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數(shù)學(xué)的魔力

數(shù)學(xué)是一門特殊的學(xué)問(wèn)。它特殊的原因不單是因?yàn)樗�的形式，也并不僅因?yàn)樗�在古代就存在；�?shù)學(xué)特殊的原因在于，數(shù)學(xué)的推理呈現(xiàn)了人類理性最純粹的展示。這種理性展示所構(gòu)成的證明，被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)引導(dǎo)人思考最重要的特質(zhì)。因?yàn)檫@個(gè)特質(zhì)呈現(xiàn)了人類的純粹思維，以及不屬于經(jīng)驗(yàn)世界的特性，使得在哲學(xué)發(fā)展的起初，數(shù)學(xué)就成為對(duì)抗變動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)世界最穩(wěn)固的展示。這個(gè)展示使得數(shù)學(xué)成為不變本質(zhì)的代名詞，也讓人以為數(shù)學(xué)代表一切理念的集合，也就是真理的代表。

這不但是一種很普遍的想法，也極有可能是一種錯(cuò)誤的想法。為什么？因?yàn)槲覀兓钤谑澜缰�，卻怎么會(huì)認(rèn)定一種與經(jīng)驗(yàn)無(wú)關(guān)的思維為真理呢？如果數(shù)學(xué)真是真理的話，那么這是否意味著，所有經(jīng)由經(jīng)驗(yàn)所呈現(xiàn)的，都不是真的？對(duì)于一般人而言，否定經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的想法可能是很荒謬的，可是所有涉獵西洋哲學(xué)史的人都知道，這正是以柏拉圖為主導(dǎo)的哲學(xué)學(xué)派之核心思想。以柏拉圖哲學(xué)在西洋哲學(xué)所占據(jù)的地位而言，這已經(jīng)算得上是“主流思想”，但更有趣的是，柏拉圖以接近“宗教”的方式，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的特性。當(dāng)然這個(gè)做法，也為數(shù)學(xué)增添些許神秘色彩。

沒(méi)有人知道，數(shù)學(xué)的神秘色彩對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展究竟起了什么作用，但數(shù)學(xué)成為科學(xué)發(fā)展的主軸，卻是不爭(zhēng)的事實(shí)。正是因?yàn)檫@個(gè)緣故，我們?cè)诂F(xiàn)代科學(xué)中的教育，也是以數(shù)學(xué)作為學(xué)校教授的主要科目。這是眾所周知的，但有沒(méi)有人想過(guò)，數(shù)學(xué)既然與我們的實(shí)際生活不甚關(guān)聯(lián)，卻為什么會(huì)成為教育的主要科目。難道我們受教育的目的，依然是古典時(shí)期那種脫離現(xiàn)實(shí)生活以追求“超越”的傳統(tǒng)嗎？這些問(wèn)題，讓我們不得不思考，我們教育中對(duì)于數(shù)學(xué)的重視，會(huì)不會(huì)是一個(gè)“迷思”的結(jié)果？

因?yàn)閿?shù)學(xué)教育所引發(fā)的問(wèn)題，讓我們不得不想如下的問(wèn)題：數(shù)學(xué)究竟有什么魔力，讓我們對(duì)于它的功能如此執(zhí)著？我們不得不提醒自己，在這一個(gè)充滿科技的21世紀(jì)，處處以數(shù)學(xué)作為科學(xué)的基礎(chǔ)，但它本身的成因卻是一個(gè)“謎團(tuán)”。我們甚至不知道數(shù)學(xué)有沒(méi)有一個(gè)固定的定義方式。這是一個(gè)大問(wèn)題，因?yàn)榧词刮覀儾粩嗟囟�且有意義地談?wù)摂?shù)學(xué)，但“數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)問(wèn)題，依然尚未獲得滿意的答案�？茖W(xué)哲學(xué)家哈金（I. Hacking）就針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，采用歷史譜系學(xué)的方法，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，找出一個(gè)令人驚訝的答案。

哈金為哲學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)的迷戀態(tài)度感到大惑不解。其中，最重要的哲學(xué)家就是羅素。羅素甚至極端地認(rèn)為，所有的哲學(xué)家都應(yīng)該延續(xù)康德的事業(yè)，回答“純粹數(shù)學(xué)如何可能”這個(gè)困難的問(wèn)題。哈金坦言，羅素這樣說(shuō)是夸大其詞，因?yàn)橹挥胁糠值恼軐W(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)展現(xiàn)了高度興趣。是什么力量讓這么多重量級(jí)的哲學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)如此感興趣？哈金認(rèn)為，最重要的理由，就是數(shù)學(xué)證明。

哈金的想法說(shuō)明了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也指出了哲學(xué)家的迷惘，當(dāng)然也包含我們的迷惘�？墒�，哲學(xué)家一直不能理解，理性的起源，居然是神秘的，甚至是神圣的（奧古斯�。�。所以，哈金以追溯歷史的方式，在古希臘的源頭找到這個(gè)問(wèn)題的起源。他找到的答案，就是柏拉圖。柏拉圖是我們現(xiàn)在深受“以證明為主的數(shù)學(xué)模式”所吸引的代理人。柏拉圖的理念，影響了后來(lái)的跟隨者，引導(dǎo)人們進(jìn)一步創(chuàng)造一些迷人的數(shù)學(xué)概念，比方“展示”、“模型”、“證明”、“計(jì)算”、“形式主義”、“抽象化”。

為什么這些概念會(huì)“迷人”呢？答案就在于那些“必然如此”的感覺(jué)。這一問(wèn)一答之間，我們可以看得出來(lái)，這件事情，幾乎可以用“美麗的錯(cuò)誤”來(lái)形容。為什么？因?yàn)楸娝�周知的是，在人際交往中，真正吸引人注意與尊重的，往往多為修辭的字句與動(dòng)人的語(yǔ)言。在古希臘社會(huì)中，注重語(yǔ)言能力這件事尤其重要，代表一個(gè)人能力的展現(xiàn)。事實(shí)上，希臘的數(shù)學(xué)成就對(duì)希臘人來(lái)說(shuō)是無(wú)關(guān)緊要的。對(duì)于擁有高度文化素養(yǎng)的人來(lái)說(shuō)，重要的是醫(yī)學(xué)、法律、修辭學(xué)、政治學(xué)、倫理學(xué)和歷史，而不是數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)教育的影響

著名的美國(guó)實(shí)用主義哲學(xué)家皮爾斯（C. S. Peirce）說(shuō)，數(shù)學(xué)有兩個(gè)不為人知的特色：第一，數(shù)學(xué)不同于所有其他的科學(xué)，所有其他的科學(xué)都可能因?yàn)樗�所研究的�?duì)象的消失而消失，但純粹的數(shù)學(xué)沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗�不研究任何�?shí)質(zhì)的對(duì)象。甚至我們可以說(shuō)，不研究任何實(shí)質(zhì)的對(duì)象正是數(shù)學(xué)之所以是數(shù)學(xué)的原因。另一個(gè)特色是，數(shù)學(xué)完全不需要訴諸于哪一種邏輯。這也許會(huì)讓人覺(jué)得很意外，因?yàn)橥ǔＮ覀儠?huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一個(gè)推理的科學(xué)，而推理往往是需要透過(guò)邏輯來(lái)進(jìn)行的。有趣的是，正是因?yàn)橥评肀旧聿⒉恍枰�說(shuō)明我們?yōu)楹味�得推理，就像說(shuō)我們知道能夠發(fā)出一個(gè)母音的聲音的人，并不需要說(shuō)明為什么，他知道如何發(fā)出一個(gè)母音，數(shù)學(xué)也是如此。沒(méi)有哪一種邏輯可以完全涵蓋我們思考與推理的能力。

數(shù)學(xué)所需要的是最自然的推理能力。因?yàn)檫@個(gè)緣故，數(shù)學(xué)是一個(gè)純粹思考的產(chǎn)物；數(shù)學(xué)所應(yīng)用的推理能力，基本上不僅是一個(gè)天生的能力，也是一種因人而異的能力。這兩種能力在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教育中，出現(xiàn)了一種與柏拉圖在《美諾（meno）篇》中的想法截然相反的結(jié)果：我們的數(shù)學(xué)能力基本上是一個(gè)因人而異，而且不受外在環(huán)境影響的能力。這種能力的發(fā)展，導(dǎo)致我們教育中三個(gè)很特別的現(xiàn)象。

首先，我們所學(xué)習(xí)的事物當(dāng)中，在推理跟事實(shí)之間有兩種截然不同性質(zhì)的教育對(duì)象。事實(shí)的學(xué)習(xí)，是要透過(guò)語(yǔ)言能力的聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)，而數(shù)學(xué)的能力完全是仰仗于內(nèi)在的智力，跟聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)等語(yǔ)言能力，沒(méi)有必然的關(guān)系。

其次，從學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)而言，真正擁有數(shù)學(xué)推理能力的人，可以在不費(fèi)特別功夫的情況下，只需了解定理與公式，就可以進(jìn)行推理的運(yùn)算。而這種運(yùn)算能力對(duì)于沒(méi)有這種推理能力的人而言，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中構(gòu)成極大的差別，尤其是反映在成績(jī)的高低之上。

最后，這種差別出現(xiàn)了一個(gè)意想不到的結(jié)果，就是數(shù)學(xué)能力較佳者的學(xué)習(xí)過(guò)程，必然與其他人不同。因?yàn)楫?dāng)其他人需要透過(guò)寫(xiě)作以及朗誦的方式來(lái)加深印象時(shí)，數(shù)學(xué)推理能力強(qiáng)的人，往往是透過(guò)一種內(nèi)在的、理性的，甚至神秘的聲音，告訴他自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要什么樣的能力，以及能夠達(dá)到怎樣的成效。在一種比較的眼光下可以說(shuō)，數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的人，往往語(yǔ)言的能力反而會(huì)因?yàn)檫^(guò)度強(qiáng)調(diào)思考，而受到內(nèi)在理性的壓抑，認(rèn)為“多說(shuō)無(wú)益”，不如“一次證明”。這種壓抑不是來(lái)自于體制，而是來(lái)自于體制與個(gè)人思維的結(jié)合。

毫無(wú)疑問(wèn)，這種現(xiàn)象反映在我們現(xiàn)今的教育成果中，帶來(lái)了負(fù)面的影響，表現(xiàn)為如下三點(diǎn)。

首先，數(shù)學(xué)獨(dú)大，其他的學(xué)科在與數(shù)學(xué)相較下，因?yàn)槿狈Ρ容^的標(biāo)準(zhǔn)，而失去了學(xué)習(xí)的意義與動(dòng)機(jī)。

其次，普遍的語(yǔ)言能力下降，導(dǎo)致優(yōu)美的文字與表達(dá)變成了次級(jí)的學(xué)習(xí)對(duì)象。

最后，人文精神的消失。因?yàn)楠?dú)重?cái)?shù)學(xué)的結(jié)果，尤其是透過(guò)數(shù)學(xué)科學(xué)化而強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的結(jié)果，往往是用一種非常實(shí)際的方式，落實(shí)數(shù)學(xué)中的抽象概念。數(shù)學(xué)化后的科技固然會(huì)帶來(lái)生活上的便利，但是很遺憾，科技的唯物論本質(zhì)，也會(huì)直接或間接消弭數(shù)學(xué)的抽象特性，使得原先一向講求想象力與推理能力的學(xué)科，變成一項(xiàng)與自然世界結(jié)合的工具理性。加上唯物論的推波助瀾，這種工具理性最終必然導(dǎo)致人文精神的下降。原因是，在唯物的世界中，人的地位與其他的萬(wàn)事萬(wàn)物沒(méi)有不同，都是由最簡(jiǎn)單的粒子所構(gòu)成的。我們必須認(rèn)識(shí)到，這不是數(shù)學(xué)本身的錯(cuò)，而是人們以誤導(dǎo)的觀念看待數(shù)學(xué)所造成的結(jié)果。

未來(lái)展望

這些結(jié)果之中，有的導(dǎo)致現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，也有的滿足人們長(zhǎng)期追求真理的欲望。整體而言，這些結(jié)果發(fā)展得相當(dāng)成功，以致于許多人認(rèn)為“數(shù)學(xué)代表真理”。本文對(duì)于這個(gè)認(rèn)知提出質(zhì)疑，認(rèn)為數(shù)學(xué)不但不能代表真理，甚至認(rèn)為這個(gè)觀念根本就是錯(cuò)誤的。經(jīng)過(guò)一個(gè)歷史式的論述，本文認(rèn)為這是一個(gè)自我設(shè)限的觀念，完全無(wú)助于人文精神的發(fā)揚(yáng)，也有害于教育平等的目標(biāo)。以現(xiàn)今教育體制對(duì)數(shù)學(xué)的重視，我們認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)有正確的認(rèn)知是極其重要的。在正確的認(rèn)知下，教育應(yīng)該注意如下三項(xiàng)重點(diǎn)。

首先，教育的目標(biāo)是為了提振人的精神，因?yàn)槿丝偸瞧诖�能夠在教育的過(guò)程中獲得養(yǎng)成的機(jī)會(huì)。

其次，過(guò)度強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的教育，往往會(huì)在數(shù)學(xué)與自然世界結(jié)合的情況下，不知不覺(jué)地將人文社會(huì)帶入唯物主義的環(huán)境中，最終導(dǎo)致人文精神的挫折，社會(huì)發(fā)展的物化。

最后，數(shù)學(xué)的本質(zhì)并不是可以用規(guī)則表示的邏輯，而是人與生俱有的推理能力。因此在這個(gè)情況中，我們不必對(duì)數(shù)學(xué)究竟是什么而感到焦慮，我們只要注意任何人都應(yīng)當(dāng)具有數(shù)學(xué)推理的能力。沒(méi)有人應(yīng)該在受教育的過(guò)程中因?yàn)閿?shù)學(xué)推理能力不佳，而感到沮喪與挫折。