2018-2019學(xué)年河南省洛陽(yáng)市洛龍區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ �。�
A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2?x=0 D． +x2=0
2．（3分）下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
3． （3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+ax?1=0的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0時(shí)，下列變形正確的為（ �。�
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
5．（3分）S型電視機(jī)經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，每臺(tái)售價(jià)由原來(lái)的1500元降到了980元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程中正確的是（ ）
A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1?x）2=980 D．980（1?x）2=1500
6．（3分）拋物線y=3x2先向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，所得的拋物線為（ �。�
A．y=3（x+3）2?2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x?3）2?2 D．y=3（x?3）2+2
7．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長(zhǎng)線上，連接AD．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ �。�
A．BD平分∠ABC B．AD∥BC
C．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等邊三角形
8．（3分）若函數(shù)y=（m?1）x2?6x+ m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（ �。�
A．?2或3 B．?2或?3 C．1或?2或3 D．1或?2或?3
9．（3分）如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（ �。�
A．55° B．65° C．75° D．85°
10．（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正確的是（ �。�
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）方程3x（x?1）=2（x?1）的根為 �。�
12．（3分）已知點(diǎn)（a，?1）與點(diǎn)（2，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b= �。�
13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個(gè)根是0，則k的值是 �。�
14．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 �。�
15．（3分）把一副三角板如圖（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1，如圖（2），這時(shí)AB與CD1相交于點(diǎn)O，與D1E1相交于點(diǎn)F．則AD1= cm．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）4（x?5）2=36
（2）x2? x+1=0．
17．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2?（t?1）x+t?2=0．
（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，方程都有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，二次函數(shù)y=x2?（t?1）x+t?2的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．（9分）如圖，下列4×4網(wǎng)格圖都是由16個(gè)相同小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有4個(gè)小正方形已涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谙旅婷總�(gè)圖形中，選取2個(gè)空白小正方形涂上陰影，使6個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．
19．（9分）已知拋物線y=a（x?3）2+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，?2）
（1）該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
（2）求a的值；
（3）若點(diǎn)A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大�。�
20．（9分）如圖，四邊形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，此時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、C、E恰好在一條直線上，求∠BAD的度數(shù)與AD的長(zhǎng)．
21．（10分）某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．
（1）當(dāng)銷售單價(jià)為70元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)是多少？
（2）求出每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）如果該企業(yè)每天的總成本不超過(guò)7000元，那么銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）
22．（10分）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B在線段AE上，點(diǎn)C在線段AD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE與線段CD的數(shù)量與位置關(guān)系是關(guān)系： �。�
（2）操作探究：
如圖②，將圖①中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），（1）小題中線段BE與線段CD的關(guān)系是否成立？如果不成立，說(shuō)明理由，如果成立，請(qǐng)你結(jié)合圖②給出的情形進(jìn)行證明；
（3）解決問(wèn)題：
將圖①中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，在備用圖中畫(huà)出其中的一個(gè)情形，并寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是 度．
23．（11分）如圖，拋物線y=? x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．
2018-2019學(xué)年河南省洛陽(yáng)市洛龍區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ �。�
A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2?x=0 D． +x2=0
【解答】解：A、方程2x+1=0未知數(shù)的最高次數(shù)是1，屬于一元一次方程；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、y2+x=0中含有2個(gè)未知數(shù)，屬于二元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、x2?x=0符合一元二次方程的定義；故本選項(xiàng)正確；
D、該方程是分式方程；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
2．（3分）下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A圖形不是中心對(duì)稱圖形；
B圖形是中心對(duì)稱圖形；
C圖形不是中心對(duì)稱圖形；
D圖形不是中心對(duì)稱圖形，
故選：B．
3．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+ax?1=0的根的情況是（ �。�
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【解答】解：∵△=a2+4＞0，
∴，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
故選：D．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0時(shí)，下列變形正確的為（ ）
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2?6x=10，
配方得：x2?6x+9=19，即（x?3）2=19，
故選：D．
5．（3分）S型電視機(jī)經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，每臺(tái)售價(jià)由原來(lái)的1500元降到了980元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程中正確的是（ �。�
A．1500（1 +x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1?x）2=980 D．980（1?x）2=1500
【解答】解：依題意得：第一次降價(jià)的售價(jià)為：1500（1?x），
則第二次降價(jià)后的售價(jià)為：1500（1?x）（1?x）=1500（1?x）2，
∴1500（1?x）2=980．
故選：C．
6．（3分）拋物線y=3x2先向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，所得的拋物線為（ �。�
A．y=3（x+3）2?2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x?3）2?2 D．y=3（x?3）2+2
【解答】解：拋物線y=3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），拋物線y=3x2向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），此時(shí)解析式為y=3（x?3）2+2．
故選：D．
7．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長(zhǎng)線上，連接AD．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．AD∥BC
C．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等邊三角形
【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等邊三角形，故D正確，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，故B正確；
∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠DBC=180°?60°?60°=60°，
∴∠ABD=∠DBC，
即BD平分∠ABC，故A正確；
故選：C．
8．（3分）若函數(shù)y=（m?1）x2?6x+ m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（ ）
A．?2或3 B．?2或?3 C．1或?2或3 D．1或?2或?3
【解答】解：當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)解析式為：y=?6x+ 是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) ，
當(dāng)m≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，
∵函數(shù)y=（m?1）x2?6x+ m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴62?4×（m?1）× m=0，
解得，m=?2或3，
故選：C．
9．（3分）如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（ �。�
A．55° B．65° C．75° D．85°
【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)l10°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，
∴∠AB′B= （180°?110°）=35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，
∴∠CAB′=∠CAC′?∠ C′AB′=110°?35°=75°．
故選：C．
10．（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正確的是（ �。�
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=? =1，
∴b=?2a＜0，
∴ab＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b2?4ac＞0，所以②正確；
∵x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=? =1，
∴b=?2a，
而x=?1時(shí)，y＞0，即a?b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④錯(cuò)誤．
故選：C．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）方程3x（x?1）=2（x?1）的根為 x=1或x= �。�
【解答】解：3x（x?1）=2（x?1），
移項(xiàng)得：3x（x?1 ）?2（x?1）=0，
即（x?1）（3x?2）=0，
∴x?1=0，3x?2=0，
解方程得：x1=1，x2= ．
故答案為：x=1或x= ．
12．（3分）已知點(diǎn)（a，?1）與點(diǎn)（2，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b= ?1�。�
【解答】解：∵點(diǎn)（a，?1）與點(diǎn)（2，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴a=?2，b=1，
∴a+b=?1，
故答案為：?1．
13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個(gè)根是0，則k的值是 0�。�
【解答】解：由于關(guān)于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個(gè)根是0，
把x=0代入方程，得k2?k=0，
解得，k1=1，k2=0
當(dāng)k=1時(shí)，由于二次項(xiàng)系數(shù)k?1=0，
方程（k?1）x2+6x+k2?k=0不是關(guān)于 x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案為：0
14．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為�。�?1，0）�。�
【解答】解：由于函數(shù)對(duì)稱軸為x=1，而P（3，0）位于x軸上，
則設(shè)與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），
根據(jù)題意得： =1，
解得m=?1，
則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（?1，0），
故答案是：（?1，0）．
15．（3分）把一副三角板如圖（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE 繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1，如圖（2），這時(shí)AB與CD1相交于點(diǎn)O，與D1E1相交于點(diǎn)F．則AD1= 5 cm．
【解答】解：由題意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋轉(zhuǎn)角度為15°，則∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°?∠ACO?∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，則AC=BC=3 ．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1?OC=4，
由勾股定理得：AD1=5．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）4（x?5）2=36
（2）x2? x+1=0．
【解答】解：（1）開(kāi)方得：2（x?5）=6或2（x?5）=?6，
解得：x1=8，x2=2；
（2）這里a=1，b=? ，c=1，
∵△=10?4=6，
∴x= ．
17．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2?（t?1）x+t?2=0．
（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，方程都有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，二次函數(shù)y=x2?（t?1）x+t?2的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）證明：在方程x2?（t?1）x+t?2=0中，△=[?（t?1）]2?4×1×（t?2）=t2?6t+9=（t?3）2≥0，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，方程都有實(shí)數(shù)根；
（2）解：令y=0，得到x2?（t?1）x+t?2=0
設(shè)方程的兩根分別為m、n，
由題意可知，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，
∴m+n=t?1=0，
解得：t=1．
∴當(dāng)t=1時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)．
18．（9分）如圖，下列4×4網(wǎng)格圖都是由16個(gè)相同小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有4個(gè)小正方形已涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谙旅婷總�(gè)圖形中，選取2個(gè)空白小正方形涂上陰影，使6個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．
【解答】解：（1）在圖1中選取2個(gè)空白小正方形涂上陰影，使6個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，答案如圖所示；
19．（9分）已知拋物線y=a（x?3）2+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，?2）
（1）該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （3，2）
（2）求a的值；
（3）若點(diǎn)A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大�。�
【解答】解：（1）∵y=a（x?3）2+2，
∴ 該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，2），
故答案為：（3，2）；
（2）∵y=a（x?3）2+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，?2），
∴?2=a（1?3）2+2，
解得，a=?1，
即a的值是?1；
（3））∵y=a（x?3）2+2，a=?1，
∴該拋物線的圖象在x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大，在x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵點(diǎn)A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，
∴y1＜y2．
20．（9分）如圖，四邊形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，此時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、C、E恰好在一條直線上，求∠BAD的度數(shù)與AD的長(zhǎng)．
【解答】解：∵點(diǎn)A、C、E在一 條直線上，
而△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠E=60°，AD=AE，
∴∠BAD=60°，
∵點(diǎn)A、C、E在一條直線上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5，
∴AD=AE=5．
21．（10分）某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．
（1）當(dāng)銷售單價(jià)為70元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)是多少？
（2）求出每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）如果該企業(yè)每天的總成本不超過(guò)7000元，那么銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）
【解答】解：（1）當(dāng)銷售單價(jià)為70元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)=（70?50）×[50+5×（100?70）]=4000元；
（2）由題得 y=（x?50）[50+5（100?x）]=?5x2+800x?27500（x≥50）．
∵銷售單價(jià)不得低于成本，
∴50≤x≤100．
（3）∵該企業(yè)每天的總成本不超過(guò)7000元
∴50×[50 +5（100?x）]≤7000（8分）
解得x≥82．
由（2）可知 y=（x?50）[50+5（100?x）]=?5x2+800x?27500
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=80且a=?5＜0
∴拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而減�。�
∴當(dāng)x=82時(shí)，y有最大，最大值=4480，
即 銷售單價(jià)為82元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為4480元．
22．（10分）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B在線段AE上，點(diǎn)C在線段AD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE與線段CD的數(shù)量與位置關(guān)系是關(guān)系： BE=CD，BE⊥CD��；
（2）操作探究：
如圖②，將圖①中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），（1）小題中線段BE與線段CD的關(guān)系是否成立？如果不成立，說(shuō)明理由，如果成立，請(qǐng)你結(jié)合圖②給出的情形進(jìn)行證明；
（3）解決問(wèn)題：
將圖①中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)， 在備用圖中畫(huà)出其中的一個(gè)情形，并寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是 45°或225°或315 度．
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，
∴AE?AB=AD?AC，
∴BE=CD；
故答案為：BE=CD，BE⊥CD；
（2）（1）結(jié)論成立，
理由：如圖，
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAE=∠CAD，
在△BAE與△CAD中， ，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD；∠AEB=∠ADC，
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，
∴∠EFD=90°，
即：BE⊥CD
（3）如圖，
∵以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵ED=2AC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
或360°?90°?45°=225°，或360°?45°=315°
∴角α的度數(shù)是45°或225°或315°．
故答案為：45°或225°或315．
23．（11分）如圖，拋物線y=? x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（?1，0），C（0，2）代入y=? x2+bx+c得 ，
解得 ，c=2，
∴拋物線的解析式為y=? x2+ x+2．
（2）存在．如圖1中， ∵C（0，2），D（ ，0），
∴OC=2，OD= ，CD= =
①當(dāng)CP=CD時(shí)，可得P1（ ，4）．
②當(dāng)DC=DP時(shí)，可得P2（ ， ），P3（ ，? ）
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 或 ．
（3）如圖2中，
對(duì)于拋物線y=? x2+ x+2，當(dāng)y=0時(shí)，? x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=?1
∴B（4，0），A（?1，0），
由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=? x+2，
設(shè)E 則F ，
EF= ? =
∴ ＜0，∴當(dāng)m=2時(shí)，EF有最大值2，
此時(shí)E是BC中點(diǎn)，
∴當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△FBC面積最大，
∴△FBC最大面積= ×4×EF= ×4×2=4，此時(shí)E（2，1）．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chusan/1141438.html
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