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　　教學(xué)背景：

    1．教材地位分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個三角函數(shù)的教學(xué).借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說,三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的有利工具.

    2．學(xué)生現(xiàn)實分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前,學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號,以及誘導(dǎo)公式一,為三角函數(shù)線的尋找做好了知識準(zhǔn)備.高一上學(xué)期研究指、對數(shù)函數(shù)圖像時,已帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了幾何畫板的基礎(chǔ)知識，現(xiàn)在他們已經(jīng)具備初步的幾何畫板應(yīng)用能力，能夠制作簡單的動畫，開展數(shù)學(xué)實驗.

　　教學(xué)目標(biāo)：

1．知識目標(biāo): 使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值,并能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.

2．能力目標(biāo): 借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力；在論壇上開展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識自己去發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境.

　　教學(xué)重點難點：

1．重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用.

2．難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.

　　教學(xué)方法與教學(xué)手段：

　　1．教法選擇：“設(shè)置問題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”——科研式教學(xué).

　　2．學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識遷移；觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達(dá)到知識的延展.

　　3．教學(xué)手段：本節(jié)課地點選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，學(xué)生利用幾何畫板軟件探討數(shù)學(xué)問題，做數(shù)學(xué)實驗; 借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀點,展示自己的才能.

　　教學(xué)過程：

　　一、設(shè)置疑問,實驗探索（17分鐘）

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

設(shè)

置

疑

問,點明主題

前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑.特別地, 當(dāng)r =1時，,此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.

既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過類比聯(lián)想主動、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.

概

念

學(xué)

習(xí),分

散

難

點

有向線段：帶有方向的線段.

（1）方向：按書寫順序，前者為起點，后者為終點，由起點指向終點.

如：有向線段OM,O為起點，M為終點，由O點指向M點.

（動態(tài)演示）

(2) 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段）

絕對值等于線段的長度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值;與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如：

 OM= 1,

  ON= -1,

  AP =

相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點,使學(xué)生能夠更多的圍繞重點展開探索和研究.

實驗探   索,

辨析研討

1.(復(fù)習(xí)提問)任意角的正弦如何定義?

角的終邊上任意一點P(除端點外)的坐標(biāo)是（），它與原點的距離是r, 比值叫做的正弦.

思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?

學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長的轉(zhuǎn)化, 類比猜測:若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點為P,過點P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，則有向線段MP=.(學(xué)生分析的同時,教師用幾何畫板演示)

請學(xué)生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負(fù)的對應(yīng).特別地,當(dāng)角的終邊在軸上時,有向線段MP變成一個點,記數(shù)值為0.

這條與單位圓有關(guān)的有向線段MP叫做角的正弦線.

2.思考:用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說明理由.

請學(xué)生用幾何畫板演示說明.

有向線段OM叫做角的余弦線.

3. 如何用有向線段表示？

討論焦點：

若令=1, 則=AT，但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標(biāo)為1的點，若此時取=-1的點T‘，tan=-=T‘A‘,有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一.

引導(dǎo)觀察：

當(dāng)角的終邊互為反向延長線時，它們的正切值有什么關(guān)系？

統(tǒng)一認(rèn)識：

方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1的點T，則tan==AT；

方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識得到=.

幾何畫板演示驗證:

當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時，tan與有向線段AT的對應(yīng).

這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT叫做角的正切線.

美國華盛頓一所大學(xué)有句名言:“我聽見了,就忘記了;我看見了,就記住了;我做過了,就理解了.”要想讓學(xué)生深刻理解三角函數(shù)線的概念，就應(yīng)該讓學(xué)生主動去探索，大膽去實踐，親身體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程.

教學(xué)已經(jīng)不再是把教師或?qū)W生看成孤立的個體，而是把他們的教和學(xué)看成是相互影響的辯證發(fā)展過程.在和諧的氛圍中，教師和學(xué)生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達(dá)各自的意見，在自己積極思維的同時又能感受他人不同的思維方式，從而打破自己的封閉狀態(tài)，進(jìn)入更加廣闊的領(lǐng)域.

　　二、作法總結(jié),變式演練（13分鐘）

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

作法總結(jié)

正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.

請大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,并用幾何畫板演示(一學(xué)生描述,同時用電腦演示)：

第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點P；

第二步：過點P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；

第三步：過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為T，得角的正切線AT.

特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點為起點，其中點A為定點（1，0）.

及時歸納總結(jié)，加深知識的理解和記憶.

變式演練,提高能力

練習(xí)：利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：

     （1）;      （2）.

學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向.

例1 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊：

（1）；    （2）； 

（3）.

共同分析（1），設(shè)角的終邊與單位圓交于P(),則=,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點P，則射線OP即為的終邊.（幾何畫板動態(tài)演示）

請學(xué)生分析（2）、(3),同時用幾何畫板演示.

例2 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：

（1）≥ ;     （2）≤- .        

分析：先作出滿足 ，的角的終邊(例1已做)，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫板動態(tài)演示）

答案：（1）{}.

（2）{}.

延伸：通過（1）、（2）兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組的解集：

{}.

鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線的作法.

逆向思維,靈活運(yùn)用三角函數(shù)線,并為利用三角函數(shù)線求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.

數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用.

　　三、思維拓展,論壇交流（10分鐘）

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

思

維

拓

展,論壇交流

觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？請說明你的觀點和理由,并發(fā)表于焦作一中教育論壇 (bbs.jzyz.jzedu.cn).

學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種：

(1) sin2 + cos2 = 1;

(2)│sin│ + │cos │≥1;

(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R;

(4) 若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數(shù);

(5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時針旋轉(zhuǎn)時，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;

(6) 當(dāng)角的終邊在直線的右下方時, sin＜cos ;當(dāng)角的終邊在直線的左上方時, sin＞cos ;

……

給學(xué)生建設(shè)一個開放的、有活力、有個性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.論壇交流既能展示個人才華,又能照顧到各個層次的學(xué)生.來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識又被他人的視點喚起，產(chǎn)生新的思想.這樣的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生在輕松達(dá)成一個個階段目標(biāo)之后，順利到達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界.

　　四、歸納小結(jié),課堂延展（5分鐘）

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

歸

納

小

結(jié)

1.回顧三角函數(shù)線作法.

2.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對應(yīng)關(guān)系，使得對三角函數(shù)的研究大為簡化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ).

回顧三角函數(shù)線作法,再次加深理解和記憶.點明三角函數(shù)線在其他方面的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想,便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深入的思考,更廣泛的研究.

鞏固創(chuàng)新,

課

堂

延

展

鞏固作業(yè):習(xí)題4.3  1,2

提升練習(xí)：

1. 已知：，那么下列命題成立的是（  ）

A．若、是第一象限的角，則cos>cos.

B. 若、是第二象限的角，則tan>tan.

C. 若、是第三象限的角，則cos>cos.

D. 若、是第四象限的角，則tan>tan.

2．求下列函數(shù)的定義域：

（1） y = ;  (2) y = lg(3－4sin2x) .

延展作業(yè):

1. 類比正切線的作法，你能作出余切線嗎？

2.結(jié)合三角函數(shù)線我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價值的結(jié)論,你還能得出哪些結(jié)論？請大家繼續(xù)在論壇上交流.

3.查閱數(shù)學(xué)家歐拉的生平事跡,了解他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn),談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)感受,并發(fā)表于論壇交流.

既能保證全體學(xué)生的鞏固應(yīng)用，又兼顧學(xué)有余力的學(xué)生，同時將探究的空間由課堂延伸到課外.

　　教學(xué)設(shè)計說明:

1.讓計算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)真正走入數(shù)學(xué)課堂,發(fā)揮它們的輔助作用.

“讓計算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)走入數(shù)學(xué)課堂”是提出了多年的口號，但是如何真正讓多媒體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用卻是我們一直在探索的問題.本節(jié)課有較廣的延展面，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)新能力的很好素材，但是要在一節(jié)課45分鐘時間內(nèi)實現(xiàn)構(gòu)想，對課的安排提出了非常高的要求.幾何畫板軟件的動畫演示功能正好可以幫助學(xué)生做數(shù)學(xué)試驗，探討數(shù)學(xué)問題；網(wǎng)絡(luò)論壇可以讓他們充分交流，相互學(xué)習(xí).為此，我把授課地點放在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，既豐富了三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識也有了相應(yīng)的提高.

2.不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.

課堂教學(xué)最終是為了讓學(xué)生擺脫課堂,獨立學(xué)習(xí),所以不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.本節(jié)課所采用的科研式教學(xué)法體現(xiàn)了研究新問題的一般思路,讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟這種科學(xué)的研究方法,有利于他們今后能夠獨立地開展科研活動.

3.使學(xué)生始終保持學(xué)習(xí)興趣,快樂學(xué)數(shù)學(xué).

蘇霍姆林斯基說過：“在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者和探索者.”本節(jié)課正是抓住學(xué)生的這一心理需求，充分利用互動工具，讓學(xué)生動手實踐、思考探索，合作交流，真正意義上做到尊重學(xué)生的創(chuàng)造性，挖掘?qū)W生的潛力，讓他們對整個學(xué)習(xí)過程充滿激情，快樂學(xué)數(shù)學(xué)！