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幾何概型
使用說明：此教案旨在幫助教師理解幾何概型的基礎(chǔ)上設(shè)置的，從概念的分析，到例題的設(shè)置需要教師花心思針對學(xué)生情況重新組織，很多例題需要配套使用，效果更好。
一．正確區(qū)分古典概型與幾何概型
題組一：1．在區(qū)間[0，10]上任意取一個(gè)整數(shù) ，則 不大于3的概率為： 。
2．在區(qū)間[0，10]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù) ，則 不大于3的概率為： 。
分析：此題組中，問題1因?yàn)榭偟幕�本事件是[0，10]內(nèi)的全部整數(shù)，所以基本事件總數(shù)為有限個(gè)11，而不大于3的基本事件有4個(gè)，此問題屬于古典概型，所以所求概率為 。問題2中，因?yàn)榭偟幕�本事件是[0，10]內(nèi)的全部實(shí)數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個(gè)，此問題屬于幾何概型，事件對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應(yīng)區(qū)間[0，10]長度為10，而事件“不大于3”對應(yīng)區(qū)間[0，3]長度為3，所以所求概率為 。
此題組中的兩個(gè)問題，每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生的，但是問題1中的總基本事件是有限個(gè)，屬于古典概型；而問題2中的總基本事件是無限個(gè)，屬于幾何概型；可見古典概型與幾何概型有聯(lián)系也有區(qū)別，但在實(shí)際解決問題中，關(guān)鍵還在于正確區(qū)分古典概型與幾何概型。
二．準(zhǔn)確分清幾何概型中的測度
題組二：1．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<300的概率。
2．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<300的概率。

分析：此題組中的兩個(gè)問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣。問題1的測度定性為線段長度，當(dāng)∠CAM0=300時(shí)， ，合條件的點(diǎn)M等可能的分布在線段 上，所以所求概率等于 。而問題2的測度定性為角度，過點(diǎn)A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=450，所以所求概率等于 。
此題組中的兩個(gè)問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，在解決時(shí)考察和計(jì)算的結(jié)果也不一致。可見在解決幾何概型問題時(shí)，要認(rèn)真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題。

知識鞏固：
下列概率問題中哪些屬于幾何概型？
(1)從一批產(chǎn)品中抽取30件進(jìn)行檢查,有5件次品，求正品的概率。
(2)隨機(jī)地向四方格里投擲硬幣50次，統(tǒng)計(jì)硬幣正面朝上的概率。
(3)箭靶的直徑為1m，其中，靶心的直徑只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率為多少？
(4)甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)才可離去，求兩人能會面的概率。

對比古典概型和幾何概型的特點(diǎn)，判斷（1）、（3）屬于古典概型；（2）、（4）屬于幾何概型。

例題1：⑴ 某人午睡醒后，發(fā)現(xiàn)表停了，于是打開收音機(jī)等候整點(diǎn)報(bào)時(shí)，那么等待時(shí)間不多于10分鐘的概率是多大？1）這是什么概型，為什么？(幾何概型）
2）借助什么樣的幾何圖形來表示隨機(jī)事件與所有基本事件？
（圓或線段）
3）該如何建立數(shù)學(xué)模型？
解：設(shè)A=“等待時(shí)間不超過10分鐘”,則 或


⑵某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率。
分析：某人醒來在整點(diǎn)間即60分鐘是隨機(jī)的，等待的時(shí)間不多于10分鐘可以看作構(gòu)成事件的區(qū)域，整點(diǎn)即60分鐘可以看作所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此本題的變量可以看作是時(shí)間的長度，于是可以通過長度比公式計(jì)算其概率。
可設(shè)“等待的時(shí)間不多于10分鐘”這一事件記作事件A，則
；
顯然這是一個(gè)與長度有關(guān)的幾何概型問題，問題比較簡單，學(xué)生也易于理解。
問題拓展：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，則表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù)差異不超過5分鐘的概率為多少？
分析：本題的特點(diǎn)在于學(xué)生易犯固定思維的錯(cuò)誤，習(xí)慣性的用上題中的時(shí)間長度之比來解決，得到錯(cuò)誤的答案 。學(xué)生錯(cuò)誤的原因在于沒有科學(xué)的認(rèn)識題中的變量。本題中包含了兩個(gè)變量，一個(gè)是手表停的分鐘數(shù)，可以在[0，60]內(nèi)的任意時(shí)刻，另一個(gè)變量是實(shí)際分鐘數(shù)，也可以在[0，60]內(nèi)的任意時(shí)刻。所以本題的解決應(yīng)以 軸和 軸分別表示手表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù)，那么差異不超過5分鐘的充要條件是 ，從而可以繪制坐標(biāo)軸，數(shù)形結(jié)合，得到結(jié)果。
由于 的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，



差異不超過5分鐘由圖中陰影部分所表示，
記“差異不超過5分鐘”為事件
因此,差異不超過5分鐘的概率 。


例題2：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)。從外向內(nèi)分為白色、黑色、藍(lán)
色、紅色、靶心是金色。金色靶心叫“黃心”。奧運(yùn)會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm。運(yùn)動員在70m外射箭。假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？

1、拋階磚游戲
“拋階磚”是國外游樂場的典型游戲之一.參與者只須將手上的“金幣”（設(shè)“金幣”的半徑為1）拋向離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個(gè)階磚（邊長為2.1的正方形）的范圍內(nèi)（不與階磚相連的線重疊），便可獲大獎(jiǎng). 不少人被高額獎(jiǎng)金所吸引，紛紛參與此游戲但很少有人得到獎(jiǎng)品，請用今天所學(xué)知識解釋這是為什么。
分析：若中獎(jiǎng)，金幣圓心必位于右圖的綠色區(qū)域A內(nèi).圓心隨機(jī)地落在“階磚”的任何位置，所以這是一個(gè)幾何概型。其概率為

練習(xí)：面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r
2a
分析：首先可以判定此試驗(yàn)為幾何概型，我們?yōu)榱嗣枋雒恳淮坞S機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只需要確定硬幣中心O的位置即可，一旦中心位置確定，只要當(dāng)中心O到其最近平行線的距離大于其半徑時(shí)，就滿足事件A,由此不難想到由中心O向靠的的最近的平行線引垂線，垂足為M,顯然線段OM長度是介于0到a之間的一個(gè)實(shí)數(shù)，接下來我們做一條長度為a的線段，因此這個(gè)實(shí)數(shù)在此線段上就對應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)，從而我們每做一次隨機(jī)試驗(yàn)就可以理解為在此線段上取一個(gè)點(diǎn)，所以這條線段就可以理解為區(qū)域Ω,其長度為a。接下來我們再來看事件A所理解的區(qū)域，首先看一種臨界狀態(tài)，就是當(dāng)硬幣與平行線相切時(shí)，此時(shí)中心O到最近平行線的距離r,顯然只有當(dāng)中心O到最近平行線的距離大于r時(shí)滿足事件A,所以事件A理解的區(qū)域其長度應(yīng)為a－r,所以


2、抽獎(jiǎng)游戲的再思考:
在兩種情況下分別求抽中電視機(jī)的概率是多少?
(1)如果在轉(zhuǎn)盤上，區(qū)域1縮小為一個(gè)單點(diǎn)，那么要求概率是多少？

(2)如果在轉(zhuǎn)盤上，區(qū)域1擴(kuò)大為整個(gè)轉(zhuǎn)盤扣除一個(gè)單點(diǎn)，那么所求概率又是多少？

總結(jié)：用幾何概型解釋概率為0的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件不一定為必然事件。

3、甲乙兩人相約在14：00?15：00在某地會面，假定每人在這段時(shí)間內(nèi)的每個(gè)時(shí)刻到達(dá)會面地點(diǎn)的可能性是相等的，先到的的等20分鐘后便可以離開，試求兩個(gè)人會面的概率。
分析：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能會面的充要條件為
?x-y? 20，如圖所示。
故所求概率為陰影面積與正方形面積之比。


練習(xí)：
一條直線型街道的A、B兩盞路燈之間的距離為120米，由于光線較暗，想在中間再隨意安裝兩盞路燈C、D，順序?yàn)锳、C、D、B. 問A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率是多少？
解： 設(shè)A與C、B與D之間的距離分別為x米、y米.則所有可能結(jié)果為： ；記A與C、B與D之間的距離都不小于40米為事件A，則事件A的可能結(jié)果為 .
如圖所示，試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω為直線 與兩坐標(biāo)軸所圍成的△ABC. 而事件A所構(gòu)成區(qū)域是三條直線 ， ， 所夾中間的陰影部分.

根據(jù)幾何概型公式，得到： 所以，A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率為 .


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