1．否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是( )
A．有一個解
B．有兩個解
C．至少有三個解
D．至少有兩個解
[答案] C
[解析] 在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.
2．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設(shè)為( )
A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)
B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)
C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)
D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)
[答案] B
[解析] a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù)；②有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù)；③有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù)；④三個偶數(shù)．因為要否定②，所以假設(shè)應為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”．故應選B.
3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設(shè)正確的是( )
A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°
B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°
C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60°
D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一個不大于”的否定是“都大于60°”．故應選B.
4．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設(shè)正確的是( )
A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)
B．假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)
C．假設(shè)a，b，c至多有一個偶數(shù)
D．假設(shè)a，b，c至多有兩個偶數(shù)
[答案] B
[解析] “至少有一個”反設(shè)詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù)．
5．命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應該是( )
A．a(chǎn)
C．a(chǎn)＝b
D．a(chǎn)≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定應為“a＝b或a
A．一定是異面直線
B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線
D．不可能是相交直線
[答案] C
[解析] 假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.
7．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋1b，c＋1a，b＋1c中( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一個不大于－2
D．至少有一個不小于－2
[答案] C
[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c
＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c
∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2
b＋1b＝－－b＋－1b≤－2
c＋1c＝－－c＋－1c≤－2
∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6
∴三數(shù)a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一個不大于－2，故應選C.
8．若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則( )
A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行
B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直
C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交
D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面
[答案] B
[解析] 對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m
則有l(wèi)∥m，與l、m異面矛盾；對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α)；對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[答案] C
[解析] 因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設(shè)乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手．故應選C.
10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對任意正整數(shù)n都滿足xn
A．對任意的正整數(shù)n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1
C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
[答案] D
[解析] 命題的結(jié)論是“對任意正整數(shù)n，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”．故應選D.
二、題
11．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________．
[答案] 沒有一個是三角形或四邊形或五邊形
[解析] “至少有一個”的否定是“沒有一個”．
12．用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是________________．
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一個”的否定是“都不能”．
13．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一個三角形中不能有兩個直角；
③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.
正確順序的序號排列為____________．
[答案]�、邰佗�
[解析] 由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應為③①②.
14．用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個的過程如下：
假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.
顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無限多個．
[答案] 質(zhì)數(shù)只有有限多個 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反證法的步驟可得．
三、解答題
15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求證：a>0，b>0，c>0.
[證明] 用反證法：
假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，
不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假設(shè)不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
16．已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于14.
[證明] 證法1：假設(shè)(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1－a、1－b、1－c都是正數(shù).(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，
同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.
三式相加，得
(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，
即32＞32，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.
證法2：假設(shè)三個式子同時大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a>143①
因為0
因為①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立．
17．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．
[解析] (1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的單調(diào)性得f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．
兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命題：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.
下面用反證法證之．
假設(shè)a＋b<0，那么：
a＋b<0?a<－b?f(a)
18．(2010?湖北理，20改編)已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝1423n－1.求證：數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．
[解析] 假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項br、bs、bt(r
∴2?1423s－1＝1423r－1＋1423t－1.
兩邊同乘3t－121－r，化簡得3t－r＋2t－r＝2?2s－r3t－s，
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaoer/64040.html
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