【導(dǎo)語】當(dāng)一個小小的心念變成成為行為時，便能成了習(xí)慣；從而形成性格，而性格就決定你一生的成敗。成功與不成功之間有時距離很短——只要后者再向前幾步。逍遙右腦為莘莘學(xué)子整理了《高一年級數(shù)學(xué)《集合》知識點(diǎn)總結(jié)》，希望對你有所幫助！
【一】
一．知識歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
�、诩现械脑鼐哂写_定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（a,b與b,a表示同一個集合）。
�、奂暇哂袃煞矫娴囊饬x，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1）子集：若對x∈A都有x∈B，則AB（或AB）；
2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；記為AB（或，且）
3）交集：A∩B=xx∈A且x∈B
4）并集：A∪B=xx∈A或x∈B
5）補(bǔ)集：CUA=xxA但x∈U
注意：①?A，若A≠?，則?A；
�、谌簦�，則；
③若且，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1）與、?的區(qū)別；（2）與的區(qū)別；（3）與的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
�、貯∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；
�、蹵∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。
5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
�、貯∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；
�、跜u(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；
6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二．例題講解：
【例1】已知集合M=xx=m+,m∈Z,N=xx=,n∈Z,P=xx=,p∈Z，則M,N,P滿足關(guān)系
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：xx=,m∈Z；對于集合N：xx=,n∈Z
對于集合P：xx=,p∈Z，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以MN=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M=…，，…，N=…，,,，…，P=…，,，…，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。
點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合，，則（B）
A．M=NB．MNC．NMD．
解：
當(dāng)時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B=xx∈A且xB，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，則A*B的子集個數(shù)為
A）1B）2C）3D）4
分析：確定集合A*B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A=a1，a2，…，an有子集2n個來求解。
解答：∵A*B=xx∈A且xB，∴A*B=1,7，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M1,2,3,4,5，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數(shù)為
A）5個B）6個C）7個D）8個
變式2：已知a,bAa,b,c,d,e,求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.
評析本題集合A的個數(shù)實(shí)為集合c,d,e的真子集的個數(shù)，所以共有個.
【例3】已知集合A=xx2+px+q=0,B=xx2?4x+r=0,且A∩B=1,A∪B=?2,1,3,求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B=1∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B=xx2?4x+r=0=1,3,∵A∪B=?2,1,3,?2B,∴?2∈A
∵A∩B=1∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴∴
變式：已知集合A=xx2+bx+c=0,B=xx2+mx+6=0,且A∩B=2,A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解：∵A∩B=2∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B=xx2-5x+6=0=2,3∵A∪B=B∴
又∵A∩B=2∴A=2∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A=x(x-1)(x+1)(x+2)>0,集合B滿足：A∪B=xx>-2，且A∩B={x1<>
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A=x-2<><-1或x>1。由A∩B=x1-2可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
綜合以上各式有B=x-1≤x≤5
變式1：若A=xx3+2x2-8x>0，B=xx2+ax+b≤0,已知A∪B=xx>-4，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)M=xx2-2x-3=0,N=xax-1=0，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M=-1,3,∵M(jìn)∩N=N,∴NM
�、佼�(dāng)時，ax-1=0無解，∴a=0②
綜①②得：所求集合為-1，0，
【例5】已知集合，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼，若P∩Q≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若，在內(nèi)有有解
令當(dāng)時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答：
點(diǎn)評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1．下列八個關(guān)系式①0=②=0③{}④{}⑤0
�、�0⑦0⑧{}其中正確的個數(shù)
�。ˋ）4（B）5（C）6（D）7
2．集合1，2，3的真子集共有
�。ˋ）5個（B）6個（C）7個（D）8個
3．集合A=xB={}C={}又則有
（A）（a+b）A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一個
4．設(shè)A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是
（A）CUACUB（B）CUACUB=U
�。–）ACUB=（D）CUAB=
5．已知集合A={}，B={}則A=
�。ˋ）R（B）{}
�。–）{}（D）{}
6．下列語句：（1）0與0表示同一個集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為
1，2，3或3，2，1；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為1，1，2；（4）集合{}是有限集，正確的是
（A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（3）
�。–）只有（2）（D）以上語句都不對
7．設(shè)S、T是兩個非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=
�。ˋ）X（B）T（C）Φ（D）S
8設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為
（A）R（B）（C）{}（D）{}
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若A=1,4,x,B=1,x2且AB=B，則x=
11.若A=xB=x,全集U=R，則A=
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負(fù)根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合A={},B=x,且AB，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集U=x為小于20的非負(fù)奇數(shù)，若A（CUB）=3，7，15，（CUA）B=13，17，19，又（CUA）（CUB）=，則AB=
解答題
15(8分)已知集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,若AB=-3，求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)A=，B=，
其中xR,如果AB=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四.習(xí)題答案
選擇題
12345678
CCBCBCDD
填空題
9．(x,y)10.0,11.x,或x312.{}13.{}14.1,5,9,11
解答題
15.a=-1
16.提示：A=0，-4，又AB=B，所以BA
�。á瘢〣=時，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B=0或B=-4時，0得a=-1
�。á螅〣=0，-4，解得a=1
綜上所述實(shí)數(shù)a=1或a-1
【二】
集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：緊急～。2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素：有理數(shù)的～。3、口號等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數(shù)學(xué)家先驅(qū)，是集合論的創(chuàng)始者，目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。
集合，在數(shù)學(xué)上是一個基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念?基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。
元素與集合的關(guān)系
元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。
集合與集合之間的關(guān)系
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ�？占侨魏渭系淖蛹�，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性�！赫f明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學(xué)教材課本里將?符號下加了一個≠符號(如右圖)，不要混淆，考試時還是要以課本為準(zhǔn)。所有男人的集合是所有人的集合的真子集�！�
集合的幾種運(yùn)算法則
并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并(集)，記作A∪B(或B∪A)，讀作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B=x交集：以屬于A且屬于B的元差集表示
素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作A∩B(或B∩A)，讀作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B=x例如，全集U=1，2，3，4，5A=1，3，5B=1，2，5。那么因?yàn)锳和B中都有1，5，所以A∩B=1，5。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說A∪B=1，2，3，5。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個。結(jié)果是3，5，7每項(xiàng)減集合
1再相乘。48個。對稱差集：設(shè)A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A=a，b，c，B=b，d，則A?B=a，c，d對稱差運(yùn)算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N*是正整數(shù)的全體，且N_n=1，2，3，……，n，如果存在一個正整數(shù)n，使得集合A與N_n一一對應(yīng)，那么A叫做有限集合。差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作：AB=x│x∈A，x不屬于B。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”.補(bǔ)集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA，即CuA=x空集也被認(rèn)為是有限集合。例如，全集U=1，2，3，4，5而A=1，2，5那么全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補(bǔ)集。CuA=3，4。在信息技術(shù)當(dāng)中，常常把CuA寫成~A。
集合元素的性質(zhì)
1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個性質(zhì)主要用于判斷一個集合是否能形成集合。2.獨(dú)立性：集合中的元素的個數(shù)、集合本身的個數(shù)必須為自然數(shù)。3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成1，1，2，等同于1，2�；ギ愋允辜现械脑厥菦]有重復(fù)，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性：a，b，cc，b，a是同一個集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A=x<2，集合A中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數(shù)都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應(yīng)的。
集合有以下性質(zhì)
若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…而對于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當(dāng)于集合的名字，沒有任何實(shí)際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A=…的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內(nèi)部是具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素。
常用的有列舉法和描述法。1.列舉法?常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來?寫在大括號內(nèi)?這種表示集合的方法叫做列舉法。1，2，3，……2.描述法?常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字?符號或式子等描述出來?寫在大括號內(nèi)?這種表示集合的方法叫做描述法。x(x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性)如：小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{x|0
4.自然語言常用數(shù)集的符號：(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N;不包括0的自然數(shù)集合，記作N*(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作Z+;負(fù)整數(shù)集內(nèi)也排除0的集，稱負(fù)整數(shù)集，記作Z-(3)全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z(4)全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q。Q=p/q(正負(fù)有理數(shù)集合分別記作Q+Q-)(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡稱實(shí)數(shù)集，記作R(正實(shí)數(shù)集合記作R+;負(fù)實(shí)數(shù)記作R-)(6)復(fù)數(shù)集合計(jì)作C集合的運(yùn)算：集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結(jié)合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合時，會遇到有關(guān)集合中的元素個數(shù)問題，我們把有限集合A的元素個數(shù)記為card(A)。例如A=a，b，c，則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補(bǔ)律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設(shè)A為集合，把A的全部子集構(gòu)成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示復(fù)數(shù)集C實(shí)數(shù)集R正實(shí)數(shù)集R+負(fù)實(shí)數(shù)集R-整數(shù)集Z正整數(shù)集Z+負(fù)整數(shù)集Z-有理數(shù)集Q正有理數(shù)集Q+負(fù)有理數(shù)集Q-不含0的有理數(shù)集Q
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