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一、選擇題（本小題共12小題，每小題5分，共60分）

1. 若是平面外一點(diǎn)，則下列命題正確的是

（A）過只能作一條直線與平面相交    （B）過可作無數(shù)條直線與平面垂直

（C）過只能作一條直線與平面平行    （D）過可作無數(shù)條直線與平面平行

2．在空間四邊形中，、、、上分別取、、、四點(diǎn)，如果、交于一點(diǎn)，則（   ）

     A．一定在直線上                  B．一定在直線上

     C．在直線或上                  D．既不在直線上，也不在上

3．如圖S為正三角形所在平面ABC外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分別為SC、AB中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成角為（   ）

     A．90?                   B．60?       C．45?        D．30?

4．下列說法正確的是（   ）

     A．若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則

     B．若直線在平面外，則

     C．若直線，，則

     D．若直線，，則直線就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線

5．在下列條件中，可判斷平面與平面平行的是（   ）

     A．、都垂直于平面

     B．內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等

     C．、是內(nèi)兩條直線，且，

     D．、是兩條異面直線，且，，，

6 若為一條直線，為三個(gè)互不重合的平面，給出下面三個(gè)命題：① ② ；③ ，其中正確的命題有（   ）

A. 0個(gè)    B. 1個(gè)    C. 2個(gè)    D. 3個(gè)

7．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成角的大小為   （   ）

     A．90?                   B．60?                   C．45?                 D．30?

8．PA、PB、PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每兩條射線的夾角均為60?，則直線PC與平面APB所成角的余弦值是（   ）

     A．                    B．                 C．                D．

9．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)，則EF與對角面A1C1CA所成角的度數(shù)是（   ）

     A．30?                  B．45?                  C．60?                 D．150?

10．設(shè)A、B、C、D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是

（A）若AC與BD共面，則AD與BC共面  

（B）若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線

（C）若AB=AC，DB=DC，則AD=BC      

（D）若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC

11．對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是

    （A）若則　　　　（B）若則

    （C）若則　　　�。―）若、與所成的角相等，則

12．給出以下四個(gè)命題：

①如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，

②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

③如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行，

④如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

其中真命題的個(gè)數(shù)是

A.4           B. 3            C. 2                D. 1

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13．設(shè)是直二面角，，，，，

則          。

14．、、是兩兩垂直且交于O點(diǎn)的三個(gè)平面，P到平面、、的距離分別是2、3、

6，則          。

15． 如圖，在正三棱柱中，AB=1。若二面角的大小為，則點(diǎn)到直線AB的距離為         。

16．已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17.如圖，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。

（I）求證：BD⊥平面ACC1A；

（II）若二面角C1-BD-C的大小為60°，求異面直線BC1與AC所成角的大小。

18．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，，，

⑴求證：平面AB1C⊥平面BB1C；

⑵求點(diǎn)B到平面AB1C的距離。

19.  如圖1，已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.

　�。á瘢┳C明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

20．如圖，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120?，

求：⑴A、D連線和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C的正切值。

21． 如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱。

（1）證明FO//平面CDE；

（2）設(shè)，證明EO⊥平面CDF。

22.（本小題滿分12分）

       如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

       （I）求證：平面BCD；

       （II）求異面直線AB與CD所成角的大�。�

       （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

參考答案

一、選擇題

DBCDD    CCCAC    CB

12．提示：BD1⊥平面AB1C，EF⊥平面AB1C

二、填空題

       13．60? 14．7    15．     16．. 。

三、解答題

17．

解法一：

（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱

∴CC1⊥平面ABCD

∴BD⊥CC1

∴ABCD是正方形，

∴BD⊥AC

又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1

（II）設(shè)BD與AC相交于O，連接C1O。

∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC�！郆D⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角

∴∠C1OC=60°

連接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1與AC所成角.

設(shè)BC=a,則CO=

在△A1BC1中，由余弦定理得

∴異面直線BC1與AC所成角的大小為arccos

解法二:（I）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖。

設(shè)AD=a，DD1=b，則有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），

C（0，a，0），C1（0，a，b），

∴BD⊥AC，BD⊥CC1

又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1。

（II）設(shè)BD與AC相交于O，連接C1O，則點(diǎn)O坐標(biāo)為)

  ∴BD⊥C1O，又BD⊥CO，  ∴∠C1OC=60°

∴

∴異面直線BC1與AC所成角的大小為

18．⑴由已知條件立即可證得，

⑵在平面BB1C內(nèi)作BD⊥B1C于D，由⑴得BD⊥面AB1C，

∴BD為B到面AB1C的距離，∴（本題也可用體積轉(zhuǎn)換）

19．．解法一（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1

         所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

       如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.

       從而

       所以AC⊥BO1.

（II）解：因?yàn)樗�以BO1⊥OC，

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.

設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，

由    得.

設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>，

       所以cos，>=

       即二面角O—AC—O1的大小是

解法二（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.

       因?yàn)?nbsp;   ，

       所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1

       由三垂線定理得AC⊥BO1.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.

       設(shè)OC∩O1B=E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC

       內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.

       所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.

       由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，

       所以，

       從而，    又O1E=OO1·sin30°=，

⑴顯然可得MN∥平面ABC，∵平面MNC平面ABC＝，∴MN∥

⑵∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，作MQ⊥AC，則MQ⊥平面ABC，

作QD⊥于D，則MD⊥，MD的長即為M到的距離

在Rt△ACB中，可求得，又，∠QCD＝30?，

∴，，于是

20．⑴作AO⊥BC交BC的延長線于O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，連OD，則∠ADO就是AD與平面BCD所成的角，可求得∠ADO＝45?

⑵作OE⊥BD于E，連AE，則BD⊥AE，

∴∠AEO就是二面角A－BD－C的平面角的補(bǔ)角，

∵∠ABO＝60?，∴，，∵∠EBO＝60?，∴

在Rt△AOE中，，∴二面角A－BD－C的正切值為－2

21. （1）證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM，在矩形ABCD中

，又，則。連結(jié)EM，

于是四邊形EFOM為平行四邊形

∴ FO//EM

又 ∵ FO平面CDE，且EM平面CDE，∴ FO//平面CDE

（2）證明：連結(jié)FM，由（1）和已知條件，在等邊中，CM=DM，EM⊥CD且。因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM

∵ CD⊥OM，CD⊥EM    ∴ CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO

而FMCD=M，所以平面CDF

22（I）證明：連結(jié)OC

       在中，由已知可得

       而

       即

       平面

       （II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

       直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

       在中，

       是直角斜邊AC上的中線，

       異面直線AB與CD所成角的大小為

    （III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為

    在中，

    而

          點(diǎn)E到平面ACD的距離為