本章學(xué)生將學(xué)習(xí)集合與函數(shù)概念的基礎(chǔ)知識(shí)。
集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，使用集合語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容。本章中只將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)使用最基本的集合語(yǔ)言去表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，函數(shù)的思想方法將貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終。
一、內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章中，學(xué)生將學(xué)習(xí)集合與函數(shù)概念。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生：
1．了解集合的含義與表示，理解集合間的關(guān)系和運(yùn)算，感受集合語(yǔ)言的意義和作用。
2．進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用。
3．了解函數(shù)的構(gòu)成要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)定義域和值域，會(huì)根據(jù)實(shí)際情境的不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。
4．通過(guò)已學(xué)過(guò)的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲导捌鋷缀我饬x，了解奇偶性的含義，會(huì)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。
5．根據(jù)某個(gè)主題，收集17世紀(jì)前后發(fā)生的一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物（開(kāi)普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、歐拉等）的有關(guān)資料，了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程。
二、內(nèi)容安排
本章共安排了3個(gè)小節(jié)，1個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)和3個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí)，大體分配如下（僅供參考）：
1.1 集合約4課時(shí)
閱讀與思考 集合中元素的個(gè)數(shù)
1.2 函數(shù)及其表示 約4課時(shí)
閱讀與思考 函數(shù)概念的發(fā)展歷程
1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)約3課時(shí)
信息技術(shù)應(yīng)用 用計(jì)算機(jī)畫(huà)函數(shù)圖象
實(shí)習(xí)作業(yè)約1課時(shí)
小結(jié)約1課時(shí)
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：
1．集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言。在高中數(shù)學(xué)課程中，它也是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)，因此把它安排在了高中數(shù)學(xué)的起始章．教科書(shū)從學(xué)生熟悉的集合（有理數(shù)的集合、直線或圓上的點(diǎn)集等）出發(fā)，結(jié)合學(xué)生身邊的實(shí)例引出元素、集合的概念，介紹了表示集合的列舉法和描述法及Veen圖；類比實(shí)數(shù)間的相等、大小關(guān)系，通過(guò)對(duì)具體實(shí)例共性的分析、概括出了集合間的相等、包含關(guān)系；針對(duì)具體實(shí)例，通過(guò)類比實(shí)數(shù)間的加法運(yùn)算引出了集合間“并”的運(yùn)算，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展，介紹了“交”的運(yùn)算和“補(bǔ)”的運(yùn)算。這里采用類比方式處理集合間的關(guān)系和運(yùn)算的目的在于體現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。
與以往相比，教科書(shū)對(duì)函數(shù)概念的處理方式發(fā)生了很大的變化。改變了以往先映射后函數(shù)的順序，直接通過(guò)三個(gè)背景實(shí)例，在問(wèn)題的引導(dǎo)下分析概括出運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言描述的函數(shù)定義。這樣，既銜接了初中階段將函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，又進(jìn)一步提升到用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)。為了理解函數(shù)概念的本質(zhì)，教科書(shū)從函數(shù)的三要素、函數(shù)的符號(hào)、函數(shù)表示法三個(gè)角度對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行細(xì)化，最后將函數(shù)概念推廣到了映射。這樣處理的目的是將重點(diǎn)放在對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解上。教科書(shū)在不同的時(shí)機(jī)為學(xué)生提供了進(jìn)行判斷、練習(xí)、比較、討論交流的機(jī)會(huì)，以便使學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考與動(dòng)手操作更好地理解函數(shù)概念。
在函數(shù)的表示法中，教科書(shū)選取了兩個(gè)貼近學(xué)生生活的實(shí)例（高一學(xué)年三位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)問(wèn)題，汽車票價(jià)問(wèn)題），展示了如何在實(shí)際情境中根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒�，并結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹了分段函數(shù)及其應(yīng)用。
在討論函數(shù)性質(zhì)時(shí)，教科書(shū)通過(guò)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“三步曲”：
第一步，觀察具體函數(shù)的圖象，描述圖象特征；
第二步，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)值表，用日常描述性語(yǔ)言描述函數(shù)特征；
第三步，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用形式化語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)。
希望通過(guò)這樣的安排，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，并體會(huì)從直觀到抽象的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，教科書(shū)為學(xué)生提供了實(shí)際操作、自我探究的機(jī)會(huì)，例如由學(xué)生親自給出函數(shù)最小值的定義等。
函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中的基本概念之一，它的發(fā)展成熟經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月，融入了眾多數(shù)學(xué)家的智慧。教科書(shū)在本章末安排了關(guān)注于函數(shù)概念的發(fā)展及在此過(guò)程中起重大作用的歷史事件和人物的實(shí)習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生通過(guò)自己的實(shí)踐和與他人的合作共同了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程，感受數(shù)學(xué)文化。
三、編寫(xiě)本章時(shí)考慮的幾個(gè)問(wèn)題
1．利用豐富的背景實(shí)例創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。
本章學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)都是基礎(chǔ)性知識(shí)，它們的使用貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而它們又具有較高的抽象性，如函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等概念。每一個(gè)抽象概念的產(chǎn)生與發(fā)展總有它的現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要，強(qiáng)調(diào)概念產(chǎn)生發(fā)展的背景，聯(lián)系學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，有利于學(xué)生理解抽象概念的內(nèi)涵。因此，教科書(shū)就本章數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)選取了具有時(shí)代特點(diǎn)、貼近學(xué)生實(shí)際的事例創(chuàng)設(shè)情境。例如在引入元素和集合時(shí)，教科書(shū)安排了8個(gè)實(shí)例，既包括學(xué)生熟悉的“1～20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)”“所有的正方形”等例子，又有與生活密切相關(guān)的“新華中學(xué)2004年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體”等例子；在引入函數(shù)一般概念時(shí)，選取了生活中的實(shí)例：炮彈的高度與時(shí)間的關(guān)系、南極臭氧空洞面積從1979年到2001年變化的圖象、“八五”以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化數(shù)據(jù)表；在介紹函數(shù)基本性質(zhì)時(shí)，教科書(shū)運(yùn)用了學(xué)生熟悉的二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和數(shù)值表。在這些背景實(shí)例中，教科書(shū)在每一次知識(shí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)上，都力求提出具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、探究、交流、反思的過(guò)程，逐步獲得對(duì)抽象概念的理解。例如，在函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)時(shí)，教科書(shū)在通過(guò)對(duì)圖象觀察，獲得圖象的特征后提出問(wèn)題：“如何用數(shù)學(xué)形式化的語(yǔ)言描述函數(shù)圖象的‘上升’、‘下降’呢？”，根據(jù)數(shù)值表就二次函數(shù)得到文字語(yǔ)言描述后，給出思考問(wèn)題“對(duì)于用函數(shù)解析式f(x)=x表示的函數(shù)，如何用數(shù)學(xué)形式化的語(yǔ)言描述‘隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小’、‘隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大’？”。
豐富的背景實(shí)例、恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題串和精辟的分析展現(xiàn)了知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，反映了從具體到抽象、特殊到一般的原則。對(duì)于學(xué)生，這些問(wèn)題串就是他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)思考、主動(dòng)探究的“指示牌”，通過(guò)層層深入的思考與探究，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈。
2．重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值
“科學(xué)性”與“思想性”是本套教科書(shū)努力創(chuàng)新的一個(gè)方面。根據(jù)本章數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)，教科書(shū)充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法。無(wú)論是利用Veen圖表示集合的關(guān)系和運(yùn)算，還是從對(duì)函數(shù)圖象特征的描述入手，逐步獲得嚴(yán)格的形式化的函數(shù)性質(zhì)的定義，幾乎在本章的每一處都充分體現(xiàn)了這一思想方法。并且，教科書(shū)還為學(xué)生掌握這一思想方法提供了許多機(jī)會(huì)，期望學(xué)生在閱讀、思考與運(yùn)用中逐漸掌握數(shù)形結(jié)合的方法，感受幾何直觀對(duì)理解抽象概念和解決問(wèn)題中的作用。
教科書(shū)盡最大可能地展示了聯(lián)想、類比、推廣等研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中常用的邏輯思考的方法。例如通過(guò)類比方法的運(yùn)用，類比數(shù)的大小、相等關(guān)系引入集合間的包含、相等關(guān)系；通過(guò)類比數(shù)的加法運(yùn)算引出集合“并”的運(yùn)算；通過(guò)推廣函數(shù)概念獲得了映射概念，等等。教科書(shū)中展示邏輯思考方法，可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考和探索活動(dòng)的基本規(guī)律，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，形成有條理地、符合邏輯地進(jìn)行思考、推理、表達(dá)與交流的能力。
數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，是人類社會(huì)進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力。本章對(duì)數(shù)學(xué)文化給予了很大的關(guān)注，不僅提供了“閱讀與思考 函數(shù)概念的發(fā)展歷程”，而且還安排了讓學(xué)生通過(guò)收集資料、閱讀思考、合作交流等學(xué)習(xí)方式完成實(shí)習(xí)作業(yè)，希望學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)本章不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)和能力方面得到提高，而且能夠感受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，逐步地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，提高科學(xué)文化素養(yǎng)。
3．提供積極思考、自主探索的空間，使學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)
豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。本章在知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)上為引導(dǎo)學(xué)生的積極思考、自主探索留下了比較充分的空間，采取的主要方法有：
�。�1）設(shè)置具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的思考和探究。例如：
思考 我們知道，實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算。類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，集合是否也可以“相加”呢？
考察下列各個(gè)集合，你能說(shuō)出集合 與集合A，B之間的關(guān)系嗎？
�、貯={1，3，5 }，B={2，4，6 }，C={1，2，3，4，5，6 }；
②A={有理數(shù)}，B={無(wú)理數(shù)}，C={實(shí)數(shù)}。
�。�2）在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出學(xué)習(xí)要求或預(yù)留空白，為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)。例如1.2節(jié)的例5的邊框中提出如下要求：
是否可以設(shè)計(jì)一個(gè)表格，讓售票員和乘客非常容易地知道任兩站之間的票價(jià)？
�。�3）通過(guò)拓展性欄目，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的興趣，翻閱更多的資料，經(jīng)過(guò)閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、討論交流獲取更多的知識(shí)。
例如1.1集合中的“閱讀與思考 集合中元素的個(gè)數(shù)”。
四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議
1．把集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)
根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的要求，高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)。因此，學(xué)習(xí)集合初步知識(shí)的目的主要在于能使用最基本的集合語(yǔ)言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。在教學(xué)中，可以將集合語(yǔ)言與自然語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言進(jìn)行比較，并注意創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生使用集合語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流的豐富情境和機(jī)會(huì)，特別是在學(xué)習(xí)集合間的關(guān)系和運(yùn)算時(shí)，要重視使用Venn圖，以便學(xué)生在實(shí)際使用中逐漸熟悉自然語(yǔ)言、集合語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的各自特點(diǎn)，并能根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，從中感受集合語(yǔ)言的意義和作用。例如利用問(wèn)題“在平面直角坐標(biāo)中，集合 就表示直線y=x，從這個(gè)角度看，集合表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系嗎？請(qǐng)分別用集合語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言說(shuō)明這種關(guān)系”，可以使學(xué)生體會(huì)集合語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，在不同語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換中感受集合語(yǔ)言的作用。在教學(xué)時(shí)，可以充分利用教科書(shū)提供的機(jī)會(huì)或開(kāi)發(fā)一些情境，逐漸發(fā)展學(xué)生使用集合語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。
2．函數(shù)概念的處理方式
與以往相比，本章發(fā)生變化最大的就是函數(shù)概念的處理方式，在教學(xué)時(shí)，應(yīng)給予充分的重視。從“先講映射后講函數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤跋戎v函數(shù)后講映射”的主要理由在于這樣可以使學(xué)生更好地理解函數(shù)概念的本質(zhì)。其一，在初中函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上繼續(xù)深入學(xué)習(xí)函數(shù)，銜接自然，利于學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上提升對(duì)函數(shù)概念的理解；其二，單刀直入進(jìn)入函數(shù)概念的學(xué)習(xí)更有利于學(xué)生將注意力放在理解函數(shù)概念本質(zhì)上，而不必花大量精力學(xué)習(xí)映射、認(rèn)識(shí)映射與函數(shù)間的關(guān)系后才能理解函數(shù)概念。從豐富的具體事例中概括函數(shù)的本質(zhì)特征，得出函數(shù)概念，體現(xiàn)了從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生建立關(guān)于抽象的函數(shù)概念的背景支持。在教學(xué)中，可以多為學(xué)生提供豐富的背景實(shí)例，也可以讓學(xué)生自己舉出一些函數(shù)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的函數(shù)概念。
當(dāng)然，對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解并非一次就可以實(shí)現(xiàn)的，要通過(guò)與初中定義的比較、與其它知識(shí)的聯(lián)系以及不斷的應(yīng)用等才能逐步理解。除了在本章要適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生提供反復(fù)理解函數(shù)概念的機(jī)會(huì)外，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)通過(guò)基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生以具體函數(shù)為依托，反復(fù)地、螺旋上升地理解函數(shù)的本質(zhì)。
3．重視信息技術(shù)的使用
考慮到我國(guó)不同地區(qū)信息技術(shù)硬件條件的差異性，以及可用于數(shù)學(xué)教與學(xué)的不同軟件各具優(yōu)勢(shì)，教科書(shū)沒(méi)有在正文中詳述信息技術(shù)的使用，只在適于使用信息技術(shù)的地方利用邊框給予提示，但在信息技術(shù)應(yīng)用欄目中對(duì)用計(jì)算機(jī)做函數(shù)圖象做了較為詳細(xì)的介紹。
本章有許多可以使用信息技術(shù)的機(jī)會(huì)，例如函數(shù)的求值，作函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的性質(zhì)等，這主要是基于信息技術(shù)的圖象功能和數(shù)值計(jì)算功能，它不僅能便捷地計(jì)算函數(shù)值、迅速繪制函數(shù)圖象，而且許多軟件具有交互式的動(dòng)態(tài)環(huán)境，非常有利于學(xué)生的主動(dòng)探究。因此，有條件的學(xué)校應(yīng)盡量地加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的整合，積極開(kāi)發(fā)使用信息技術(shù)的空間，讓學(xué)生利用信息技術(shù)探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，從而更好地理解函數(shù)概念。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaozhong/138482.html
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