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數(shù)學的魔力

數(shù)學是一門特殊的學問。它特殊的原因不單是因為它的形式，也并不僅因為它在古代就存在；數(shù)學特殊的原因在于，數(shù)學的推理呈現(xiàn)了人類理性最純粹的展示。這種理性展示所構(gòu)成的證明，被公認為是數(shù)學引導人思考最重要的特質(zhì)。因為這個特質(zhì)呈現(xiàn)了人類的純粹思維，以及不屬于經(jīng)驗世界的特性，使得在哲學發(fā)展的起初，數(shù)學就成為對抗變動的經(jīng)驗世界最穩(wěn)固的展示。這個展示使得數(shù)學成為不變本質(zhì)的代名詞，也讓人以為數(shù)學代表一切理念的集合，也就是真理的代表。

這不但是一種很普遍的想法，也極有可能是一種錯誤的想法。為什么？因為我們活在世界中，卻怎么會認定一種與經(jīng)驗無關(guān)的思維為真理呢？如果數(shù)學真是真理的話，那么這是否意味著，所有經(jīng)由經(jīng)驗所呈現(xiàn)的，都不是真的？對于一般人而言，否定經(jīng)驗內(nèi)容的想法可能是很荒謬的，可是所有涉獵西洋哲學史的人都知道，這正是以柏拉圖為主導的哲學學派之核心思想。以柏拉圖哲學在西洋哲學所占據(jù)的地位而言，這已經(jīng)算得上是“主流思想”，但更有趣的是，柏拉圖以接近“宗教”的方式，呈現(xiàn)數(shù)學的特性。當然這個做法，也為數(shù)學增添些許神秘色彩。

沒有人知道，數(shù)學的神秘色彩對現(xiàn)代科學的發(fā)展究竟起了什么作用，但數(shù)學成為科學發(fā)展的主軸，卻是不爭的事實。正是因為這個緣故，我們在現(xiàn)代科學中的教育，也是以數(shù)學作為學校教授的主要科目。這是眾所周知的，但有沒有人想過，數(shù)學既然與我們的實際生活不甚關(guān)聯(lián)，卻為什么會成為教育的主要科目。難道我們受教育的目的，依然是古典時期那種脫離現(xiàn)實生活以追求“超越”的傳統(tǒng)嗎？這些問題，讓我們不得不思考，我們教育中對于數(shù)學的重視，會不會是一個“迷思”的結(jié)果？

因為數(shù)學教育所引發(fā)的問題，讓我們不得不想如下的問題：數(shù)學究竟有什么魔力，讓我們對于它的功能如此執(zhí)著？我們不得不提醒自己，在這一個充滿科技的21世紀，處處以數(shù)學作為科學的基礎(chǔ)，但它本身的成因卻是一個“謎團”。我們甚至不知道數(shù)學有沒有一個固定的定義方式。這是一個大問題，因為即使我們不斷地而且有意義地談?wù)摂?shù)學，但“數(shù)學是什么”這個問題，依然尚未獲得滿意的答案。科學哲學家哈金（I. Hacking）就針對這個問題，采用歷史譜系學的方法，從數(shù)學發(fā)展的歷史中，找出一個令人驚訝的答案。

哈金為哲學家對于數(shù)學的迷戀態(tài)度感到大惑不解。其中，最重要的哲學家就是羅素。羅素甚至極端地認為，所有的哲學家都應(yīng)該延續(xù)康德的事業(yè)，回答“純粹數(shù)學如何可能”這個困難的問題。哈金坦言，羅素這樣說是夸大其詞，因為只有部分的哲學家對于數(shù)學展現(xiàn)了高度興趣。是什么力量讓這么多重量級的哲學家對于數(shù)學的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)如此感興趣？哈金認為，最重要的理由，就是數(shù)學證明。

哈金的想法說明了數(shù)學的本質(zhì)，也指出了哲學家的迷惘，當然也包含我們的迷惘�？墒牵�哲學家一直不能理解，理性的起源，居然是神秘的，甚至是神圣的（奧古斯丁）。所以，哈金以追溯歷史的方式，在古希臘的源頭找到這個問題的起源。他找到的答案，就是柏拉圖。柏拉圖是我們現(xiàn)在深受“以證明為主的數(shù)學模式”所吸引的代理人。柏拉圖的理念，影響了后來的跟隨者，引導人們進一步創(chuàng)造一些迷人的數(shù)學概念，比方“展示”、“模型”、“證明”、“計算”、“形式主義”、“抽象化”。

為什么這些概念會“迷人”呢？答案就在于那些“必然如此”的感覺。這一問一答之間，我們可以看得出來，這件事情，幾乎可以用“美麗的錯誤”來形容。為什么？因為眾所周知的是，在人際交往中，真正吸引人注意與尊重的，往往多為修辭的字句與動人的語言。在古希臘社會中，注重語言能力這件事尤其重要，代表一個人能力的展現(xiàn)。事實上，希臘的數(shù)學成就對希臘人來說是無關(guān)緊要的。對于擁有高度文化素養(yǎng)的人來說，重要的是醫(yī)學、法律、修辭學、政治學、倫理學和歷史，而不是數(shù)學。

數(shù)學教育的影響

著名的美國實用主義哲學家皮爾斯（C. S. Peirce）說，數(shù)學有兩個不為人知的特色：第一，數(shù)學不同于所有其他的科學，所有其他的科學都可能因為它所研究的對象的消失而消失，但純粹的數(shù)學沒有這個問題，因為它不研究任何實質(zhì)的對象。甚至我們可以說，不研究任何實質(zhì)的對象正是數(shù)學之所以是數(shù)學的原因。另一個特色是，數(shù)學完全不需要訴諸于哪一種邏輯。這也許會讓人覺得很意外，因為通常我們會認為數(shù)學就是一個推理的科學，而推理往往是需要透過邏輯來進行的。有趣的是，正是因為推理本身并不需要說明我們?yōu)楹味�得推理，就像說我們知道能夠發(fā)出一個母音的聲音的人，并不需要說明為什么，他知道如何發(fā)出一個母音，數(shù)學也是如此。沒有哪一種邏輯可以完全涵蓋我們思考與推理的能力。

數(shù)學所需要的是最自然的推理能力。因為這個緣故，數(shù)學是一個純粹思考的產(chǎn)物；數(shù)學所應(yīng)用的推理能力，基本上不僅是一個天生的能力，也是一種因人而異的能力。這兩種能力在現(xiàn)行的數(shù)學教育中，出現(xiàn)了一種與柏拉圖在《美諾（meno）篇》中的想法截然相反的結(jié)果：我們的數(shù)學能力基本上是一個因人而異，而且不受外在環(huán)境影響的能力。這種能力的發(fā)展，導致我們教育中三個很特別的現(xiàn)象。

首先，我們所學習的事物當中，在推理跟事實之間有兩種截然不同性質(zhì)的教育對象。事實的學習，是要透過語言能力的聽、說、讀、寫，而數(shù)學的能力完全是仰仗于內(nèi)在的智力，跟聽、說、讀、寫等語言能力，沒有必然的關(guān)系。

其次，從學習的負擔而言，真正擁有數(shù)學推理能力的人，可以在不費特別功夫的情況下，只需了解定理與公式，就可以進行推理的運算。而這種運算能力對于沒有這種推理能力的人而言，在學習的過程中構(gòu)成極大的差別，尤其是反映在成績的高低之上。

最后，這種差別出現(xiàn)了一個意想不到的結(jié)果，就是數(shù)學能力較佳者的學習過程，必然與其他人不同。因為當其他人需要透過寫作以及朗誦的方式來加深印象時，數(shù)學推理能力強的人，往往是透過一種內(nèi)在的、理性的，甚至神秘的聲音，告訴他自己在學習過程中需要什么樣的能力，以及能夠達到怎樣的成效。在一種比較的眼光下可以說，數(shù)學能力強的人，往往語言的能力反而會因為過度強調(diào)思考，而受到內(nèi)在理性的壓抑，認為“多說無益”，不如“一次證明”。這種壓抑不是來自于體制，而是來自于體制與個人思維的結(jié)合。

毫無疑問，這種現(xiàn)象反映在我們現(xiàn)今的教育成果中，帶來了負面的影響，表現(xiàn)為如下三點。

首先，數(shù)學獨大，其他的學科在與數(shù)學相較下，因為缺乏比較的標準，而失去了學習的意義與動機。

其次，普遍的語言能力下降，導致優(yōu)美的文字與表達變成了次級的學習對象。

最后，人文精神的消失。因為獨重數(shù)學的結(jié)果，尤其是透過數(shù)學科學化而強調(diào)數(shù)學的結(jié)果，往往是用一種非常實際的方式，落實數(shù)學中的抽象概念。數(shù)學化后的科技固然會帶來生活上的便利，但是很遺憾，科技的唯物論本質(zhì)，也會直接或間接消弭數(shù)學的抽象特性，使得原先一向講求想象力與推理能力的學科，變成一項與自然世界結(jié)合的工具理性。加上唯物論的推波助瀾，這種工具理性最終必然導致人文精神的下降。原因是，在唯物的世界中，人的地位與其他的萬事萬物沒有不同，都是由最簡單的粒子所構(gòu)成的。我們必須認識到，這不是數(shù)學本身的錯，而是人們以誤導的觀念看待數(shù)學所造成的結(jié)果。

未來展望

這些結(jié)果之中，有的導致現(xiàn)代科學的發(fā)展，也有的滿足人們長期追求真理的欲望。整體而言，這些結(jié)果發(fā)展得相當成功，以致于許多人認為“數(shù)學代表真理”。本文對于這個認知提出質(zhì)疑，認為數(shù)學不但不能代表真理，甚至認為這個觀念根本就是錯誤的。經(jīng)過一個歷史式的論述，本文認為這是一個自我設(shè)限的觀念，完全無助于人文精神的發(fā)揚，也有害于教育平等的目標。以現(xiàn)今教育體制對數(shù)學的重視，我們認為對數(shù)學有正確的認知是極其重要的。在正確的認知下，教育應(yīng)該注意如下三項重點。

首先，教育的目標是為了提振人的精神，因為人總是期待能夠在教育的過程中獲得養(yǎng)成的機會。

其次，過度強調(diào)數(shù)學的教育，往往會在數(shù)學與自然世界結(jié)合的情況下，不知不覺地將人文社會帶入唯物主義的環(huán)境中，最終導致人文精神的挫折，社會發(fā)展的物化。

最后，數(shù)學的本質(zhì)并不是可以用規(guī)則表示的邏輯，而是人與生俱有的推理能力。因此在這個情況中，我們不必對數(shù)學究竟是什么而感到焦慮，我們只要注意任何人都應(yīng)當具有數(shù)學推理的能力。沒有人應(yīng)該在受教育的過程中因為數(shù)學推理能力不佳，而感到沮喪與挫折。