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空間圖形推理一直以來(lái)都是難點(diǎn)，以下是空間圖形的位置關(guān)系提分專練，請(qǐng)考生認(rèn)真做題。

一、選擇題

1.若點(diǎn)P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則()

A.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行

B.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直

C.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交

D.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面

答案：B 命題立意：本題考查異面直線的幾何性質(zhì)，難度較小.

解題思路：因?yàn)辄c(diǎn)P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直，故選B.

2.如圖，P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()

A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直

D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直

答案：A 解題思路： DAAB，DAPA，ABPA=A，

DA平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面PAB.同理可證平面PAB平面PBC.把四棱錐P-ABCD放在長(zhǎng)方體中，并把平面PBC補(bǔ)全為平面PBCD1，把平面PAD補(bǔ)全為平面PADD1，易知CD1D即為兩個(gè)平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，

CD1D，故平面PAD與平面PBC不垂直.

3.設(shè)，分別為兩個(gè)不同的平面，直線l，則l是成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A 命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系的判定與充分必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力.

解題思路：依題意，由l，l可以推出反過(guò)來(lái)，由，l不能推出l.因此l是成立的充分不必要條件，故選A.

4.若m，n為兩條不重合的直線，，為兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是()

A.若m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線

B.若m，n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線

C.已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，則n

D.m，n在平面內(nèi)的射影互相垂直，則m，n互相垂直

答案：B 解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關(guān)系.在A中：因?yàn)槠叫杏谕�一平面的兩直線可以平行，相交，異面，故A為假命題;在B中：因?yàn)榇怪庇谕�一平面的兩直線平行，故B為真命題;在C中：n可以平行于，也可以在內(nèi)，也可以與相交，故C為假命題;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D為假命題.故選B.

5.如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)的軌跡的面積為()

A.4

C.

答案：

D 解題思路：本題考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.如圖可知，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接ND，由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)P為NM的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得，不論MDN如何變化，點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離始終等于1.故點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的球面，其面積為.

技巧點(diǎn)撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問(wèn)題，要善于把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運(yùn)用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識(shí)去求解，實(shí)現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過(guò)渡.

6.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：

直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.1 B.1

C. 3D.4

答案：

B 解題思路：本題考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，直線BE與直線CF是異面直線，不正確，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA與PD的中點(diǎn)，可知EFAD，所以EFBC，直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面直線，滿足異面直線的定義，正確;直線EF平面PBC，由E，F(xiàn)是PA與PD的中點(diǎn)，可知EFAD，所以EFBC，因?yàn)镋F平面PBC，BC平面PBC，所以判斷是正確的;由題中條件不能判定平面BCE平面PAD，故不正確.故選B.

技巧點(diǎn)撥：翻折問(wèn)題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來(lái)，然后考查立體幾何的常見問(wèn)題：垂直、角度、距離、應(yīng)用等問(wèn)題.此類問(wèn)題考查學(xué)生從二維到三維的升維能力，考查學(xué)生空間想象能力.解決該問(wèn)題時(shí)，不僅要知道空間立體幾何的有關(guān)概念，還要注意到在翻折的過(guò)程中哪些量是不變的，哪些量是變化的.

二、填空題

7.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30，則異面直線BC與AE所成角的大小為________.

答案：45 解題思路：因?yàn)锽CAD，所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.

因?yàn)槠矫鍭BCD平面CEFB，且ECCB，

所以EC平面ABCD.

在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.

在AED中，AED=30，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.

又因?yàn)镋AD(0，90)，所以EAD=45.

故異面直線BC與AE所成的角為45.

8.給出命題：

異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;

兩異面直線a，b，如果a平行于平面，那么b不平行于平面

兩異面直線a，b，如果a平面，那么b不垂直于平面

兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線.

上述命題中，真命題的序號(hào)是________.

答案： 解題思路：本題考查了空間幾何體中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.根據(jù)異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個(gè)平面，故命題為假命題;若b，則ab，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題為真命題;兩條異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點(diǎn)一直線，故命題為假命題.

9.如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個(gè)正六棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，則該正六棱錐的體積的最大值為________.

答案：16 命題立意：本題以球的內(nèi)接組合體問(wèn)題引出，綜合考查了棱錐體積公式、利用導(dǎo)數(shù)工具處理函數(shù)最值的方法，同時(shí)也有效地考查了考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力.

解題思路：設(shè)球心到底面的距離為x，則底面邊長(zhǎng)為，高為x+3，正六棱錐的體積V=(9-x2)6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中03，則V=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

10.已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，則三棱錐與球的體積之比為________.

答案： 命題立意：本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計(jì)算方法，意在考查考生的空間想象能力與基本運(yùn)算能力.

解題思路：依題意，AB=2R，又=，ACB=90，因此AC=R，BC=R，三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=POSABC=RRR=R3.而球的體積V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.

三、解答題

11.如圖，四邊形ABCD與AABB都是正方形，點(diǎn)E是AA的中點(diǎn)，AA平面ABCD.

(1)求證：AC平面BDE;

(2)求證：平面AAC平面BDE.

解題探究：第一問(wèn)通過(guò)三角形的中位線證明出線線平行，從而證明出線面平行;第二問(wèn)由AA與平面ABCD垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明出BD與平面AAC垂直，從而得到平面與平面垂直.

解析：(1)設(shè)AC交BD于M，連接ME.

四邊形ABCD是正方形，

M為AC的中點(diǎn).

又 E為AA的中點(diǎn)，

ME為AAC的中位線，

ME∥AC.

又 ME平面BDE，

AC平面BDE，

AC∥平面BDE.

(2)∵ 四邊形ABCD為正方形， BDAC.

∵ AA平面ABCD，BD平面ABCD，

AABD.

又ACAA=A， BD平面AAC.

BD平面BDE，

平面AAC平面BDE.

12.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.

(1)求證：D1CAC1;

(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說(shuō)明理由.

命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過(guò)已知條件中的線線垂直關(guān)系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關(guān)系.并通過(guò)線段的長(zhǎng)度關(guān)系，借助題目中線段的中點(diǎn)和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)作圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造.

解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接C1D， DC=DD1，

四邊形DCC1D1是正方形，

DC1D1C.

又ADDC，ADDD1，DCDD1=D，

AD平面DCC1D1，

又D1C平面DCC1D1，

ADD1C.

∵ AD平面ADC1，DC1平面ADC1，

且ADDC1=D，

D1C平面ADC1，

又AC1平面ADC1，

D1CAC1.

(1)題圖

(2)題圖

(2)連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1A1D=M，BDAE=N，連接MN.

平面AD1E平面A1BD=MN，

要使D1E平面A1BD，

可使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，

則N是AE的中點(diǎn).

又易知ABN≌△EDN，

AB=DE.

即E是DC的中點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.

13.已知直三棱柱ABC-ABC滿足BAC=90，AB=AC=AA=2，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn).

(1)證明：MN平面AACC

(2)求三棱錐C-MNB的體積.

命題立意：本題主要考查空間線面位置關(guān)系、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí).意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

解析：(1)證明：如圖，連接AB，AC，

四邊形ABBA為矩形，M為AB的中點(diǎn)，

AB與AB交于點(diǎn)M，且M為AB的中點(diǎn)，又點(diǎn)N為BC的中點(diǎn).

MN∥AC.

又MN平面AACC且AC平面AACC，

MN∥平面AACC.

(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN，

BAC=90， BC==2，

又三棱柱ABC-ABC為直三棱柱，且AA=4，

S△BCN=24=4.

AB=AC=2，BAC=90，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，

ANBC，AN=.

又BB平面ABC，

ANBB，

AN平面BCN.

又M為AB的中點(diǎn)，

M到平面BCN的距離為，

VC-MNB=VM-BCN=4=.

14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

命題立意：本題主要考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理以及棱錐的體積的計(jì)算等，意在考查考生的邏輯推理能力與計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解析：(1)證明：在ABD中，因?yàn)锳D=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD平面PAD，

又BD平面MBD，

所以平面MBD平面PAD.

(2)過(guò)點(diǎn)P作OPAD交AD于點(diǎn)O，

因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，

所以PO平面ABCD.

因此PO為四棱錐P-ABCD的高.

又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

所以PO=4=2.

在四邊形ABCD中，ABDC，AB=2DC，

所以四邊形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為=，此即為梯形ABCD的高.

所以四邊形ABCD的面積S==24.

故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=242=16.

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