2.3 函數(shù)的奇偶性
典例精析 題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)＝； (2)f(x)＝ 【解析】(1)由 得定義域為(－1,0)∪(0,1)， 這時f(x)＝＝－， 因為f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù). (2)當x＜0時，－x＞0，則 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)， 當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)， 所以對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都 有f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù). 【點撥】判斷函數(shù)的奇偶性時，應先確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，再分析 f(－x)與f(x)的關系，必要時可對函數(shù)的解 析式進行化簡變形. 【變式訓練1】(2010廣東)若函數(shù)f(x)＝3x＋ 與g(x)＝3x－ 的定義域均為R，則( ) A. f (x)與g(x)均為偶函數(shù) B. f (x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù) C. f (x)與g(x)均為奇函數(shù) D. f (x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù) 【解析】B. 題型二 由奇偶性的條件求函數(shù)的解析式 【例2】若函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，求f(x)的解析式. 【解析】因為函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)， 所以f(0)＝0，從而得m＝0. 又f()＋f(－)＝0，解得n＝0. 所以f(x)＝(－1＜x＜1). 【變式訓練2】已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，求a，b的值. 【解析】因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ . 又由f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. 題型三 函數(shù)奇偶性的應用 【例3】設函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)； (2)求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)； (3)在區(qū)間[－4,4]上，求f(x)的最值. 【解析】(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (2)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 又x＞0時，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)， 所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). (3)因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)， 所以f(x)在區(qū)間[－4,4]上也是增函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)， 因為f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12， 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－4)＝－f(4)＝－12， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4,4]上的最大值為12，最小值為－12. 【點撥】函數(shù)的最值問題，可先通過判斷函數(shù)的奇偶性、單調性，再求區(qū)間上的最值. 【變式訓練3】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝ 則f(－1)＝ ，f(33)＝ . 【解析】4；－2. 總結提高 1.判定函數(shù)的奇偶性時，應先確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系，必要時可對函數(shù)解析式進行化簡變形. 2.判定函數(shù)的奇偶性時，有時可通過其等價形式：f(－x)±f(x)＝0或＝±1 (f(x)≠0)進行處理. 3.奇偶性與單調性、不等式相結合的問題，要注意數(shù)形結合求解. 2.4 二次函數(shù) 典例精析 題型一 求二次函數(shù)的解析式 【例1】已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝－2，在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為2，求f(x)的解析式. 【解析】設f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有 解得a＝，b＝2，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1. 【點撥】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)男问�，三種形式可以相互轉化，若二次函數(shù)圖象與x軸相交，則兩點間的距離為x1－x2＝. 【變式訓練1】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象過點A(c,0)，且關于直線x＝2對稱，則這個二次函數(shù)的解析式是 . 【解析】由已知x＝c為它的一個根，故另一根為1. 所以1＋b＋c＝0，又－＝2?b＝－4，所以c＝3. 所以f(x)＝x2－4x＋3. 題型二 二次函數(shù)的最值 【例2】已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1,3). (1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等實根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍. 【解析】(1)因為f(x)＋2x＞0的解集為(1,3). 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.① 由f(x)＋6a＝0?ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，② 由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0?5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－. 因為a＜0，所以a＝－，代入①得f(x)＝－x2－x－. (2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－， 又a＜0，可得[f(x)]max＝－. 由 ?a＜－2－或－2＋＜a＜0. 【點撥】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法. 【變式訓練2】已知二次函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3和最小值2，則m的取值范圍是 . 【解析】[1,2]. 題型三 二次函數(shù)在方程、不等式中的綜合應用 【例3】設函數(shù) f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，對于方程f(x)＝[ f(x1)＋f(x2)]，求證： (1)方程在區(qū)間(x1，x2)內必有一解； (2)設方程在區(qū)間(x1，x2)內的根為m，若x1，m－，x2成等差數(shù)列，則－＜m2. 【證明】(1)令g(x)＝f(x)－[ f(x1)＋f(x2)]， 則g(x1)g(x2)＝[ f(x1)－f(x2)] [ f(x2)－f(x1)]＝－ [ f(x1)－f(x2)]2＜0， 所以方程g(x)＝0在區(qū)間(x1，x2)內必有一解. (2)依題意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1， 又f(m)＝[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c. 整理得a(2m2－x－x)＋b(2m－x1－x2)＝0， a(2m2－x－x)＋b＝0， 所以－＝m2－＜m2. 【點撥】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布問題，一般情況下，需要從三個方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點對應二次函數(shù)的函數(shù)值的正負；③相應二次函數(shù)的對稱軸x＝－與區(qū)間的位置關系. 【變式訓練3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的兩根(α＜β)，則實數(shù)α，β，a，b大小關系為( ) A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 【解析】A. 總結提高 1.二次函數(shù)的表達式有多種形式，形 式的選擇要依據(jù)題目的已知條件和所求結論的特征而定. 2.利用二次函數(shù)的知識解題始終要把握二次函數(shù)圖象的關鍵要素：①開口方向；②對稱軸；③與坐標軸的交點. 3.二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，相互滲透，解題時要注意三者的相互轉化，重視用函數(shù)思想處理方程和不等式問題.
2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
典例精析 題型一 指數(shù)及其運算 【例1】計算： (1) ； (2)(0.027) －(－)－2＋(2) －(－1)0. 【解析】(1)原式＝ ? ? ? ? ＝. (2)原式＝( －(－1)－2()－2＋( －1 ＝－49＋－1＝－45. 【點撥】進行指數(shù)的乘除運算時，一般先化成相同的底數(shù). 【變式訓練1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的兩根，求 － 的值. 【解析】a＋b＝，ab＝1. 原式＝2 ＝2(ab) ＝2. 題型二 指數(shù)函數(shù)性質的應用 【例2】已知函數(shù)f(x)＝，其中x∈R. (1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)證明f(x)是R上的增函數(shù). 【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為x∈R， 且f(－x)＝ ＝＝－f(x)， 所以f(x)為R上的奇函數(shù). (2)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝ － = ＜0， 所以f(x)是R上的增函數(shù). 【點撥】在討論指數(shù)函數(shù)的性質或利用其性質解題時，要特別注意底數(shù)是大于1還是小于1，如果不能確定底數(shù)的范圍應分類討論. 【變式訓練2】函數(shù)y＝的圖象大致為( ) 【解析】A. 題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應用 【例3】已知函數(shù)f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】f(x)＝2x－＝ (1)因為f(x)＝2，所以2x－＝2. 因為x≥0，所以2x＝1＋，解得x＝log2(1＋). (2)因為t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化為2t(22t－)＋m(2t－)≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1). 因為22t－1＞0，所以上式可化為m≥－(22t＋1). 又因為－(22t＋1)的最大值為－5，所以m≥－5. 故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立的實數(shù)m的取值范圍是[－5，＋∞). 【變式訓練3】已知函數(shù)f(x)＝2x－1，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，則下列結論中 一定成立的是( ) A.a＜0，b＜0，c＜0 B.a＜0，b≥0，c＞0 C.2－a＜2c D.2a＋2c＜2 【解析】D. 總結提高 1.增強分類討論的意識，對于根式的意義及其性質要分清n是奇數(shù)，還是偶數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質與底數(shù)a的取值范圍有關，研究與指數(shù)函數(shù)有關的問題時，要注意分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論. 2.深化概念的理解與應用，對于分數(shù)指數(shù)冪中冪指數(shù)為負數(shù)的情形，要注意底數(shù)a的取值限制. 3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，能利用數(shù)形結合的思想解決有關問題.
2.6 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
典例精析 題型一 對數(shù)的運算 【例1】計算下列各題： (1)2(lg)2＋lg lg 5＋； (2). 【解析】 (1)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2lg 5＋ ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1. (2)原式＝＝＝1. 【點撥】運用對數(shù)的運算性質以及式子的恒等變形. 【變式訓練1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3為 . 【解析】由 ?lg 3＝. 題型二 對數(shù)函數(shù)性質的應用 【例2】設函數(shù)f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1). (1)求函數(shù)f(x)經(jīng)過的定點坐標； (2)討論函數(shù)f(x)的單調性； (3)解不等式log3(x－2)＜1. 【解析】(1)當x＝3時，loga1＝0恒成立，所以函數(shù)f(x)所經(jīng)過的定點坐標為(3,0). (2)當a＞1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上為單調遞增函數(shù)；當0＜a＜1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上為單調遞減函數(shù). (3)不等式log3(x－2)＜1等價于不等式組 解得2＜x＜5，所以原不等式的解集為(2,5). 【變式訓練2】已知函數(shù)f(x)＝ 若f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為 . 【解析】要保證函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，則分段函數(shù)應該在各自定義域內分別單調遞增.若f(x)＝(a－2)x－1在區(qū)間(－∞，1]上單調遞增，則a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增，則a＞1.另外要保證函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增還必須滿足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故實數(shù)a的取值范圍為2＜a≤3. 題型三 對數(shù)函數(shù)綜合應用 【例3】已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax). (1)當x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由. 【解析】(1)由題設知3－ax＞0對一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1. 因為a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上為減函數(shù)， 從而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜， 所以a的取值范圍為(0,1)∪(1，). (2)假設存在這樣的實數(shù)a，由題設知f(1)＝1， 即loga(3－a)＝1，所以a＝， 此時f(x)＝ (3－x). 當x＝2時，f(x)沒有意義，故這樣的實數(shù)不存在. 【點撥】這是一道探索性問題，注意函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉化，存在性問題的處理，一般是先假設存在，再結合已知條件進行轉化求解，如推出矛盾，則不存在，反之，存在性成立. 【變式訓練3】給出下列四個命題： ①函數(shù)f(x)＝ln x－2＋x在區(qū)間(1，e)上存在零點； ②若f′(x0)＝0，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極值； ③若m≥－1，則函數(shù)y＝ (x2－2x－m)的值域為R； ④“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件. 則其中正確的序號是 (把全部正確命題的序號都填上). 【解析】因為f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，e)上存在零點，命題①正確；對于函數(shù)f(x)＝x3來說，f′(x)＝3x2，顯然有f′(0)＝0，但f(x)在定義域上為增函數(shù)，故x＝0不是函數(shù)的極值點，命題②錯誤；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，則Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正數(shù)，所以函數(shù) y＝ (x2－2x－m)的值域為R，命題③正確；由f(－x)＝－f(x)，可得＝－，解得a＝±1，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件為a＝±1，故 “a＝1”是“函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)”的充分不必要條件，所以命題④正確.綜上所述，正確的命題為①③④. 總結提高 1.熟練運用對數(shù)的運算公式是解決對數(shù)運算的基礎和前提，運用對數(shù)的運算法則，要注意各字母的取值范圍，同時，不要將積、商、冪、方根的對數(shù)與對數(shù)的積、商、冪、方根混淆起來. 2.研究對數(shù)問題時，要盡量化成同底，另外，研究對數(shù)問題時要注意對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制條件. 3.對數(shù)函數(shù)的重要性質是單調性，比較大小是單調性的重要運用，在比較時，通常利用函數(shù)的單調性或借助于中間量－1,0,1來比較，但要注意分類討論. 4.利用對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質討論一些函數(shù)的應用問題是�？碱}型，應注意數(shù)形結合、分類討論、化歸等數(shù)學思想方法的靈活運用.
2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象
典例精析 題型一 冪函數(shù)的圖象與性質 【例1】點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式； (2)問當x為何值時，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x). 【解析】(1)設f(x)＝xa，因為點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，將(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2. 設g(x)＝xb，因為點(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，將(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2. (2)在同一坐標系中作出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知： ①當x＞1或x＜－1時，g(x)＜f(x)； ②當x＝±1時，f(x)＝g(x)； ③當－1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x). 【點撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟： ①設出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝xa(a為常數(shù))； ②根據(jù)已知條件求出a的值； ③寫出冪函數(shù)的解析式. 本題的第(2)問采用了數(shù)形結合的思想，即在同一坐標系下畫出兩函數(shù)的圖象，借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1為分界點分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五種情況進行討論，也能得到同樣的結果. 【變式訓練1】函數(shù)f(x)＝(m2－m－1) 是冪函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時是減函數(shù)，求實數(shù)m. 【解析】因為f(x)為冪函數(shù)， 所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當m＝2時，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)； 當m＝－1時，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是減函數(shù). 所以m＝2. 題型二 作函數(shù)圖象 【例2】作下列函數(shù)圖象： (1)y＝1＋log2x； (2)y＝2x－1； (3)y＝x2－4. 【解析】(1)y＝1＋log2x的圖象是： (2)y＝2x－1的圖象是： (3)y＝x2－4的圖象是： 【變式訓練2】在下列圖象 中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝()x的圖象只可能是( ) 【解析】A. 題型三 用數(shù)形結合思想解題 【例3】已知f(x)＝x2－4x＋3. (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2) 求m的取值范圍，使方程f(x)＝mx有4個不同實根. 【解析】 遞增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)； 遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2,3). (2)設y＝mx與y＝f(x)有四個公共點，過原點的直線l與y＝f(x)有三個公共點，如圖所示.令它的斜率為k，則0＜m＜k. 由 ?x2＋(k－4)x＋3＝0.① 令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±2. 當k＝4＋2時，方程①的根x1＝x2＝－?(1,3)，舍去；當k＝4－2時，方程①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合題意.故0＜m＜4－2. 【點撥】(1)作出f(x)的圖象；(2)利用(1)的圖象，研究函數(shù)y＝mx與y＝f(x)的交點情況. 【變式訓練3】若不等式x2－logax＜0對x∈(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.0＜a＜1 B.≤a＜1 C.a＞1 D.0＜a≤ 【解析】原不等式為x2＜logax，設f(x)＝x2，g(x)＝logax，因為0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)內的圖象，如圖所示. 因為f()＝，所以A(，)，當g(x)圖象經(jīng)過點A時，＝loga?a＝，因為當x∈(0，)時，logax＞x2，g(x)圖象按如圖虛線位置變化，所以≤a＜1，故答案為B. 題型四 有關圖象的對稱問題 【例4】設函數(shù)f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的圖象為C1，C1關于點A(2,1)對稱的圖象為C2，C2對應的函數(shù)為g(x). (1)求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并確定其定義域； (2)若直線y＝b與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點的坐標. 【解析】(1)設P(u，v)是y＝x＋上任意一點，所以v＝u＋.① 設P關于A(2,1)對稱的點為Q(x，y)， 所以 ? 代入①得2－y＝4－x＋?y＝x－2＋. 所以g(x)＝x－2＋，其定義域為(－∞，4)∪(4，＋∞). (2)聯(lián)立方程得 ?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0， 所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，當b＝0時，交點為(3,0)；當b＝4時，交點為(5,4). 【變式訓練4】函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù).若f(0.5)＝9，則f(8.5)等于( ) A.－9 B.9 C.－3 D.0 【解析】因為f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函數(shù)f(x)的一個周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故應選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題，合理進行轉化是解題的關鍵. 總結提高 掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法――描點法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質，解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法，用數(shù)形結合思想、分類討論思想和轉化變換的思想分析解決數(shù)學問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個重要橋梁.應用函數(shù)圖象法解數(shù)學問題往往具有直觀易懂、運算量小的優(yōu)點，但用圖象法求變量的取值范圍時，要特別注意端點值的取舍和特殊情況. 2.8 函數(shù)與方程
典例精析 題型一 確定函數(shù)零點所在的區(qū)間 【例1】已知函數(shù)f(x)＝x＋log2x，問方程f(x)＝0在區(qū)間[，4]上有沒有實根，為什么？ 【解析】因為f ()＝＋log2＝－2＝－＜0， f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f() f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在區(qū)間[，4]是連續(xù)的， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[，4]上有零點，即存在c∈[，4]，使f(c)＝0， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間[，4]上有實根. 【點撥】判斷函數(shù)f(x)的零點是否在區(qū)間(a，b)內，只需檢驗兩條：①函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)不斷的；②f(a) f(b)＜0. 【變式訓練1】若x0是函數(shù)f(x)＝x＋2x－8的一個零點，則[x0](表示不超過x0的最大整數(shù))＝ . 【解析】因為函數(shù)f(x)＝x＋2x－8在區(qū)間(－∞，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調遞增函數(shù)，且f(2) f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點x0，所以[x0]＝2. 題型二 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 【例2】判斷下列函數(shù)的零點個數(shù). (1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)； (2)f(x)＝x－4＋log2x. 【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有兩個不同的零點. (2)因為函數(shù)f(x)＝x－4＋log2x在區(qū)間(0，＋∞)上是連續(xù)不間斷的單調遞增函數(shù)，且f(2) f(3)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上存在唯一的零點. 【點撥】判斷函數(shù)的零點個數(shù)有以下兩種方法： (1) 方程f(x)＝0的根的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)； (2)函數(shù)f(x)與x軸的交點個數(shù)，即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)； 特殊情況下，還可以將方程f(x)＝0化為方程g(x)＝h(x)，然后再看函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的交點個數(shù). 【變式訓練2】問a為何值時，函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個零點，二個零點，一個零點？ 【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此時f(x)有極大值f(－1)＝2＋a，極小值f(1)＝－2＋a.由圖象(圖略)得知： 當－2＜a＜2時，函數(shù)f(x)有三個零點； 當a＝－2或a＝2時，函數(shù)f(x)有兩個零點； 當a＜－2或a＞2時，函數(shù)f(x)有一個零點. 題型三 利用導數(shù)工具研究函數(shù)零點問題 【例3】設函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a. (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)關于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個相異的零點，求a的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4. 由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由f′(x)＜0，得－2＜x＜. 故f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－2)、(，＋∞)， f(x)的遞減區(qū)間為(－2，). (2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0， 令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a. 所以g′(x)＝3x2＋4x－4. 由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(，＋∞)上遞增，在(－2，)上遞減，故g(x)在[－3， －2]和[，2)上為增函數(shù)，在[－2，]上為減函數(shù). 關于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三個不同的零點，則 解得－2＜a≤－1或3≤a＜4. 【點撥】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出極值點，再討論單調性；(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形，找到滿足題設的a的條件. 【變式訓練3】已知函數(shù)f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的兩個極值分別為f(x1)和f(x2)，若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內，則的取值范圍為( ) A.(－1，－) B.(－∞，)∪(1，＋∞) C.(，1) D.(，2) 【解析】因為f′(x)＝x2＋ax＋2b，由題意可知， 畫出a，b滿足的可行域，如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示，表示可行域內的點與點D(1,2)的連線的斜率，記為k，觀察圖形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝＝，kBD＝＝1，所以＜＜1，故選C. 總結提高 函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標，注意零點不是“點”，并不是所有的函數(shù)都有零點，或者說不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點.二分法是求一般函數(shù)零點的一種通法，但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學思想得到零點的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一個零點，二是在(a，b)內有零點時，未必f(a) f(b)＜0成立，三是二分法計算量較大，常要借助計算器完成.
2.9 函數(shù)模型及其應用
典例精析 題型一 運用指數(shù)模型求解 【例1】按復利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元，每期利率為2.25%，計算5期的本息和是多少？ 【解析】已知本金為a元， 1期后的本利和為y1＝a＋a×r＝a(1＋r)； 2期后的本利和為y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； 3期后的本利和為y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r ＝a(1＋r)3； ? ? x期后的本利和為y＝a(1＋r)x. 將a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上 式得 y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8， 所以5期后的本利和是11 176.8元. 【點撥】在實際問題中，常遇到有關平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，則總產(chǎn)值y與時間x的關系為y＝N(1＋p)x. 【變式訓練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a，已知月平均增長率為p，則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長的倍數(shù)是( ) A.(1＋p)12－1 B.(1＋p)12 C.(1＋p)11 D.12p 【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1＋p)12，去年十二月產(chǎn)值為a，故比去年增長了[(1＋p)12－1]a，故選A. 題型二 分段函數(shù)建模求解 【例2】在對口脫貧活動中，為了盡快脫貧(無債務)致富，企業(yè)甲經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣點以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙，并約定從該經(jīng)營利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費開支3600元后，逐步償還轉讓費(不計息). 在甲提供資料中有：①這種消費品的進價每件14元；②該店月銷售量Q(百件)與銷價p(元)關系如圖；③每月需各種開支2 000元. (1)試問為使該店至少能維持職工生活，商品價格應控制在何種范圍？ (2)當商品價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額； (3)企業(yè)乙只依靠該廠，最早可望幾年后脫貧？ 【解析】設該店月利潤額為L，則由假設 得 L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，① (1)當14≤p≤20時，由L≥0得18≤p≤20， 當20＜p≤26時，由L≥0得20＜p≤22， 故商店銷售價應控制在18≤p≤22之內. (2)當18≤p≤20時，L最大＝450元，此時，p＝19.5元. 當20＜p≤22時，L最大＝416元，此時，p＝20元. 故p＝19.5元時，月利潤最大余額為450元. (3)設可在n年內脫貧，依題意得 12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20， 即最少可望在20年后脫貧. 【點撥】解答這類題關鍵是要仔細審題，理解題意，建立相應數(shù)學模型，求解時，也可利用導數(shù)，此外要注意問題的實際意義. 【變式訓練2】國家稅務部門規(guī)定個人稿費的納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿費的11%納稅.某人出版了一本書，共納稅550元，問此人的稿費為多少元？ 【解析】設納稅y(元)時稿費為x(元)，則 由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000， 所以此人稿費為5 000元. 題型三 生活中的優(yōu)化問題 【例3】(2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最��？并求最小值. 【解析】(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝， 再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造費用為C1(x)＝6x. 最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去). 當0＜x＜5時，f′(x)＜0；當5＜x＜10，f′(x)＞0， 故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝6×5＋＝70. 當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元. 【點撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型，可由數(shù)據(jù)的變化情況對其單調性、對稱性和特定值進行判斷，也可以從所給的部分數(shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式，再由其他數(shù)據(jù)進一步判斷. 【變式訓練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應為x＝ ，y＝ . 【解析】如圖，由已知有＝， 即4x＋5y－120＝0， S＝xy＝(4x 5y)≤()2＝180. 所以 ?x＝15，y＝12. 總結提高 利用數(shù)學模型解決實際問題，運用數(shù)學建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實世界中不同的增長變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型，它們的增長存在很大的差異，如指數(shù)函數(shù)增長是指數(shù)“爆炸”，對數(shù)函數(shù)增長是逐步趨于平衡，而冪函數(shù)增長遠低于指數(shù)函數(shù)，因此建立恰當數(shù)學模型并利用所得函數(shù)模型解釋有關現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進行預測具有很強的現(xiàn)實意義.
函數(shù)的綜合應用
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