一．內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)課是算法的起始課，主要內(nèi)容有：算法的概念、用自然語言描述算法。
算法是一種解決問題的方法，是數(shù)學及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎(chǔ)。算法的思想有著廣泛的應(yīng)用性。
在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟�，F(xiàn)在，算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題．
在算法概念的表述中，有范圍限定詞 “在數(shù)學中”，因此學習的內(nèi)容均為數(shù)學中的問題。有一個有前綴限制的基本特征詞“步驟”，前綴中，“按照一定規(guī)則” 指的是解決具體問題時的依據(jù)和表達方式，關(guān)注的是算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)（順序、條件和循環(huán)），也表示算法具有有序性�！敖鉀Q某一類問題”， 強調(diào)的是算法適用對象的常態(tài)，突出算法的研究價值以及它的普遍適用性，也表明特殊問題的解題與一般問題的算法，存在聯(lián)系又有區(qū)別�！懊鞔_和有限”，表示算法的每一步都是明確的、可執(zhí)行的，總的步驟是有限的。
算法有多種表示方法，其中自然語言描述與人的表達方式最接近，是學習其它描述方法的基礎(chǔ)。
中國古代數(shù)學是以算法為主要特征，并蘊涵著豐富的算法思想。現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法喚發(fā)出新的生機和活力，并使之成為當代社會必備的基本知識。算法進入高中必修內(nèi)容正是反應(yīng)了時代的需要。
算法具有的基本邏輯結(jié)構(gòu)與形式邏輯結(jié)構(gòu)存在對應(yīng)關(guān)系，有著豐富的邏輯思維材料。算法思想貫穿于整個中學數(shù)學內(nèi)容之中，有著豐富的層次遞進的素材。因此，算法的學習對整個高中數(shù)學的學習有著“源”與“流”的關(guān)系。又由于算法的具體實現(xiàn)上可以和信息技術(shù)相結(jié)合。因此，算法的學習十分有利于提高學生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學生的理性精神和實踐能力，發(fā)展他們有條理的思考與表達的能力，同時可以讓他們知道如何利用現(xiàn)代技術(shù)解決問題。
二．目標和目標解析
本節(jié)課的教學目標是：
1．在解特殊的二次一次方程組到得出一般二元一次方程組的解法的過程中，讓學生對算法的概念有一個初步認識，并了解算法是如何表示的。
2．在判定7，35和整數(shù)n (n>1)是否為質(zhì)數(shù)的過程中，進一步理解算法的概念，學習算法的自然語言表示，認識算法的特征、作用和優(yōu)勢。
3．在得出用二分法求方程一個近似解的算法的過程中，初步運用算法概念，體會算法自然語言描述形成的過程，會初步用自然語言描述算法。
在實現(xiàn)上述目標的過程中，需要適時、恰當?shù)亟桀}發(fā)揮，使學生體會算法的思想，了解算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)觀察、表達能力和邏輯思維能力。
因此，本節(jié)課教學重點是，通過一些具體問題，引導學生變過去關(guān)注解決問題為關(guān)注解決問題過程的邏輯結(jié)構(gòu)，通過解法與算法的比較，體會算法思想，形成算法概念，并會用自然語言描述一些具體問題的算法。
三．教學問題診斷
算法對學生來說并不遙遠。比如列方程解應(yīng)用題，證明函數(shù)的單調(diào)性，求曲線的方程，等，都是學生碰到過的算法的問題，但是，在此之前并沒有明確提出“算法”的概念，學生原有的經(jīng)歷為算法學習提供了良好的條件。由于算法至今沒有公認的定義，算法概念的建立需要與認識它的特征相聯(lián)系，這拉大了算法概念與學生原有體驗之間的距離，從而可能會造成學生概念理解上的偏差。因此，算法概念的形成需要搭建臺階，使學生運用已知建立新知，與此同時還要特別注意防止算法概念的泛化。
算法的實質(zhì)是將人的思維過程處理成計算機能夠一步一步執(zhí)行的步驟，進而轉(zhuǎn)化為一步一步執(zhí)行的程序.這決定了算法概念的形成與學生的觀察能力，表達能力和邏輯思維能力有著直接聯(lián)系。在以班級為單位的教學中，面臨能力發(fā)展不平衡，產(chǎn)生部分學生算法學習有困難，因此，需要在教學中把握好適應(yīng)面較廣、符合學生認知基礎(chǔ)的切入點。
通常，特殊問題的解的過程只是解法而不是算法，算法是解決一般（一類）問題（要與數(shù)學有關(guān)）的，即不進入到一般問題的層面就得不到算法，而一般問題往往遠離學生原有的基礎(chǔ)，需要通過搭建解決特殊問題這一臺階，幫助學生進入一般問題。在這樣的情境中，學生的關(guān)注點需要由特殊轉(zhuǎn)到一般，這對許多學生來講是有困難的，需要教師設(shè)計問題或情境幫助學生加以克服，因此，這是本節(jié)課的教學難點之一。解決這一難點需要在教學中設(shè)計好問題，并給學生提供思維的時間，并在問題引導下，實現(xiàn)關(guān)注點的轉(zhuǎn)移。
算法是一種解決問題的方法，特別擅長處理具有條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題，有其特有的作用和價值，這是學生原來沒有體會過的，若教學中對此忽視，學生算法學習時的關(guān)注會缺少思維量，只停留在低層次上。因此，需要教師結(jié)合問題創(chuàng)設(shè)學生活動情境，促成學生關(guān)注算法中存在的邏輯結(jié)構(gòu)，并予以揭示。
算法的自然語言描述與高中學生具備的表達方式雖有不同但也有聯(lián)系，相比算法的其它描述方法，自然語言描述最接近學生現(xiàn)有的表達方式。因此，對只有順序結(jié)構(gòu)的算法描述時，學生是容易寫出這類問題算法的。教師在小結(jié)時，只需指出：寫算法要按順序，每步要明確（可執(zhí)行），總體是有限步即可。對涉及條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法時，由于需要表示算法中存在的結(jié)構(gòu)，而學生原來沒有接觸過這種表達，因此，這也是本節(jié)課的一個教學難點。解決這一難點，需要在教學中給學生提供嘗試的機會，在他們發(fā)生困惑，產(chǎn)生問題后給予指導，幫助他們學會用遞歸語言描述算法。
四．教學支持條件分析
為了有效實現(xiàn)教學目標，條件許可，可以借助計算機或者計算器來參與運算或表達算法.通過計算機演示幫助學生體會算法學習的作用和價值.
五．教學過程設(shè)計
（一）課題引入
問題1.看章頭圖，回答問題。
教師介紹：圖中的后景取自宋朝數(shù)學家朱世杰的數(shù)學作品《四元玉鑒》，前景有算籌、算盤、計算機。
提問：為什么要把這些放在一起成為本章的起點？請把你的想法，用條目方式寫在紙上。
設(shè)計意圖：要充分挖掘章頭圖教學價值，它至少可以體現(xiàn)：1）算法概念的由來；2）我們將要學習的算法與計算機有關(guān)；3）展示中國古代數(shù)學的成就；4）激發(fā)學生學習算法興趣。5）借問題自然引出課題
給學生1分鐘時間
教師問，哪位同學寫出的條目超過10條？超過5條，超過2.5條？
請寫了最多的學生介紹自己觀點后，教師根據(jù)設(shè)計意圖，回答問題，引入課題
（二）問題情境，引出算法概念
問題2：你能寫出求解二元一次方程組：的步驟嗎？
設(shè)計意圖：從學生具備的認識水平出發(fā)，歸納解二元一次方程組的求解步驟。從而讓學生經(jīng)歷算法分析的基本過程，并在此過程中引導學生關(guān)注更具一般性解法，形成解法向算法過渡的準備，為建立算法概念打下基礎(chǔ)。
師生活動：讓學生解方程組。
教師：請把解的過程用步驟表示出來。
教師：投影用加減消元法求解的步驟，問：參照本題解法，你能完成下面問題嗎？請一試。
問題3：寫出求方程組的解的步驟.
設(shè)計意圖：在復習解特殊二元一次方程組基本步驟的基礎(chǔ)上．進一步復習回顧解一般的二元一次方程組的步驟，目的是讓學生明白算法是用來解決某一類問題的，從而提高學生對算法的普遍適用性的認識，為建立算法的概念做好鋪墊.
師生活動：讓學生寫出求解步驟后，
教師：投影顯示解題步驟：.
第一步，，得.
第二步，解，得.
第三步,得.
第四步,解,得.
第五步,得到方程組的解為:.
教師：
1．引導學生分析上述解題過程的結(jié)構(gòu)。
2．提出以上步驟就是求一般的二元一次方程組的解的算法.
3．說明：把它編成程序就可以用計算機來解二元一組方程組了。用事先編好的程序，讓學生輸入數(shù)據(jù)，計算機直接給出方程組的解.
（三）分析歸納，得到算法概念
問題4。到底什么是算法？如何表達算法的含義？
設(shè)計意圖：有了上面所舉實例，學生對算法的概念開始有了一些認識，但對概念的比較全面的描述還有一定的困難.教師在此處設(shè)問后，再通過幫助學生回顧上面關(guān)于算法的實例，引導學生進行歸納總結(jié).讓學生切實參與到概念的形成過程中來.
師生活動：教師在提出問題后，一定要給學生思考時間，讓學生先用自己的語言表達對算法概念的理解，在學生思考、交流、回答的基礎(chǔ)上，教師進行歸納，幫助學生認識算法的概念.
教師指出:在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．現(xiàn)在，算法通�？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題．
教師：結(jié)合問題3做初步解讀。
(四)解決問題，促進理解算法概念，學習算法自然語言描述
問題5，寫出判斷7是否為質(zhì)數(shù)的步驟.
設(shè)計意圖：由學生已有的認識水平出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學生可以完成的體驗情境，認學生認識求解結(jié)構(gòu)中存在“重復”。為導出一般問題的算法創(chuàng)造條件，也為學習算法的自然語言表示提供時機。.
師生活動：
教師提問：
1.什么是質(zhì)數(shù)？（引導學生回憶質(zhì)數(shù)概念）
2.如何判斷一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？如何把判斷過程的基本步驟有條理的寫出來？
給學生寫出判斷過程的時間，請學生完成。
糾正學生所寫基本步驟后，教師接著提出問題：
3.把7改成35，再寫出判斷過程的基本步驟，請按糾正時教師提出的要求做。
學生完成后；教師提問：
4．兩個解法有何相同之處？有何不同之處？
教師在學生回答后小結(jié)：對7是在試完1到6后才知道是質(zhì)數(shù)，對35在試到5時，也就是在試的過程中，就得出不是質(zhì)數(shù)，故沒試完；不管哪個數(shù)，判斷過程都是按一定規(guī)則有序進行的，都存在著“重復”這樣的結(jié)構(gòu)。
問題6.任意給定一個大于2的整數(shù)n，能否設(shè)計一個算法對n是否為質(zhì)數(shù)做出判斷？
設(shè)計意圖：在問題5學生活動的基礎(chǔ)上，通過學生活動，得出該問題的算法，從而促進學生對算法概念的進一步理解，感受算法的作用和優(yōu)勢，學習算法的自然語言描述，同時，引入學生關(guān)注算法中存在的結(jié)構(gòu)。
師生活動：給出2分鐘，請學生參照問題5的解法寫出算法。教師巡視了解學生情況。
教師：投影下面的判斷過程：
解：
第一步，給定大于2的整數(shù)n.
第二步,用2去除n，得到余數(shù)t.若t=0，則2能夠整除n, n 不是質(zhì)數(shù),算法結(jié)束；否則,進入第三步.
第三步,用3去除n，得到余數(shù)t.若t=0，則3能夠整除n, n 不是質(zhì)數(shù),算法結(jié)束；否則,進入第四步.
……
第（n-1）步,用（n-1）去除n，得到余數(shù)t.若t=0，則（n-1）能夠整除n, n 不是質(zhì)數(shù),算法結(jié)束；否則, n是質(zhì)數(shù).
教師提問：這是不是解決問題6的算法？
給出時間讓學生思考。
教師提問：為什么不是算法？
教師：這里的“… …”是不明確的，計算機是不會識別這樣的語言的。從而突出算法“明確性”
求解步驟中，這樣一個特點。從2～（n-1）都在重復同一件事,而我們現(xiàn)在學習的算法是最擅長處理這類問題的，然后指導學生用遞歸語言進行表達.
得出問題6算法（見教材例1算法）后，教師提問
此時，你是如何理解算法的？
教師小結(jié)：扣住下面問題。
1．用四步就可以解決問題6的算法，雖然沒有使我們直接看到結(jié)果，但可以由計算機去解決了。（理解定義中：算法通�？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題）
即學習了算法，我們又增加了一種解決問題的方法（當然要借助計算機，說明算法的作用與優(yōu)勢）
2．算法可以用自然語言描述，描述算法的步驟一定是有限的，這是算法有限性特征；描述的算法具有“按部就班”的特點，這是算法“有序性”的特征；算法的第一步的表達要求“明確”，以便于編程讓計算機執(zhí)行，這是算法明確性的特征；
3．在解決問題過程中，對于反復進行的步驟,可以用遞歸語言進行描述. 此時，通常分三個步驟:首先要給一個初始值,接著表達重復做的事情,最后要進行終止判斷.這類問題的背后含有算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)。
問題7.寫出用 “二分法”求方程的近似解的算法.
設(shè)計意圖：二分法是算法中的經(jīng)典問題，具有明顯的順序和可操作的特點．通過此例可以讓學生進一步了解算法的邏輯結(jié)構(gòu)，領(lǐng)會算法的思想，體會算法的的特征。同時也可以達到鞏固用自然語言描述的算法，提高用自然語言描述算法的表達水平.
師生活動：教師借助特殊問題，引導學生回顧二分法求方程近似解的方法，
得出下面結(jié)論：
1．二分法求方程近似解是通過求對應(yīng)函數(shù)的近似零點得到的，所以首先要建立函數(shù)，
2．二分法分的是什么？
3．如何確定新區(qū)間的端點？
在此基礎(chǔ)上，請學生嘗試寫出用 “二分法”求方程的近似解的算法.
在學生思維活動后，教師提出，在現(xiàn)有條件下，可以得到方程根存在的區(qū)間會越來越小，但我們的操作則永遠不能停止。
因此，需要引入能夠控制，使算法具備有“有限”的量，這就是精確度。
教師與學生共同得出本題算法：
第一步，令.給定精確度.
第二步, 給定區(qū)間,滿足.
第三步,取中間點.
第四步,若則含零點的區(qū)間為;否則含零點的區(qū)間為.將新得到的含零點的仍然記為.
第五步, 判斷的長度是否小于或者是否等于０.若是，則是方程的近似解;否則，返回第三步．
在完成上述算法表達的基礎(chǔ)上，教師指出：
1．如果沒有精確度要求，該算法將無法終止。（通過精確度強調(diào)算法的“有限性”）。
2．引導學生分析該算法的邏輯結(jié)構(gòu)。（了解算法中存在的順序、條件和循環(huán)結(jié)構(gòu)）
3．給出精確度，指導領(lǐng)學生看教材,結(jié)合必修3第4頁上有關(guān)內(nèi)容.說明按以上步驟，我們將依次得到表1-1和圖1.1-1.于是，開區(qū)間（1.4140625，1.41796875）中的實數(shù)都是滿足假設(shè)條件的原方程的近似解.
4．改變輸入的函數(shù)表達式，給定精確度后，上面算法可以求所有方程的近似解，因此，它是算法。通過“二分法”求方程的近似解的算法與解法的比較，發(fā)現(xiàn)算法一般都是沒有具體結(jié)果的，而解法結(jié)果都是確定的，從而強調(diào)算法通常是針對解決一類問題而言的。
（五）歸納小結(jié)
將本節(jié)的主要內(nèi)容以問題的形式呈現(xiàn)，讓學生通過思考和回答問題，達到回顧和總結(jié)的目的．
問題1：你能舉出更多算法的例子嗎？
設(shè)計意圖：以舉例的形式使學生體會算法的思想，以此評價他們對算法的概念以及特征的領(lǐng)會情況.
師生活動：學生舉例，師生共同評價.
問題2：與一般解決問題的過程相比，你認為算法最重要的特征是什么？
設(shè)計意圖：通過讓學生思考回答來評價他們對算法的特征中順序、明確、有限的步驟的領(lǐng)會情況．同時提高學生的總結(jié)、歸納、表達能力.
師生活動：在學生回答的基礎(chǔ)上，引導他們歸納：與一般解決問題的步驟相比,算法具有有序性、明確性、有限性等特點.
六．目標檢測設(shè)計
1．課堂檢測
第1題．課本第6頁練習1。
第2題．有人對歌德巴赫猜想“任何大于4的偶數(shù)都能寫成兩個奇質(zhì)數(shù)之和”設(shè)計了如下操作步驟：
第一步：檢驗6=3+3
第二步：檢驗8=3+5
第三步：檢驗10=5+5
……
利用計算機無窮地進行下去！請問，利用這種程序能夠證明猜想的正確性嗎？這是一個算法嗎？
設(shè)計意圖：促進學生進一步了解算法的概念及特征的，體會算法的思想。
活動方式：學生獨立思考，在學生回答的基礎(chǔ)上，教師予以評點。
答：這不是算法問題，不符合算法概念中提到的“有限性”。
2．課后檢測
第1題.寫出求一元二次方程根的一個算法.
設(shè)計意圖：鞏固學生已領(lǐng)會的算法的思想，促進學生用自然語言正確表達算法。
第一步，計算。
第二步，如果,則原方程無實數(shù)解 ；
第三步:輸出或無實數(shù)解的信息.
第2題.任意給定一個大于1的正整數(shù)n，設(shè)計一個算法求出n的所有因數(shù).
設(shè)計意圖：檢查學生是否會用自然語言正確表達算法，訓練學生的應(yīng)變能力.
第一步，給定一個大于1的整數(shù)n.
第二步,令.
第三步,用除,得到余數(shù)為,若,則是的一個因數(shù)輸出；否則，不輸出.
第四步，給增加1仍然用表示.
第五步,判斷是否成立,若是,則算法結(jié)束；否則,返回第三步.
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