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數(shù)學試卷（文史類） 2019.1
（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出
符合題目要求的一項.
1.已知集合A{1,0,1},B{x1x1}，則AIB=
A．{0,1}

B．{1,0} C．{0} D．{1,0,1}
2. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在零點的是
A．f(x)
3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i值為
A．3 B．4 C．5 D．6
第3題圖
4．在一段時間內有2000輛車通過高速公路上的某處，現(xiàn)隨機抽取其中的200輛進行車速統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下面的頻率分布直方圖所示．若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h～120km/h，試估計2000輛車中，在這段時間內以正常速度通過該處的汽車約有 B．f(x)1 C．f(x)ex D．f(x)sinx x
1
A．30輛 B．300輛
C．170輛 D．1700輛
頻率 km/h）
第 4題圖
5. 已知m，n表示兩條不同的直線，，表示兩個不同的平面，且m，n,則下
列說法正確的是
A．若//，則m//n B．若m，則
C．若m//，則// D．若，則mn
6.設斜率為2的直線l過拋物線yax(a0)的焦點F,且與y軸交于點A,若OAF（O為坐標原點）的面積為4,則拋物線方程為
A.y24x B. y24x C. y28x D. y28x
7. 已知A,B為圓C:(xm)(yn)9(m,nR)上兩個不同的點（C為圓心），且滿

足|CACB|，則AB 222
A. 23 B. C. 2 D. 4
8. 設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在正實數(shù)m，使得對任意xD，當xmD時，都有f(xm)f(x)，則稱f(x)為D上的“m型增函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)xaa（aR），若f(x)為R上的“20型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是
A. a0 B. a20 C. a10 D. a5
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
9.計算:i(1i) (i為虛數(shù)單位).
y2
10. 雙曲線x1的漸近線方程為 3
111. 在ABC中，若BC1，AC2，cosC，則ABsinA. 42
2x

y

0112．已知正數(shù)x，y滿足約束條件，則z()2xy的最小值為. 2x3y50
13.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是.
俯視圖

側視圖
第13題圖
14. 在ABC中，ABAC，D為線段AC的中點，若BD的長為定值l，則ABC 面積的最大值為 （用l表示）

）.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15. （本小題滿分13分）
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b13，a2b214，a3a4a5b3．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cnanbn,nN*，求數(shù)列{cn}的前n項和．
16. （本小題滿分13分）

已知函數(shù)f(x)cos2xxcosxa的圖象過點(,1).
（Ⅰ）求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在[0,]上的最小值. 617. （本小題滿分13分）
某中學從高一年級、高二年級、高三年級各選1名男同學和1名女同學，組成社區(qū)服務小組．現(xiàn)從這個社區(qū)服務小組的6名同學中隨機選取2名同學，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）．
（Ⅰ）求選出的2人都是女同學的概率；
（Ⅱ）設 “選出的2人來自不同年級且是1名男同學和1名女同學”為事件N，求事件N發(fā)生的概率．
18. （本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PAAD，且平面PAD平
面ABCD，試證明AF平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段PB上是否存在點 AM,使得EM平面PCD?（直接給出結論，不
需要說明理由）
19. （本小題滿分13分）
k2x，kR. x
（Ⅰ）當k1時，求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程；
（Ⅱ）當ke時，試判斷函數(shù)f(x)是否存在零點,并說明理由；
（Ⅲ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間. 已知函數(shù)f(x)(2k1)lnx
20. （本小題滿分14分）
已知圓O:xy1的切線l與橢圓C:x3y4相交于A，B兩點.
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求證:OAOB；
（Ⅲ）求OAB面積的最大值.
2222
北京市朝陽區(qū)2018-2019學年度第一學期期末高三年級統(tǒng)一考試
數(shù)學答案（文史類） 2019.1
一、選擇題：（滿分40分）

4
二、填空題：（滿分30分）

（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答題：（滿分80分）
15. （本小題滿分13分）
解:（Ⅰ）設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，且q0.
依題意有，
a1db1q14, 23(a3d)bq.11
由a1b13,又q0，
解得q3, d2.
所以ana1(n1)d32(n1)2n1,即an2n1,nN.
bnb1qn133n13n,nN. „„„„„„„„„„„„„„„7分 （Ⅱ）因為cnanbn2n1᠄

3;3n,
所以前n項和Sn(a1a2an)(b1b2bn) 

(352n1)(31323n)
n

(32n1)3(13n)  213
3 n(n2)(3n1). 2
所以前n項和Snn(n2)
16. （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由f(x)cos2xxcosxa 3n(31),nN*．„„„„„„„„„„„„13分 21cos2xa 25sin(2x)
61
a. 2
6
11
所以f()sin(2)a1.解得a.
66622
函數(shù)f(x)的最小正周期為. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
因為函數(shù)f(x)的圖象過點(,1)， （Ⅱ）因為0x
，所以2x. 2

則sin(2x).

1
所以當2x，即x時，函數(shù)f(x)在[0,]上的最小值為. „„„„„13分
22
17.（本小題滿分13分）
解：從高一年級、高二年級、高三年級選出的男同學分別記為A，B，C，女同學分別記為
X，Y，Z．
從6名同學中隨機選出2人參加活動的所有基本事件為：
{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}， {C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15個． „„„„„4分 （Ⅰ）設“選出的2人都是女同學”為事件M，
則事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3個， 所以，事件M發(fā)生的概率 P(M)（Ⅱ）事件N包含的基本事件有
{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6個， 所以，事件N發(fā)生的概率 P(N)
31
．„„„„„„„„„„„„„„8分 155
62
． „„„„„„„

„„„„„„„13分 155
18. （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是正方形， 所以AB∥CD．
又因為AB平面PCD，CD平面PCD， 所以AB∥平面PCD．
又因為A,B,E,F四點共面，且平面
ABEF平面PCDEF，
所以AB∥EF．„„„„„„„„5分 （Ⅱ）在正方形ABCD中，CDAD．

6
第6 / 10頁
又因為平面PAD平面ABCD， 且平面PAD平面ABCDAD，
所以CD平面PAD．
又AF平面PAD 所以CDAF． 由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因為AB∥CD,所以CD∥EF.由點E是棱PC中點，所以點F是棱PD中點． 在△PAD中，因為PAAD，所以AFPD．
又因為PDCDD，所以AF平面PCD．„„„„„„„„„„„„„11分 （Ⅲ）不存在． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
19. （本小題滿分13分）
解：函數(shù)f(x)的定義域：x(0,).
2k1k2x2(2k1)xk(xk)(2x1)
f(x)22. 22
xxxx1
2x. x
(x1)(2x1)
f(x). 2
x
（Ⅰ）當k1時，f(x)lnx
有f(1)ln1123，即切點（1,3），
kf(1)
(11)(21)
2. 2
1
所以曲線yf(x)在點(1,f(1))處切線方程是y32(x1)，
即y2x1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
（Ⅱ）若ke，f(x)(2e1)lnx
f(x)
e
2x. x
(xe)(2x1)
.
x2
令f(x)0，得x1e（舍），

x2
1
. 7
第7 / 10頁
11e1
則f(x)minf()(2e1)ln22(1ln2)eln210.
2212
2
所以函數(shù)f(x)不存在零點.

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
(xk)(2x1)
.
x2
當k0，即k0時，
（Ⅲ） f(x)
當

0k
11
，即k0時， 當k
，即k時， 22 當k
11
，即k時，

22
8
第8 / 10頁
綜上，當k0時，f(x)的單調增區(qū)間是(,);減區(qū)間是(0,).
1212
111k0時，f(x)的單調增區(qū)間是(0,k),(,);減區(qū)間是(k,). 2221
當k時，f(x)的單調增區(qū)間是(0,);
211
當k時，f(x)的單調增區(qū)間是(0,)，(k,);
22
1
減區(qū)間是(,k). „„„„„„„„„„„13分
2
當
20. （本小題滿分14分）
2
解：（Ⅰ）由題意可知a4，b
2
48222
，所以cab． 33
所以e
c．所以橢圓C的離心率為 „„„„„„„„„„3分 
a33
（Ⅱ）若切線l的斜率不存在，則l:x1．
x23y21中令x1得y1． 在44

不妨設A(1,1),B(1,1)，則OAOB110．所以OAOB．
同理，當l:x1時，也有OAOB． 若切線l的斜率存在，設l:ykxm1，即k21m2．
由
ykxm222
，得(3k1)x6kmx3m40．顯然0． 22
x3y4
6km3m24
設A(x1,y1)，B(x2,y2),則x1x22，x1x2．
3k13k21
所以y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)m.
2
2
22
所以OAOBx1x2y1y2(k1)x1x2&

#61483;km(x1x2)m
9

第9 / 10頁
3m246km
(k1)2km2m2
3k13k1
2
(k21)(3m24)6k2m2(3k21)m2
 2
3k1
4m24k244(k21)4k240． 22
3k13k1
所以OAOB．
綜上所述，總有OAOB成立． „„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
（Ⅲ）因為直線AB與圓O相切，則圓O半徑即為OAB的高. 當l的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知AB2．則SOAB1. 當l的斜率存在時，由（Ⅱ）可知，

AB



 2
3k

1


 4(1k2)(9k21)4(9k410k21)4k2
所以AB4(14)
(3k21)29k46k219k6k21
2
k216416
44

4164
19k6k21332
9k26
k
（當且僅當k時，等號成立）．

所以ABmax

, (SOAB)max.

時，

OAB面積的最大值為．„„„„14分 33
綜上所述，當且僅當k