二項式定理：
，
它共有n+1項，其中
（r=0，1，2…n）叫做二項式系數(shù)，
叫做二項式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項.
二項式系數(shù)的性質(zhì)：
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即
；
（2）增減性與最大值：當(dāng)r≤
時，二項式系數(shù)的值逐漸增大；當(dāng)r≥時，的值逐漸減小，且在中間取得最大值。
當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)
取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)
相等并同時取最大值。
二項式定理的特別提醒：
①
的二項展開式中有(n+1)項，比二項式的次數(shù)大1．
②二項式系數(shù)都是組合數(shù)
，它與二項展開式的系數(shù)是兩個不同的概念，在實際應(yīng)用中應(yīng)注意區(qū)別“二項式系數(shù)”與“二項展開式的系數(shù)”。
③二項式定理形式上的特點：
在排列方式上，按照字母a的降冪排列，從第一項起，a的次數(shù)由n逐項減小1，直到0，同時字母6按升冪排列，次數(shù)由0逐項增加1，直到n，并且形式不能亂．
④二項式定理中的字母a，b是不能交換的，即與
的展開式是有區(qū)別的，二者的展開式中的項的排列次序是不同的，注意不要混淆．
⑤二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數(shù)a，b，該等式都成立，因而，對a，b取不同的特殊值，可以對某些問題的求解提供方便，二項式定理通常有如下兩種情形:
⑥對二項式定理還可以逆用，即
可用于式子的化簡。
二項式定理常見的利用：
方法1：利用二項式證明有關(guān)不等式證明有關(guān)不等式的方法：
(1)用二項式定理證明組合數(shù)不等式時，通常表現(xiàn)為二項式定理的正用或逆用，再結(jié)合不等式證明的方法進(jìn)行論證．
(2)運用時應(yīng)注意巧妙地構(gòu)造二項式．證明不等式時，應(yīng)注意運用放縮法，即對結(jié)論不構(gòu)成影響的若干項可以去掉．
方法2：利用二項式定理證明整除問題或求余數(shù)：
(1)利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式，其基本做法是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可．
(2)用二項式定理處理整除問題時，通常把底數(shù)寫成除數(shù)（或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù)）與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面（或者是前面）一、二項就可以了．
(3)要注意余數(shù)的范圍，
為余數(shù)，b∈[0，r)，r是除數(shù)，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)要注意轉(zhuǎn)換．
方法3：利用二項式進(jìn)行近似解：
當(dāng)a的絕對值與1相比很少且n不大時，常用近似公式
，因為這時展開式的后面部分
很小，可以忽略不計，類似地，有
但使用這兩個公式時應(yīng)注意a的條件以及對計算精確度的要求．要根據(jù)要求選取展開式中保留的項，以最后一項小數(shù)位超要求即可，少了不合要求，多了無用且增加麻煩．
方法4：求展開式特定項：
(1)求展開式中特定項主要是利用通項公式來求，以確定公式中r的取值或范圍．
(2)要正確區(qū)分二項式系數(shù)與展開式系數(shù)，對于(a-b)n數(shù)展開式中系數(shù)最大項問題可以轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)的最大問題，要注意系數(shù)的正負(fù)．
方法5：復(fù)制法
利用復(fù)制法可以求二項式系數(shù)的和及特殊項系數(shù)等問題。一般地，對于多項式
方法6：多項式的展開式問題：
對于多項式(a+b+c)n，我們可以轉(zhuǎn)化為[a+(b+c)]n的形式，再利用二項式定理，求解有關(guān)問題。
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