數是_____。
4.分數 中較大的一個是＿＿＿。
5.分數 。
6.把分數 按照從大到小的順序排列起來＿＿＿＿。
7.把分數 按照從小到大的順序排列起來：
8.分數 中，最大的數是＿＿，最小的數是＿＿。
9.把下列分數按從小到大的順序排列起來：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
10.比較大�。�
第十三講 裂項法
專題簡析：前面我們介紹了運用定律和性質以及數的特點進行巧算和簡算的一些方法，下面再向同學們介紹怎樣用拆分法（也叫裂項法、拆項法）進行分數的簡便運算。
運用拆分法解題主要是使拆開后的一些分數互相抵消，達到簡化運算的目的。一般地，形如1a×(a+1) 的分數可以拆成1a －1a+1 ；形如1a×（a+n） 的分數可以拆成1n ×（1a －1a+n ），形如a+ba×b 的分數可以拆成1a ＋1b 等等。同學們可以結合例題思考其中的規(guī)律。
例.計算：11×2 ＋12×3 ＋13×4 ＋…..＋ 199×100
原式＝（1－12 ）＋（12 －13 ）＋（13 －14 ）＋…..＋ （199 －1100 ）
＝1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋…..＋ 199 －1100
＝1－1100
＝99100
練習十三
1.14×5 ＋15×6 ＋16×7 ＋…＋139×40
2.110×11 ＋111×12 ＋112×13 ＋ 113×14 ＋114×15
3.12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋ 130 ＋142
4.1－16 ＋142 ＋156 ＋172
第十四講 繁分數
我們已經學習過分數，如3÷7＝37 5÷11＝511 ，即兩個數相除，其中被除數相當于分數的分子，除數相當于分數的分母，所以37 ÷5可以寫成37 5 ，2÷（35 ＋27 ）可以寫成2 35 +27 ，（311 ＋12 ）÷（58＋13 ）可以寫成311 +12 58 +13 。
由以上三式我們看到繁分數的分子或分母中又含有分數，繁分數是我們學習分數時遇到的一類較復雜分數。在繁分數中，用較長的分數線分出分子部分和分母部分，這較長的分數線我們稱它為主分數線。
繁分數的計算并不難，關鍵要掌握好分數運算的基本方法.如：分數的運算法則、約分以及分數基本性質，這樣就能化繁為簡，很快地計算出來
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