在人教版《普通高中實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)4?必修（A版）》（簡(jiǎn)稱“人教A版”）中，三角函數(shù)采用了如下定義（簡(jiǎn)稱“單位圓定義法”）：
“如圖1，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：
（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；
（3）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）．
可以看出，當(dāng)α=(k∈Z)時(shí)，α的終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x等于0，所以無(wú)意義．除此之外，對(duì)于確定的角α，上述三個(gè)值都是唯一確定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)．”
1．部分教師的疑惑和意見(jiàn)
由于種種原因，實(shí)驗(yàn)區(qū)有的教師對(duì)上述定義不理解，認(rèn)為該定義不如以往教材采用的定義，即在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r，比值，，分別定義為角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)（簡(jiǎn)稱“終邊定義法”）．其理由主要有以下幾點(diǎn)：
第一，“單位圓定義法”中，“交點(diǎn)是特殊的，缺乏一般性，不符合數(shù)學(xué)定義的要求”；“終邊定義法”中，“所取得點(diǎn)是任意的，具有一般性，符合數(shù)學(xué)定義的要求”．有的老師說(shuō)，“單位圓上的點(diǎn)畢竟是特殊點(diǎn)，用它定義三角函數(shù)有失一般性”．
第二，“單位圓定義法”不利于將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)；“終邊定義法”有利于這種推廣．有的老師說(shuō)，“用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦、余弦函數(shù)帶來(lái)了不少便利，其根本原因是它化簡(jiǎn)了三角函數(shù)的比值．而用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正切函數(shù)，由于它未能化簡(jiǎn)三角函數(shù)的比值，所以它就沒(méi)有什么特別的意義．”
第三，“單位圓定義法”不利于解題．有的老師說(shuō)，在解“已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3a,4a）,求角α的三角函數(shù)值”時(shí)，用“終邊定義法”非常方便，而用“單位圓定義法”很不方便．
為了解答老師們的疑問(wèn)，我們首先從回顧三角函數(shù)的發(fā)展歷史開始．
2．對(duì)三角函數(shù)發(fā)展歷史的簡(jiǎn)單回顧
回顧三角學(xué)發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)它的起源、發(fā)展與天文學(xué)密不可分，它是一種對(duì)天文觀察結(jié)果進(jìn)行推算的方法．1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，這是航海、立法推算以及天文觀測(cè)等人類實(shí)踐活動(dòng)的需要，同時(shí)也是宇宙的奧秘對(duì)人類的巨大吸引力所至，這種“量天的學(xué)問(wèn)”確實(shí)太誘人了．后來(lái)，由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角．
三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)的標(biāo)志是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436―1476）于1464年出版《論各種三角形》，這部著作首次對(duì)三角學(xué)做出了完整、獨(dú)立的闡述．其中采用印度人的正弦，即圓弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)，討論了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長(zhǎng)的代數(shù)解法，給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理．這部著作為三角學(xué)在平面與球面幾何中的應(yīng)用奠定了牢固基礎(chǔ)．后來(lái)，哥白尼的學(xué)生雷提庫(kù)斯（G. J. Rhaeticus，1514―1576）將傳統(tǒng)的圓中的弧與弦的關(guān)系改進(jìn)為角的三角函數(shù)關(guān)系，把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長(zhǎng)之比，從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立出來(lái)，并采用了六個(gè)函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F. Vieta，1540―1603）總結(jié)了前人的三角學(xué)研究成果，將解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式，如正切公式、和差化積公式等，并將解斜三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題等，這是對(duì)三角學(xué)的進(jìn)一步系統(tǒng)化．總之，16世紀(jì)，三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來(lái)，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支．不過(guò)，值得注意的是，這時(shí)所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù)，而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算．
任意角的三角函數(shù)的研究，與圓周運(yùn)動(dòng)的研究有直接關(guān)系．17世紀(jì)，“數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研究中引出了一個(gè)基本概念．在那以后的二百年里，這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)──或變量間的關(guān)系──的概念．” “正弦、余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱性）的直接反映．”
任意角的三角函數(shù)的系統(tǒng)化是在18世紀(jì)的微積分研究中完成的．“微積分的一般工作的結(jié)果是：初等函數(shù)被充分地認(rèn)識(shí)了，并實(shí)際已將它們發(fā)展成為我們今天所見(jiàn)到的樣子．”“三角函數(shù)的數(shù)學(xué)也系統(tǒng)化了．Newton和Leibniz給出了這些函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式．兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的發(fā)展應(yīng)歸功于一批人……最后，Euler于1748年在關(guān)于木星和土星運(yùn)動(dòng)中的不等式的一篇得獎(jiǎng)文章中給出了三角函數(shù)的一個(gè)十分系統(tǒng)的處理．在Euler1748年的《引論》中已經(jīng)搞清了三角函數(shù)的周期性，并引入了角的弧度制．”
3．任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關(guān)系
從上述簡(jiǎn)單回顧可以看到，任意角的三角函數(shù)雖然與三角學(xué)（銳角三角函數(shù)）有淵源關(guān)系，某種意義上可以把前者看成是后者的進(jìn)一步發(fā)展，但它們研究的是兩類不同的問(wèn)題．“三角學(xué)所討論的課題是三角形的各種各樣的幾何量之間的函數(shù)關(guān)系” ，銳角三角函數(shù)是解三角形的工具；而任意角的三角函數(shù)卻不限于此，它是一個(gè)周期函數(shù)，是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”．另外，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，任意角的三角函數(shù)在18世紀(jì)之所以得到系統(tǒng)研究（其中很重要的是函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開式問(wèn)題），一個(gè)主要原因是三角函數(shù)具有周期性，這一特殊屬性在天文學(xué)、物理學(xué)中有大量的應(yīng)用．三角級(jí)數(shù)“在天文學(xué)中之所以有用，顯然是由于它們是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都是周期的” ，而這種應(yīng)用又與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究的中心工作──微積分緊密結(jié)合，人們?cè)谘芯啃行沁\(yùn)動(dòng)的各種問(wèn)題時(shí)，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式（三角級(jí)數(shù)）的系數(shù)是用定積分表示的．
所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來(lái)的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的．它們研究的對(duì)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同．我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”．
4．用“單位圓定義法”的理由
用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)．
（1）簡(jiǎn)單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對(duì)于任意角a，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即
角a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y──正弦，
角a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x──余弦，
可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡(jiǎn)單的．另外，“x= cosa，y= sina是單位圓的自然的動(dòng)態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）的解析表述”，其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角a每隔2π（圓周長(zhǎng)）而重復(fù)出現(xiàn)（點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來(lái)的位置），非常直觀地顯示了這兩個(gè)函數(shù)的周期性．
“終邊定義法”需要經(jīng)過(guò)“取點(diǎn)──求距離──求比值”等步驟，對(duì)應(yīng)關(guān)系不夠簡(jiǎn)潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； “從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過(guò)運(yùn)算才能得到，任意一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過(guò)推理才能得到．以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對(duì)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問(wèn)題不無(wú)關(guān)系．
（2）有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等．例如：
● P(x，y)在單位圓上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域?yàn)閇－1，1]；
● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；
● 對(duì)于圓心的中心對(duì)稱性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；
● 對(duì)于x軸的軸對(duì)稱性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；
● 對(duì)于y軸的軸對(duì)稱性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；
● 對(duì)于直線y=x的軸對(duì)稱性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；
● sina在[－，]內(nèi)的單調(diào)性
a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減；
……
另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，對(duì)于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解．“單位圓定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來(lái)度量角，這時(shí)角度和半徑長(zhǎng)度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了．另外，我們還可以這樣來(lái)理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）a被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cosa，sina)．
（3）符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史．前述三角函數(shù)發(fā)展史已經(jīng)表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運(yùn)動(dòng)的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”．所以，采用“單位圓定義法”能更真實(shí)地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程．
（4）有利于后續(xù)學(xué)習(xí)．前已述及，“單位圓定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)．不僅如此，這一定義還能為“兩角和與差的三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)帶來(lái)方便，因?yàn)楹停ú睿┙枪綄?shí)際上是“圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對(duì)稱性的解析表述． 另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學(xué)習(xí)帶來(lái)方便．例如，重要極限=1幾乎就是定義的一個(gè)“推論”．
5．教科書中的任意角的三角函數(shù)的引入方式
“人教A版”首先通過(guò)“思考”，提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問(wèn)題，以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念，體會(huì)引進(jìn)象限角概念后，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義．教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前，作了如下鋪墊：
直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)象限角為載體的銳角三角函數(shù)
單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)
這樣做的目的主要是為了以銳角三角函數(shù)為認(rèn)知基礎(chǔ)來(lái)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，使學(xué)生初步體會(huì)用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)所具有的簡(jiǎn)單、方便并反映本質(zhì)的好處，從而為“單位圓定義法”做好認(rèn)知準(zhǔn)備．需要注意的是，這樣做并不表明任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間有一般與特殊的關(guān)系．
事實(shí)上，用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯(cuò)的選擇．
6．幾點(diǎn)說(shuō)明
（1）“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的．正因?yàn)榇�，各種數(shù)學(xué)出版物中，兩種定義方法都有采用．例如，由蘇聯(lián)科學(xué)院院士、世界著名數(shù)學(xué)家И.М.維諾格拉多夫主編，蘇聯(lián)百科全書出版社出版，被陳省身先生譽(yù)為“對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，將無(wú)法估計(jì)”的、具有世界性權(quán)威的《數(shù)學(xué)百科全書》（中譯本在2000年由科學(xué)出版社出版）中，采用了“單位圓定義法”；中國(guó)大百科全書出版社的《中國(guó)大百科全書?數(shù)學(xué)》（1992年版）中采用了“終邊定義法”．應(yīng)當(dāng)說(shuō)，采用哪一種定義方法是一個(gè)取舍問(wèn)題，沒(méi)有對(duì)錯(cuò)之分，并不存在商榷的問(wèn)題．因此，“單位圓上的點(diǎn)畢竟是特殊點(diǎn)，用它定義三角函數(shù)有失一般性”的認(rèn)識(shí)是不正確的．值得強(qiáng)調(diào)的是正弦、余弦和正切函數(shù)在R（正切除a=(k∈Z) 外）上處處有定義，而不是角a的終邊上取點(diǎn)的任意性．
事實(shí)上，在老師們熟悉的“終邊定義法”中，給出定義后有如下說(shuō)明：“根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a，這三個(gè)比值（如果有的話）都不會(huì)隨點(diǎn)P在a的終邊上的位置的改變而改變……對(duì)于確定的角a，上面三個(gè)比值都是唯一確定的．這就是說(shuō)，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．”這恰恰說(shuō)明了“以角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為‘比值’”是不失一般性的．另外，用“單位圓定義法”直截了當(dāng)、簡(jiǎn)潔易懂，不需要這樣的說(shuō)明，就更顯出其好處了．
（2）《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》只要求正弦、余弦和正切三個(gè)函數(shù)，其目的是削枝強(qiáng)干，是非常正確的．進(jìn)一步地，三角函數(shù)中，正弦、余弦函數(shù)是“基本三角函數(shù)”，其余都是通過(guò)這兩個(gè)函數(shù)的運(yùn)算（相除、取倒數(shù)等）而得到的，或者說(shuō)是從這兩個(gè)函數(shù)“派生”出來(lái)的．這樣理解各三角函數(shù)的關(guān)系，那么“用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正切函數(shù)，由于它未能化簡(jiǎn)三角函數(shù)的比值，所以它就沒(méi)有什么特別的意義”的擔(dān)心也就不必要了．
（3）“人教A版”在給出三角函數(shù)定義后，有如下兩個(gè)例題：
例1 求的正弦、余弦和正切值．
例2 已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．
它們的作用主要是讓學(xué)生熟悉定義．例1的解答要用銳角三角函數(shù)知識(shí)，例2的解答要用一定的平面幾何知識(shí)，而許多學(xué)生的平面幾何基礎(chǔ)較差，所以有一定的困難，這是教學(xué)中需要注意的．另外，例2還有讓學(xué)生研究“終邊定義法”的意圖，教科書“邊空”的“小貼士”表明了這一點(diǎn)：“由例2可知，只要知道角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出角a的三角函數(shù)值．因此，利用角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)也可以定義三角函數(shù)．你能自己給出這種定義嗎？”
至于類似“已知角a終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3a,4a）,求角a的三角函數(shù)值”的問(wèn)題，顯然是一個(gè)細(xì)枝末節(jié)問(wèn)題，與三角函數(shù)的核心知識(shí)無(wú)關(guān)．
參考文獻(xiàn)：
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③ 同①，122~123
�、� 同②，82
⑤ 同①，182
⑥ 詳見(jiàn)②，84~87
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaozhong/131180.html
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