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32、（2013•咸寧）理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點．解決問題：
（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強(qiáng)相似點E；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形ABCD沿C折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABC的邊AB上的一個強(qiáng)相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系．

考點：相似形綜合題．
分析：（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．
（2）根據(jù)兩個直角三角形相似得到強(qiáng)相似點的兩種情況即可．
（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強(qiáng)相似點，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．
解答：解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．

（2）作圖如下：

（3）∵點E是四邊形ABC的邊AB上的一個強(qiáng)相似點，
∴△AE∽△BCE∽△EC，
∴∠BCE=∠EC=∠AE．
由折疊可知：△EC≌△DC，
∴∠EC=∠DC，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ ．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及理解相似點和強(qiáng)相似點的概念等，從而可得到結(jié)論．

33、（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2 ，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當(dāng)F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形．
分析：（1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定；
（2）根據(jù)F為AD的中點，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．
解答：解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F為AD的中點，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC= ；
設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴ = ，即可得：6x2=12，
解得：x= ，
則CF=3 ，
在Rt△CFD中，DF= = ，
∴BC=2DF=2 ．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例．

34、（2013•新疆）如圖，▱ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA、DC的延長線分別交于點E、F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）請連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．

考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明即可；
（2）請連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC是，四邊形AECF是矩形，首先證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形即可證明．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC時，四邊形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF=AC，
∴四邊形AECF是矩形．

點評：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定，首先利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題

35、(2013年江西省)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù) (x>0)的圖象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x軸，且AB=2，AD=4，點A的坐標(biāo)為(2，6) ．
（1）直接寫出B、C、D三點的坐標(biāo)；
（2）若將矩形向下平移，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，猜想這是哪兩個點，并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式．

【答案】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.
（2）如圖，矩形ABCD向下平移后得到矩形 ，

設(shè)平移距離為a，則A′（2，6－a），C′（6，4－a）
∵點A′，點C′在y= 的圖象上，
∴2(6－a)=6(4－a)，
解得a=3，
∴點A′（2，3），
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ．
【考點解剖】 本題以矩形為背景考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．
【解題思路】 先根據(jù)矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)得到B、C、D三點的坐標(biāo)，再從矩形的平移過程發(fā)現(xiàn)只有A、C兩點能同時在雙曲線上（這是種合情推理，不必證明），把A、C兩點坐標(biāo)代入y= 中，得到關(guān)于a、k的方程組從而求得k的值．
【方法規(guī)律】 把線段的長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)，在求k的值的時候，由于k的值等于點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積，所以直接可得方程2(6－a)=6(4－a)，求出a后再由坐標(biāo)求k，實際上也可把A、C兩點坐標(biāo)代入y= 中，得到關(guān)于a、k的方程組從而直接求得k的值.
【關(guān)鍵詞】 矩形 反比例函數(shù) 待定系數(shù)法

36、(2013年臨沂)如圖，矩形 中，∠ACB = ，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC,BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,BC所在的直線相交，交點分別為E,F.
(1)當(dāng)PE⊥AB,PF⊥BC時，如圖1，則 的值為　　　　　.
(2)現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn) （ ）角，如圖2，求 的值；
(3)在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng) ，且使AP:PC=1：2時，如圖3， 的值是否變化？證明你的結(jié)論.
解析：（1） …………………………(2分)
（2）過點P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分別為H,G.…………………(3分)
∵在矩形ABCD中, ，∴PH∥BC.
又∵ ，∴
∴ ,
………………(5分)
由題意可知 ,
∴Rt△PHE∽Rt△PGF.
∴ …………(7分)
又∵點P在矩形ABCD對角線交點上，∴AP=PC.
∴ ………………(8分)

（3）變化 ……………………………………………………(9分)
證明：過點P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分別為H,G.
根據(jù)（2），同理可證 ………(10分)
又∵ ∴ ………………………(11分)