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橢圓是平面內(nèi)到定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的動點P的軌跡，下面是數(shù)學網(wǎng)整理的橢圓能力提升同步檢測，請考生及時練習。

一、選擇題

2.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標準方程是()

(A)+=1 (B)+=1

(C)+y2=1 (D)+=1

3.(安康模擬)若m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2+=1的離心率

是()

(A) (B) (C)或 (D)或

4.已知橢圓:+=1(0b0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P,F2為右焦點,若F1PF2=60,則橢圓的離心率為()

(A) (B) (C) (D)

6.(能力挑戰(zhàn)題)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點且與直線x-y+3=0有公共點的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是()

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

二、填空題

7.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么C的方程為.

8.已知點P是橢圓16x2+25y2=400上一點,且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF2的斜率為-4,則△PF1F2的面積是.

9.分別過橢圓+=1(a0)的左、右焦點F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點在此橢圓的內(nèi)部,則此橢圓的離心率的取值范圍是.

三、解答題

10.(西安模擬)在平面直角坐標系中,已知曲線C上任意一點P到兩個定點F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.

(1)求曲線C的方程.

(2)設過(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點,以線段AB為直徑作圓.

試問:該圓能否經(jīng)過坐標原點?若能,請寫出此時直線l的方程,并證明你的結論;若不能,請說明理由.

11.(渭南模擬)已知橢圓C:+=1(a0)的右頂點A為拋物線y2=8x的焦點,上頂點為B,離心率為.

(1)求橢圓C的方程.

(2)過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,若線段PQ的中點橫坐標是-,求直線l的方程.

12.(能力挑戰(zhàn)題)已知點P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點,點F2與點F1關于原點對稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點.

(1)求點M的軌跡C的方程.

(2)設軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A,B,點K是軌跡C上異于A,B的任意一點,KHx軸,H為垂足,延長HK到點Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D,N為DB的中點.試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系.

答案解析

1.【解析】選B.由題意得2a=2b,即a=b.

又a2=b2+c2,所以有b=c,a=c,得離心率e=.

2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.

知其半徑r=4,長軸長2a=4,a=2.

又e==,

c=1,b2=a2-c2=4-1=3,

橢圓的標準方程為+=1.

3.【解析】選C.因為m是2和8的等比中項，所以m2=16，所以m=4.當m=4時，圓錐曲線為橢圓x2+=1，離心率為，當m=-4時，圓錐曲線為雙曲線x2-=1，離心率為，綜上選C.

4.【解析】選D.由題意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因為|BF2|+|AF2|的最大值為5，所以|AB|的最小值為3，當且僅當ABx軸時，取得最小值，此時A(-c，)，B(-c，-)，代入橢圓方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，選D.

5.【解析】選B.由題意知點P的坐標為(-c,)或(-c,-),因為F1PF2=60,那么=,2ac=b2,這樣根據(jù)a,b,c的關系式化簡得到結論為.

6.【思路點撥】由于c=1,所以只需長軸最小,即公共點P,使得|PF1|+|PF2|最小時的橢圓方程.

【解析】選C.由于c=1,所以離心率最大即為長軸最小.

點F1(-1,0)關于直線x-y+3=0的對稱點為F(-3,2),

設點P為直線與橢圓的公共點,

則2a=|PF1|+|PF2|=|PF|+|PF2||FF2|=2.

取等號時離心率取最大值,

此時橢圓方程為+=1.

7.【解析】根據(jù)橢圓焦點在x軸上,可設橢圓方程為+=1(a0).

∵e=,=.根據(jù)△ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.

答案:+=1

8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因為x3,故舍去),

又點P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16()2+25y2=400,

解得y=2,

=|F1F2|y=62=6.

答案:6

9.【思路點撥】關鍵是由l1, l2的交點在此橢圓的內(nèi)部,得到a,b,c間的關系,進而求得離心率e的取值范圍.

【解析】由已知得交點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.

又點P在橢圓內(nèi)部,所以有c20,k2,②

則x1+x2=,x1x2=,代入①,得

(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,

k=2或k=-2,滿足②式.

所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2.

11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點為A(2,0),依題意可知a=2.

因為離心率e==,所以c=.

故b2=a2-c2=1,

所以橢圓C的方程為:+y2=1.

(2)直線l:y=kx+,

由

消去y可得(4k2+1)x2+

8kx+4=0,

因為直線l與橢圓C相交于P,Q,

所以=(8k)2-4(4k2+1)0,

解得|k|.

又x1+x2=,x1x2=,

設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點M(x0,y0),

因為線段PQ的中點橫坐標是-,

所以x0===-,

解得k=1或k=,

因為|k|,所以k=1,

因此所求直線l:y=x+.

12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0),

圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|,

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,

點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,其中長軸2a=4,焦距2c=2,

則短半軸b===1,

橢圓方程為:+ y2=1.

(2)設K(x0,y0),則+=1.

∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,

Q點在以O為圓心,2為半徑的圓上,即Q點在以AB為直徑的圓O上.

又A(-2,0),直線AQ的方程為y=(x+2).

令x=2,得D(2,).

又B(2,0),N為DB的中點,N(2,).

=(x0,2y0),=(x0-2,).

=x0(x0-2)+2y0=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,

,直線QN與以AB為直徑的圓O相切.

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