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北京市第十八中學2014-2014學年第一學期高二數學期末模擬考試
數學(理)試卷
第Ⅰ卷（　共40分）
一、 ：（共8道小題，每小題5分，共40分，選對一項得5分，多選則該小題不得分。）
1．下列曲線中離心率為 的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列有關命題的說法中錯誤的是（ ）
A．若 為假命題，則 、 均為假命題.
B．“ ”是“ ”的充分不必要條件.
C．命題“若 則 ”的逆否命題為：“若 則 ”.
D．對于命題 使得 ＜0，則 ，使 .
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90 ，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中共有（ ）個直角三角形
A.4 B.3 C.2 D.1
4．曲線 在點 處的切線方程為 ( )
A． x?y?2=0 B． x+y?2=0 C．x+4y?5=0 D．x?4y?5=0
5． 中， 、 ，則 AB邊的中線對應方程為( )
A． B． C． D．
6．已知P為△ABC所在平面α外一點，側面PAB、PAC、PBC與底面ABC所成的二面角都相等，則P點在平面α內的射影一定是△ABC的( )
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
7．如圖，橢圓 上的點 到焦點 的距離為2，
為 的中點，則 （ 為坐標原點）的值為( )
A．8　　　 B．2　　　 C． 4　　　D．
8．已知△ 的頂點 、 分別為雙曲線 的左右焦點，頂點 在雙曲線
上，則 的值等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共60分）
二、題：（共6道小題，每小題5分，共30分）
9．函數f (x)=x?ex的導函數f ?(x)= ；已知函數 在區(qū)間 內的圖象如圖所示，記
，則
之間的大小關系為 。（請用“>”連接）。
10．已知 ， 為兩平行平面的法向量，則 。
11．直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3，底面是邊長為4且 DAB=60 的菱形， ，則二面角 的大小為 。
12．命題“ ，使 成立”是假命題，則實數 的取值范圍為 。
13．以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為 ；設 和 為雙曲線 ( )的兩個焦點, 若 ， 是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 ；經過拋物線 的焦點作直線交拋物線于 兩點，若 ，則線段AB的長等于__________．
14．已知命題p：存在 ，使 ，命題q： 的解集是 ，
下列結論：①命題“p且q”是真命題；②命題“p且q”是假命題；③命題“p或q”是真命題；
④命題“p或q”是假命題，其中正確的有 。
三、解答題：（共4道小題，6+9+8+7分）
15．已知函數 圖象上一點P（2，f(2)）處的切線方程為 ，求a,b 的值。
16．如圖四棱錐 的底面是正方形， ，點E在棱PB上，O為AC與BD的交點。（1）求證：平面 ； （2）當E為PB中點時，求證： //平面PDA， //平面PDC。（3）當 且E為PB的中點時，求 與平面 所成的角的大小。
17．已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點 ，點 . (1) 求橢圓C的方程；
(2) 已知圓 ，雙曲線 與橢圓 有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓
相切，求雙曲線 的方程．
18．已知頂點在原點, 焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為 ，求拋物線的方程.
高二數學期末模擬考試答案
題號12345678
答案C D A B B A C D
二、題：
9．(1+x)ex ， ；
10． ；
11．-60 ；
12．[0, 3] ；
13． ， ，7； 14．①②③④。
三、解答題：（共4道小題，6+9+8+7分）
15．已知函數 圖象上一點P（2，f(2)）處的切線方程為 ，求a,b 的值。
解： ，
所以 ，解得 。
16．如圖四棱錐 的底面是正方形， ，點E在棱PB上，O為AC與BD的交點。（1）求證：平面 ； （2）當E為PB中點時，求證： //平面PDA， //平面PDC。（3）當 且E為PB的中點時，求 與平面 所成的角的大小。
證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵ ，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
又 平面AEC
∴平面 .
（2）∵四邊形ABCD是正方形， ，在 中，又
// ，又
//平面PDA，同理可證 //平面PDC。
解：（3）∵ ， ，又
所以，可以D為坐標原點建立如圖的空間直角坐標系D-xyz。設AB=1.則
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0， ），
從而， ， ，
設平面PBC的一個法向量為 。由 得
令z=1，得 。設AE與平面PBC所成的角 ，則
與平面PBC所成的角的正弦值為 。
17．已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點 ，點 . (1) 求橢圓C的方程；
(2) 已知圓 ，雙曲線 與橢圓 有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓
相切，求雙曲線 的方程．
解：(1)依題意，可設橢圓C的方程為 ，
從而 有解得
故橢圓C的方程為
(2)　橢圓C：x250＋y225＝1的兩焦點為F1(－5,0)，F2(5,0)，
故雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5.
設雙曲線G的方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，則G的漸近線方程為y＝±bax，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，
圓心為(0,5)，半徑為r＝3.∴5aa2＋b2＝3?a＝3，b＝4.
∴雙曲線G的方程為x29－y216＝1.
18．已知頂點在原點, 焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為 ，求拋物線的方程.
解：依題意可設拋物線方程為： （a可正可負），與直線y=2x+1截得的弦為AB；
則可設A（x1,y1）、B（x2,y2）聯立 得
即
得：a=12或-4（6分）
所以拋物線方程為 或


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